Un polynôme est premier lorsqu'^il n^^cst divisible que

par lui-méïne et par Punité, comme a — ih^ la-^Zh — c, etc.

A proprement parler, il n^y a que les polynômes du premier degré qui paissent être regardés comme premiers ; car tous les autres sont dëcomposables en facteurs , ainsi que le prouve la théorie des équations. Par exemple, soit le trinôme a^—^ab^b'^. Pour le décomposer en facteurs, égalons-le à zéro, et résolvons Téquation résultautc par rapport à a\ nous aurons a =: 6 db 5 ^"^3. D^où Ton lire (487)

a» — ^ab — *»=(a-.-4 — h\/'à){a — b + b[/%).

Soit encore le polyûome

a«c* -|- aa»i — 3ab* -^ abc — ^bc^ + 35*c -f- c^.

Si on IVgale à aéro , et qu^on résolve Téquation résultante par rapport à A , on verra que ce polynôme revient à

{ab — Jc-f-c*) (aa — 35 + c).

En général, tant que le polynôme égalé à ze'ro, donne une équation qu^on sait résoudre par rapport à Tune des lettres qui s^y trouvent , oq peut décomposer ce polynôme en facteurs, diaprés la méthode que nous venons d^employer.

On voit que tous les polynômes d^un degré supérieur au premier peu- Tent se décomposer en facteurs* Mais comme nous ne voulons considérer désormais que des /acteurs rationnels et entiers^ il est dair que uous aurons des polynômes premiers de degrés quelconques.

537. Deux poIjDomes sont premiers entre eux, lonqu^ils a^ont d^autres diyiseurs commims ^e Puiiité , comme a* — ft* eC a:*— aax-f-û'-

528. Le plus grand commun diviseur de deux poljnomes est le produit de tous les facteurs premiers conununs à ces deux poljmomes (*).

D^où il suit , 1* que deux pùljmomes ne peuvent avoir qu^un seul plus grand commun diviseur^ car les (acteurs premiers communs à ces deux poljnomes ne donnent jamais qu^un seul produit ;

1* Que ^1 Fon divise deux polynômes par leur plus grand commun diviseur^ les deux quotiens seront /premiers entre eux^ car s''ib avaient un facteur commun , ce facteur serait aussi conunun aux deux poljmomes proposés ; et le plus grand commun diviseur de ces polynômes ne serait pas le produit de tons leurs facteurs premiers communs ; ce qui est contre la définition.

A Favcnir, p. g. c. d. %\^\Çittz, plus grand commun diviseur.

539* Le plus grand commun diviseur de deux poljrnomes AetB est toi^ours celui du plus petit B et du reste R de leur division*

Car soit Q le quotient entier de cette division et D le p. g. c. d. de A et B ; on aura donc

A = BQ + R et 5 = gQ + g.

Puisque D divise A et B, D divise aussi R ; D est donc com« mon diviseur à B et R ; et il est le plus grand. Cor si Dx pou* yait diviser B et R, Dx diviserait aussi A ; Dx serait donc commun diviseur aux deux poljnomes A et B ; ce qui est impossible, puisque D est le p. g. c. d. de ces poljnomes. Donc D est aussi le p. g. c. d. de B et R.

53o. Il résulte de ce prindpe, que la recherche du p. g. c. d.

(*) Soit X It produit de tons les factrars premiers comxninis anz denx qnaiitilés P et Q, ei jr le p, g, c» d* de ces deux quantités \ jr est dooe nctmr commun à P ^ Q ; J^ doit donc se troarcr dans r^ qui est le produit de tons les acteurs premiers commau à P et Q. El si x arail démîtes CKteurs que cens de j^, x serait plus grand que ^ ; roc serait donc pas ltp.g,e.€LàePeiQ\ce qui est contre Thypotliése. Dooo M Koîierme tons les lacteui» 6e jr et o*eii contient pas d^anlrcs ; àmm

de deux polynômes doit s^opérer diaprés la même i^gle ^^ pour lès nombres. Mais comme le principe suppose que tous les quotiens obtenus soient entiers, ce qui souvent n^a pas lieu lorsqu'on opère ^ur des polynômes, il faut, pour trouver le plus grand conmiun diviseur algébrique, diaprés la même règle que pour les nombres , faire en sorte que tous les quolieAs soient entiers ; il faut par conséquent mettre en pratique les deux préceptes que voici : *

1* Rendre la division possible en multipliant tout le dividende par un facteur qui n^ait point de facteur commun à tous les termes du diviseur, et qui soit tel que le premier terme du produit soit divisible par le premier terme du diviseur \

2° Supprimer le facteur commun à tous les termes de Tune des quantités, lorsqu'^il ne Test pas à tous les termes de Pantre, et quMl n^a point de facteur conunun avec eux.

