Soit encore l'équation

on en déduit

D = a:®— ax^+x*— 4x*— x'— 2X — 1, E = i'+i,

F=:i = G, etc, <jfj = x*— ax' — ax — i=<7,i

Ç3 = x'+i, <74 = i=<jf5,etc.

D'où résulte p^ =: 1 , p,=: x' — ax — 1 , ;ij=: x* + >i ^4= P5r=i.Donc X = (x*+i)'(x»— ax— i)'.

Ce procédé conduit, coiilnie on voit, aux racine^ imaginaires et ÎDCopnàensurabie» de Téquatiôti proposée.

On peut s^exercer sur lés équations

x^ — 27X + 54 = Oi

a:«^4i?;^3**— iSx^+iix'+iia: — 9 = 0,

9^:^+ 3ox^+ aax*+ iôx*+ 17a:*— 20X + 4 = ®-

544» Si le polynôme ar* + flx*+6x* + cx + rf était une puissance 4*" exacte, de la fonne (x + x)^, sa dérivée serait 4'(:r -t* jsf ; par conséquent cette dérivée diviserait exactement Ict produit du polynôme proposé par 16. Effectuant donc cette division , le reste sera

(8b—3a*)x* + 2(6c—ab)x + (i6d—ac). .

Et puisque la division doit se" faire exactement, ce reste est nul , quel que soit a: ^ ce qui exige qu^on ait séparément

86 — 3a' = o, 6c — abz=zo et i6rf— tfc=:o^

d^oùPontire i = |a% c = 1^^ et rf = ijga*.

Substituant ces valeurs dans le polynôme proposé, on verra qu^alors il se réduit au développement de (x -f- ifff*

Par cette manière d^opérer, on trouvera toujours les relations qui doivent exister entré les coefiBciens d^un polynôme complet du n™* degré en x, pour que ce polynôme soit la pniâsànoe n^* exacte d^nn binôme de la' forme or + js. Et 1-on peiit obtenir aisément les conditions pour que oj^ -f- hx* -f* cjp -f- «I soit un cube parfait.

545. Nous avons vn (54i) que quand une équation a des nicines égales, elle peut s^ abaisser àdWtres dé degrés-moins élevés. Or^ la décomposition d^une équation en d^ufres-pUxs simples, s^opèré facitenent lorsque cette équation* a des racines égales deux à deux et de signes contraires, comme

En effet , si dans cette équation Ton change x en-*^-x, ce qui donne (x* — tf*)(^+^*) ^/( — J?) = o,.le p. g. c. d. entre la nouvelle équation et la proposée sera {±* — -'a*) (^+2»*) oti le produit des bindmes résultâns dès racines qoi sont égalera à a et de signes contraires. Si donc oii chérc&cf ce p. g. c. d. et

qu^on régale à zéro, ainsi que le quotienty*(x) qu^il donne en divisant par lui Féquation proposée, les racines de cette cqualioD seront celles des deux équations beaucoup plus sînjî>les

(x>— a')(a:*+fc') = o et /(x) = o.