Considérons encore les deux équations

^' - (3r+ 9)*'+ (3r'+ ' 8r+ aS)*-/- ar'- a3r- 1 5 = o,

*'+ (3r-3) «*+ (3r*-- 6r-i ) j; +/- Zy—y +3=0.

Les premiers termes de ces équations donnent Tidée de comparer la première au cube de ^—(^+3) et la seconde k celui de ^ -}- (^jr — i); alors si Ton ajoute ou retranche à ces cubes les termes nécessaires pour les réduire aux deux équations proposées , et si Ton observe qu^en général a — ah"^ :=za{a^h') (a- V) on verra que'ces équations peuvent s^écrire comme il suit :

On peut aussi résoudre par la décomposition en facteurs les deux systèmes adéquations :

56i. Soient à résoudre les deux équations

Ces deux équations peuvent se traiter par diverses méthodes. On pourrait substituer dans la première la valeur de x tirée de la seconde ; ce qui donnerait une équation contenant un radical qu^il faudrait faire disparaître : on pourrait aussi employer des inconnues auxiliaires et. poser wz=.u4(-^ et ^ = ii — v. Mais ce second procédé, quoique plus simple que Vautre , exige encore assez de calculs. Yoid la marche la plus facile :

Retranchant de la preaiière équation proposée, le triple de b seconde et extrajantla racine cubique de part et d^autre, on aura

X — jr = y ^ — 3^* La deuxième équation étant la même que xf{x — j^).= ^, elle devient jy^|^(a- 3fc)= h. Cette équation et celle en x-jy feront connaître aisément x eijr. On peut faire a = 26 et 6=6.

Voici encore deux équations à résoudre

x^+iixY+J^ = az=:i6g,

56;i. Presque toutes les. méthodes précédentes d^élimination ne conviennent qu^à de certaines équations et ne sont point générales ; mais il est .bon de les connaître , parce que cuvent elles donnent, avec peu de calculs, les valeunique tes:métbodes générales ne fourniraient que, par des opérations longues et compliquées. U existe d^ailleurs,.dans la manière-d^éliminer les inconnues, des simplifications accidentelles, que lliabitude du calcul algébrique fait bien vite apercevoir, et .dont noiis avons donné beaucoup d^exemples dans nos Mélanges. A^a^;èbre.

563. La méthode dVIiminaUon qui' parait devoir éire prëfêrée, en général, est celle du commun diviseur, que nous allons, en conséquence , présenter avec les détails convenables.

564* Soit donc à éliminer x entre les deux équations A = o 'et B=:o, qui ne contiennent que des puissances entières et positives de or et de y. Si Ton connaissait une des valeurs convû" nobles de jr^ en substituant cette valeur dans les équations proposées, celles-ci ne contiendraient plus d^inconnues que ^, et seraient satisfaites par la même valeiu* xz=.a i donc leurs premiers membres A et 6 seraient divisibles par x — a, et auraient par conséquent un commun diviseur en x. Ainsi en traitant JL et 6 conune pour en trouver le plus grand commun diviseur en x^ les vraies valeurs Aejr rendront nul le reste R indépendaht de j:, et seront données par Péquation R = o. Mais puisque le reste précédent Q est alors le plus grand commun diviseur entre A et B ; en posant Q=o, A et B auront un facteur nul, et par conséquent les équations proposées A= o et B =s o seront satisfaites. D^où il suit que Féquadon Q=o donnera les vraies valeurs de a?, après qu^oa j aura substitué celles de jr^ tirées de R=:o*

On voit donc, qne pouf résoudre deux éqaations à deux inconnues X eijr^ il faut chercher le plds grand oommim diviseur en X des premiers membres A et B , et continuer Popération jusqu^à ce qu'ion soit parvenu à un reste ne contenant plus d^inconnue que jr. Ce reste égalé à zéro, sera Téquation finale, qu^il faudra résoudre. Substituant ensuite les valeurs de ^, tirées de cette équation, dans Favant-demier reste égalé à zéro ^ il en résultera les valeurs correspondantes de x.