Par ces deux préceptes , on introduit ou Ton supprime dans Tune des quantités proposées , un facteur qui n^est pas facteur de Tautre quantité , et qui n^a point de facteurs communs avec elle. Donc les facteurs communs à ces deux quantités ne sont ni augmentés ni diminués (*); par conséquent, le p. g. c. d., qui est le produit de tous les facteurs communs , n^est pas changé.

53 1. Par ex., cherchons le p. g. c. d. des deux polynômes

8a' — 1 oa*c — i ^ac^ + 1 5c'.

Nous diviserons le premier de ces polynômes par le second. Mais il faut d^abord rendre la division partielje possible ; ce qui se fera en midtipliant tout le dividende par 4i et le produit sera

Par cette multiplication le plus grand commun diviseur cher* ché nVst pas changé , puisque 4 i^^cst pas facteur du diviseur et

(*) Cette assertion est assez claire pour n^avoir pas besoin de démonstration \ car clic suppose qu^un produit n^ait jamais dVutrcs facteurs premiers que ceux contenus dans le multiplicande et le multiplicateur ^ et co principe me parait e'vident. On le démontre d^aillcurs pour les nombres, en aridimc'tiquc ^ mais je crois trés-^ifiicile de Tctablir rigoureusement pour les quantités algel>riques, considérées dans leur état général.

Voyez d^ailleurs la divisibilité des fonctions entières y dans TAlg^t de M. Bourdon, 4"^* édition, pages 384 ^^ suivantes.

'lk\ point de facteur commun avec lui. Le premier quotient partiel sera 5a , et le reste , 5oa c — 1 6a V — 'j5ac^ + il^c^.

Co^me le p. g. c. d. des deux polynômes proposés est tonjoors celui du plus petit et du reste (629), ce p. g. c. d. ne diangera pas ^ si on divise le reste par c et si on le multiplie par 4 ; car c et 4 ne sont pas facteurs du diviseur. De cette manière, k nouveau dividende partiel sera aooa' — 6^a*c — 3ooac* 4* g6c . Donc le second reste deviendra i86a*c—- ^790^.

Pour simplifier ropération, on supprime 980 , facteur du second reste, sans Tétre du diviseur, et il vient ia* — 3c*. Cette suppression ne change pas le p. g. c. d. , lequel est par consé* qaent celui du diviseur et du second reste simplifié ^a* — 3c*. On aura donc ce p. g. c. d. , en déterminant celui des deux polynômes

8a' — loa'c — iiac'+iSc' et aa*— 3c*.

Or, ce dernier p. g. c. d. est tia* — 30*, puisque aa' — 3c* dlivise.rautre quantité^ donc aussi 2a' — 3c' est le p. g. c. d. demandé.

533. La recherche que Ton vient d^expliquer fournit plusieurs remarques très-importantes :

I. Pour avoir des quotiens entiers dans la première division , on a multiplié le dividende et le premier reste chacun par 4 : on aurait eu les mêmes résultats, si Pou avait d^abord multiplié le dividende par le carré de 4 1 ^^ P^ 16 ; et la marche aurait été plus directe. Désormais nous multiplierons le dividende proposé par le facteur propre à rendre la première division partielle possible, éle\'é à une puissance marquée par le nombre de divisions partielles à effectuer avant d'^arriver au reste de la division proposée.

II. Si Ton avait oublié de supprimer le factenr 93c, commun aux deux termes du second reste i86a*c — 379c'; en continuant la recherche, on serait parvenu à un reste ne contenant plus que la preoiière puissance de a , et qui aurait été pris pour diviser i8&i*c — ^79^' ' c^ diviseur et tous les suivans n'^auraient donc pv conduit au véritable p. g. c. d., puisque celui-ci est en a\ D^ailleurs le reste i86a*c — ^^9- serait devenu diviseur dans ooe nouvelle division ; et alors pour rendre la première division partielle possible, il aurait fallu multiplier le dividende par 93c, btiear dans tous les termes du diviseur \ donc le p. g. c. d. au-

"^ ( ft54 3

rait été changé. Cette remarque prouve quil faut a!>soIuiiiei|t faire usage du second précepte ( 53o) ; ce qui peut conduire k chercher le p. g. c. d. entre plus de deux quantités*

III. On U-ouverait immédiatement le p. g. c. d. des deux polynômes proposés, en observant que le premier décompose en factears (5a6), devient (5a* — ac») (aa* — 3c»), et que le second dÎTisc par aa* — 3c* , prend la f9rme (4a — 5c) (aa* — 3c*) ^ alors 5a* — ac« et 4a— 5c éimt premiers entre eux, on voit que le p. g. c. d. des deux polynômes est aa* — 3c', comme par Tauire méthode.

