Considérons actaeUement les deux équation

x^ + 2a?y + 'xxy — ^xjr 4-^» — 4 = o ,

j?* -|- ^^JK "t" V^* — Sj" + a =: o.

Bien que ces équations ne soient pas du premier, degré eu jp ou en jr^ elles conduisent cependant à une teHe équation , par rapport k a?, en retranchant de la première le produit de la seconde par x^ car alors on trouve

xy — a^r4-^'— 4^-^î ^^^ a:=:— *^ •

Avant de supprimer le facteur commun y — a , oa l'égale à zéro, et Ton substitue la valeur y=>i qui en résulte, dans la seconde équation proposée, laquelle se réduit à j?' -f- 4^ = o , et donne «=oetx = — 4*

( «65 ) Supprûnant le Cicteur conm.un^-i, ce qui donnera x = — y — 2 , et substituant dans la seconde équation proposée ^

onaura ^—S^ + ôzz:©; d'où ^=3 cl^=a.

Ainsi les éqoations proposées se résolvent par les quatre systèmes :

jr=:a, a, 3, a. •

557. U est toujours possible, par des éliminations successives d'un on de plusieurs termes, de tirer deileux équations proposées , une équation du premier degré, par n^;>port à une inconnue. Btais les calculs ne sont guères praticables, en général, que pour les équations du second ou du troisième degré. Prenons par ex», les équations générales du troisième degré que voici :

, jp^+/'^ + ?'*^ + ^=^®»

Dans ces ëquatimu, p, f, r, ^, 9', r', sont des fonctions de j^ et de nombres donnés. Retnttcfaant la seconde équation de ia première, etposant, poarid>régcr/i— //=sc, ^— f'scf et r— r'ss e", on amra

eaî*+c'x + e'' = o...(i).

Soustrayant de cette équation multipliée par 4?, la première proposée multipliée par e, il viendra

(cr' — e;>)x* + («"— e9)x — tfr=;o ...(a).

Eliminant a^ entre les deux équations ( 1 ) et (a) , on trouve

d'où Ton tire é^{é^ep)^^r

Substituant dans Péquation (1), chassant les dénominateurs, et décomposant en acteurs les deux termes multipliés par if et €?\ on aura

[<"(«»— «p)+eV3' = o ... (3).

Telle est Téquadon finale en j^;. et il est fàdle d'en conclure que « a aotai pour cKpKasioa

Posant V = o ) ce qui répond aux deux équations

ai +f>«*-f-^x-f-r=:o, j:' +f>'j7 + ^ = o ,

les formules (3) et (4)^ deviendront, réductions faites,

ar =

r — eq^

Enfin, si dans ces dernières formules,' on prend r=o, il viendra

Ces formules rentrent dans celles qu^on trouve, pages \%i et suivantes des Mélanges d^algèbre, et dont nous avons donné alors plusieurs applications.

558. Toutes les fois que les équations à résoudre peuvent se décomposer en facteurs , fonctions de Tune ou des deux inconnues, il ne faut pas manquer dVpérer cette décomposition \ car alors en combinant chaque facteur d^une équation, égalé à zéro, avec chaque facteur de Fautre équation , égalé aussi à zéro , on n^a plus à éliminer qu^entre des équations de degrés moins éle« vés ; et les procédés de Pélimination deviennent beaucoup plus simples. Prenons , par exemple , les deux équations

X y — fia:' — xy + 6 == o , 2a:' — Zx^y •— ixy^ + Zy^ =: o.

Si Ton réunit les' multiplicateurs de xy et de — 6, dans la première , et les multiplicateurs de ix et de — Zy^ dans la seconde, on verra facilement que ces équations se réduisent aux deux que voici :

Or , un produit est nul dès que Pun de ses facteurs est zéro ; les deux équations précédentes sont donc satisfaites par les neuf systèmes d^équations qui suivent :

xy — 6 = 0 et ar+j'zzo; xy — 6 = o et a?— ^ = 05 xy — fizro et aa? — Sj^zno; j:+i=io et x -^y = o ; x + 1 = o et « — y z=io\ ^+1=0 et2^ — 3^ = o;

o:— 1 i=o et j?-|-j^=io; a?— 11=0 et a? — jrzz:.o\

jî -r- 1 = o cl IX — 3^ r= o.

De ces neuf systèmes d^équatîons, on tire aisément les douze couples de valeurs :

j-=±l/— 6,=fc:|/6,=i=a, I,— i,|^i, 1,5.

et. chacun de ces couples de valeurs satisfait en efiet aux deux équations proposées^ qu^on pourrait aussi résoudre, mais par des calculs beaucoup plus compliqués , diaprés la métliode du n* 555.

559. On voit combien 0 importe dé décomposer les équations à résoudre, en facteurs inconnus, lorsque cela est possible; mais lliabitnde du calcul peut seule indiquer comment il faut opérer cette décomposition. Par ex., si Ton avait les deux équations

2j:* — Zœjr — 7,j^ — 3a? + 6j- = o, a?' — 4x^ ary + 4^»+ «*— 4^= o ;

on observerait que les deux derniers tenues de la première sont la même chose que *— 3 (^— - oljt) \ et que si Ton divise les trois premiers par j;-— 2;^, le quotient est exactement 20? -f-^) d^où il est aisé de voir que la première équation revient à

{x—o^jr) (jiœ+jr— 3) = o.

A regard de la seconde, si Ton j réunit les multiph'cateurs de — 4j^Y 0° verra ensuite qu^elle équivaut à

(^'— 4j) {^—jr+ 0 = 0- Il est donc aisé de résoudre ces équations , en combinant chaque facteur de la première , égalé à zéro , avec chaque facteur de la seconde, égalé aussi à zéro.