A Taide de Tune ou de Pautre méthode ^ on trouvera que x— ^^ est le p. g. c. d* des deux polynômes

et 4jf!r— 5x7^'+r'* 533. Lorsque Texposant de la lettre principale est le même dans les deux ou trois premiers termes du diviseur, il faut, pour que le plus haut exposant de cette lettre diminue dans diaque reste, réunir en un seul , tous les multiplicateurs de la plus haute puissance de cette lettre dans le diviseur \ essayer ensuite , avant de rendre la division possible , si le nouveau multiplicateur ne fierait pas facteur de tous les autres termes du diviseur^

Si on négligeait d^opcrer la réunion qu^on vient de prescriret le produit du diviseur par le premier quotient partiel , renfermerait plusieurs termes où Texposant de la lettre principale serait le même que dans le premier terme du dividende ^ un seid de ces termes détruirait le premier du dividende \ et par conséquent le plus haut exposant de la lettre serait encore le même dans le reste que dans le dividende proposé.

Au moyen de l'observation que Ton vient d\énoncer, on trouve c<^— 2a et ^x^-^-dj- pour les p. g. c. d. respectifs dea deux couples de polynômes

aoa* — I oa'c — i aa'c + 6ac* et 6a -— 3à*c + 1 otfc'— 5c* ;

Mais ces' deux p. g. c. d. se trouveraient aussi par la décomposition en facteurs (526).

53^. Lorsqu*un polynôme a un diviseur indépendant de la lettre principale^ ce diviseur divise exactement chacun des coejficiens des puissances successives de cette lettre.

En effet , soit a -4- 6x + ex* -f- dj^ -J- etc. un polynôme ordonné par rapport à x, et supposons que ce polynôme loit d£-

( 855 ) ▼isible par une quantité v indépendante de x ; le quotient sera nécessairement de la forme ô'+i'x+c'x'+d'a'^+clc., c'est* à-dire , aura autant de termes en x que le dividende ; car v ne contenant pas x, la multiplication du quotient par v ne changera pas les exposans de x. Ainsi On aura

a+^x+cx'+rfx'-|-ctc. z::za'v^Vvx^dvx^~\'dfvx «f-etc.

lAê quantités séparées par le signe =- devant être les mémes^ quelle que soit la valeur de x^ il faut qu'on ait, pour cela, a = clv^ h-=. Vv^ c:=dv^ dzzLiPv^ etc. D^où il suit que le diviseur V indépendant de x divise chacun des coefifîdens a^ h^ c, d^ etc.

535. Ce principe conduit à trouver le p. g. c. d. indépendant de la Icttrt prindpale x. En effet, ce p. g. c. d. divise les deux polynômes proposés \ il divise donc les coefBciens des diverses puissances de x dans ces deux polynômes ; il est par conséquent le p. g. c. d. de ces cocfficicns. Or, pour trouver ce p. g. c. d., on pourra chercher celui d entre les deux premiers coefïicicns , celui iV entre d et le troisième coefficient, celui </" entre </' et le quatrième coefficient, ainsi de suite; et le dernier p. g. c. d. obtenu sera celui de tous les coefRdens proposés. Ce qu'on dé« montre comme en arithmétique. (Voyez TArithmét. élément., a** partie.)

Par exemple, qu'on ait les denx polynômes

x^y + ^X^ — ix^jrz "4- x^z' "4- xj' X* — ixjrz , r^a^y— 5xy +3/— 2xV+5x>V— 3rV;

si l'on réunit les multiplicateurs des diverses puissances de x, ces deux polynômes ne changeront pas de valeurs et deviendront

( ar'- a^*) x« + ( 5;-»^' - 5/) x* + 3/- ij^z\

Pour avoir le p. g. c. d. des coefSdens de x, on pourrait ap« pliquer la règle qui vient d'être énoncée \ mais il sera plus court de décomposer ces coeffidens en facteurs ; ce qui est facile ; et les deux polynômes deviendront ainsi

Sous cette forme on voit que^ — z est le p. g. c. d. de tous ks coefHdens \ j — ^ est donc aussi le p. g. c. d. sans x des deux polynômes proposés.

Pour avoir le p. g. c. d. affecté de x^ on simplifiera d^abori ropération, en divisant les-dcux poljmomes précédens par j^— ^ jK ^ ce qui donnera

^(j^ + J^)^^-5ij' + z)xy+Ziy + s)/.

On peut supprimer le (acteur (^j'-^z)x dans le premier de ces polynômes et le facteur j^+x dans le second; et alors on trouvera aisément que x + j* est le p«. g. c. d. des deux quantités résultantes

x^+j-^ et 22r* — Sxy + 3^ .

D'où Ton voit que le p. g. c. d. des deux polynômes proposés est (j-—z){x+jr)^ OU xjr-^-y — xz—jrz.

536. La manière la plus facile d'obtenir le p. g. c. d. est , i' de déterminer le p. g. c. d. monôme et de le supprimer ensuite^ a® de chercher le p. g. c. d. indépendant de la lettre principale, dans les deux quantités restantes, et de Vj supprimer également; 3* enfin, après avoir trouvé le p. g. c.d. des deux nouvelles quantités, il faut le multiplier par le produit des divisemv commims supprimés ; et le résultat exprime le p. g. c. d. demandé. De cette manière , on trouve 3ab (a6-|-^)(^4"^)i P^"^ ^^ p. g. c. d. des deux polynômes

i6afib^ — 3a^b^c — Gj'bc^ + i6ab^— Zab^c — 6ab^c\

537. Si Ton parvenait à un reste ne contenant pas la lettre principale , il est clair que le p. g. c. d. ne dépendrait point de cette lettre. Et si ime lettre se trouvait dans Pun des polynômes proposés, sans être dans Tautre, le p. g. c. d. cherché serait celui qui existe entre le second polynôme et les coeffidens des diverses puissances de cette lettre dans le premier.

538« Remarquons aussi que quand le reste du second degré en x donne, en IVgalant à zcro, une valeur rationnelle v à x, et que cette valeur, m^à la place de x, rend nul le reste pre'cédeiit du troisième degré; x •'if est un diviseur commun aux deux polynômes proposa. En généra] , la resolution des équations peut conduire au p. g. c. â» , plus facilement que la méthode ordinaire. Par exemple, soient les deux polynômes ^^5 -. a«je4 + ^a^j,» — 4^Jr ,

x^ — 4ax3 -)- 6a»x« + ^a}x.

Résolvant par rapport à x le second polynôme égale à zéro , ce qui se

ierirpir extraction de racine carrée (i58), on verra que ce polynôme est U même chose qae x (x — aa) (x« -^ aax + aa»).

Dirisant le i"pbljnome par x' — aox-j-aa*, on verra que ce polynôme , ^^^^ * X (jc» — aa») (x» — aax + aa').

Le p. g. c. d. cherche est donc x (x* ^ aox -f- 34*).

/2e^ racinçs égales et des équations qui s'abaissetà à (Vautres de degrés moindres.

53g. Soit X= o une équation du m"** degré en x, et soient a^ ft, c, d^ ..«, I, ses m radnes; on aura

Cette identité ayant Ueu quel que soit x^ on ne la détruira pas A Pon y change jr en x-f- u ; ce qui donnera, en ordonnant le premier nsiembrc par rapport aux puissances ascendantes de u ,

X+X.ii + iXyH |-i^ =

X, étant la dérivée de X, X, la dérivée de X, , etc» (497)*

Regardant chacune des quantités x-— tf ^ x — h^ x — c^ ..., X — /, conune un monôme, le second membre de ridenlité que Ton vient de trouver sera le produit de m fadeurs binômes, ayant tous le preâiier terme u coomiUB, et pourra être représenté par 11^ + Att'^' + Bii'»-^ 4. ... + Ta + U (462) \ il viendra

donc X+X,tt4.iX,u'+...=U + Ttt+S(i«+...

Cette identité ayant lieu pour toutes les valeurs de u, même quand u = o , il s^enauit que les coeJDBciens dWe même putt* sance de u dans les deux membres, sont égaux ; on a dope

X = U, X, = T, ^X. = S,eic.

Or, T est la somme de tous les produits difTérens des m seconds termes x — tf, x— fc, x — c, x — rf, ..., x — /, combinés m— 1 à m — 1 ; donc pour formera ^ yaleurdeX^^ il/audra\ dans le produit V ou X de ces m seconds termite omettre successivement diocun des m facteurs^ et ajouier entre eux les m résultats.

540. Diaprés cela, supposons que Péquation proposée X=ro ait n racines égales àaet^à^^ il viendra donc

X = (*— <i)"(x— jyCx— c)(x— rf)...(x— /).

On vient de voir que pour avoir X, , il faut, dans le second membre, i* omettre successivement chacun des n facteurs x-a et ajouter entre eux les n résultats, ce qui donne n {x — a)"^* (x — ty (x — c) (x — rf) . . . (r — /) ; a" omettre successivement chacun des p facteurs x — 5 , et ajouter entre eux les p résultats, ce qui fournit p(x — fl)"(x — hy^^{x — c)(x — d) ... (x — 1)\ ^^ omettre successivement chacun des facteurs X — c, X — rf, ... , X — /, et ajouter les résultats, ce qui produit (x — ay" (x — hy R , R désignant la somme des pi^oduits qui restent en supprimant successivement chacun des facteurs dans (:p — c) (x — rf) . . . (x — 0 î 4** ^^^^ i ajouter entre elles toutes les valeurs obtenues de cette manière, ce qui fournira

•X, = (x— û)'^*(x— ty-' [Q-f R(x— û)(x— 6)], Q désignant n(x-6)(x-c)...(x-Z)+p(x-a)(x-c)...(x-Z).

Il est clair que chacun des facteurs x — a^ x — &, x — c^ X — cf, ...., X — /, manquent dans un terme de la quantité entre crochets \ donc aucun de ces binômes ne divise cette quantité : par conséquent le p. g. c. d. entre X et X^ est (x-a)'*"' (x-ty"* :=zD. Ainsi le plus grand commun diviseur entre V équation proposée et sa dérivée^ se compose du produit des facteurs qui entrent plusieurs fois dans cette proposée^ élevés respectivement à une puissance moindre d'une unité.

541* I^e là on peut conclure la méthode suivante :

Pour connaître si une équation X = o a des racines égales , fl faut former sa dérivée X^ , puis chercher le p. g. c. d. entre X et X^ ; s^il est Punité ou (x — ^TX^ — ^)**i ce qui suppose n= 1 et f?= 1, Téquation n^a pas de racines égales ou de facteurs égaux. Mais s^il y a un diviseur commun D , fonction de X, on dierchera le plus grand commun diviseur E entre D et sa dérivée D, ; puis le p. g. c. d. F entre E et sa dérivée E,, le p. g. c. d. G entre F et sa dérivée F, , et ainsi de suite. Soit p^ le produit des faacurs inégaux ou simples de la proposée X= o; soient p^y P^^ P^^ •••1 ^^^ produits des facteurs doubles^ triples^ quadruples y ... , c^est-à-dire des facteurs élevés, dans X, aux puissances 2*, 3*, 4^i ••• î U est clair qu^on aura le tableau que voici :

^=PiiPj{Pi)'--

^=pdPsy-

Vl^ • • • •

etc.

^n^P^PrPAPs"

D'où Ton voit qu'en divisant <jf , par q^^ q^ par <jfj, q^ par ç^, et ainsi de suite, les quotiens seront respectivement p^t P ^ Pit etc. On a donc ainsi les expressions algébriques des produits p ^p ^ /^3, ... ; et la résolution de la proposée Xr=:o, se réduit à traiter les équations beaucoup plus simples p,=o, p,=:o, ^^3=0, etc., lesquelles ont toutes des racines inégales.

543* Considérons, par exemple, Péquation

Xziix^— fer* — 4'^* + 9^'+ 12^ + 4 = ^5 nous aurons donc, d'après la méthode'précédente,

D = x*+x^ — 3x* — 5x — aj <jf^ =<jf^ = x'-^x — a,

, F = x+i, <75=i=7g, etc.

G=i=H, etc.

Ce qui donne p^=i, p^'=^x — a, p^r:zp^-=.\^ |7,=rx + i. Ainsi on voit que X =: o n'a point de facteurs simples , ni de facteurs triples, etc.^ mais que X a deux facteurs égaux kx — 2 et quatre facteurs ëganx à a: + 1 : et comme {x'\'\f{x — a)* est de même degré que X, il en résulte X=(x+ï7(j^ — i)'-