Qu^on ait, par exemple, ks deux équations

Divisant le premier membre de la preniière par le premier membre de la seconde, on aura i pour quotient et pour reste

(ajr 5) a? — 3;-» + 5/-+ 7.

Pour éviter les quotiens et le^ rester fractionnaires, il faut multiplier le diviseur, qui doit devenir dividende, par (27* — 5)* : dr œtlt manière, on pourra fiuyre deux divisions partielles consécutives) Sans introduire de ttouvcaiiK facteur» (532). Efiectiiant

( »70 ) ces deux divisions partielles , on tombera sur le reste indépendant de *, ^4,oy + 35y— 50J- + 34.

Ainsi I tous les couples de valeurs de x et de y^ capables de satisfaire aux équations proposées, seront donnés par les deux équations ^4 ,0^+357^*— 5o^+ 24 = o , (ijrl-5)a7 — 3/*+ 5^+7 = 0. ..(i).

La première de ces équations, qui est Péquation finale en j^, étant résolue par la méthode des diviseurs commensurables , donne yz=z\^y"=zi^ y=i.Z^ y"=zl^. Substituant ces valeurs dans Féquadon (1), il vient, pour les valeurs correspondantes de â7, â; zz 3 , a? z= 5 , a; =: 5 et J7 = 7. De sorte que les équa* tions proposées admettent les quatre systèmes de valeurs :

Et en effet, chacun de ces systèmes, satisfait aux deux équations qu^il fallait résoudre.

' 566. La règle que nous venons d^appliquer, ne paraît d^abord devoir offrir d^autres difficultés que la longueur des calculs \ néanmoins elle est susceptible de plusieurs modifications importantes, sans lesquelles on obtiendrait souvent une équation finale compliquée de facteurs étrangers à la question.

En effel, reprenons les équations Az=o et 6=0, et opérons sur les polynômes A et B, comme pour en trouver le plus grand conunuu diviseur en j;. Soient M, M', M'', M'", etc., les facteurs introduits dans les dividendes successifs , pour avoir des quotiens entiers (532) \ ces facteurs seront des nombres donnés ou des/onctions dejr seul. Désignons par Q, Q', Q", Q'", etc., les quotiens successifs, et par R, R', R", R'", etc., les restes correspondans \ on aura cette suite d^identités :

MA = BQ + R M'B = RQ'+R' M?'R = R'Q" + R" M'"R' =: R"Q'" + R'" etc

Pour fixer les idées, supposons que R'^'soit le reste indépen- . dant de a:. Puisque toutes les quantités qui composent les i^en*

tîlés précédentes , sont entières et ne renferment que des puissances entières et positives de x et de j*, aucune de ces quantités ne deviendra infinie. Diaprés cela, on voit que tous les couples de valeurs de x et àejr^ qui réduiront A et B à zéro, donneront aussi R = o, R'=z:o, R"r=o et R'"=:o. Ces couples réduisant donc à zéro tous les restes successifs , seront donnés par les 'équations R"= o et R'"= o, Tune du premier de^é en ^ et Tautre indépendante de a:. Ainsi après avoir résolu Péquation R'"=o, il faudra substituer les valeurs de^ dans Téquation R''= o, çt il en résultera les valeurs correspondantes de ^.

De cette manière , on aura tous les couples de valeurs de ap et de jr^ capables de satisfaire aux équations proposées A = o et B rz o. Mais on pourra aussi en avoir d^antres ; car bien que les valeurs apz=zaeijr=ih^ tirées de R"=:o et R'"=o, donnent M'"R'=: o, cependant ces valeurs pourraient fournir M'"=: o^ sans donner R':=: o ; ou bien, si elles fournissaient R'=: o , et par suite M"R =:: o, elles pourraient conduire à M" = o , sans donner R = o ^ etc. Supposons , par exemple , que ces valeurs donnent M"=: o , sans annuler le reste R ; alors ces mêmes valeurs ne satisferont pas aux équations proposées A=:o et B=o. Car si cela était, on aurait aussi R = o ; ce qui est contre Fhjpothèse. Et comme les équations R'"= o et M"=o, ne renferment pas J7, la valeur ^iz: 6, qui satisfdt à la première, doit aussi satisfaire à la seconde ; ces deux équations sont donc divisibles par jr — 6 ; elles ont par conséquent j' — h pour facteur commun.

567. U suit de là que les solutions étrangères, tdles que â?= aetjr:zzb^ viennent de ce que les coefïiciens des premiers termes des diviseurs successifs, ont des facteurs fonctions de^, communs avec Fcquation finale R'"= o. En effet , si ces coefficiens n^avaient pas de facteurs communs avec R'", tout sjrstème de valeurs, tel que or = a et^ == &, qui satisferaient aux équa* dons R'" = o et R"zi: o , ne rendrait nul aucun des coefficiens ' des premiers termes des diviseurs ; et par conséquent ne ferait évanouir aucime des quantités M, M', M'^ M''', etc. , qui sont des puissances ou des facteurs de ces coefficiens. Car si jr^zb donnait M" = o , par exemple , M" serait divisible par j' — •& et aurait^ — b pour facteur conmiun avec R''^; ce qui est con« tre la supposition. Mais poisqu^aucune des quantités M, M', M'^

. ( »7« ) M'^', eic., ne sera annulée par les systèmes de valeurs, tirées des équadons R'" == o et R" = o , il sVnsuit que tous ces systèmes donneront R'zzOf Rzro^ B=::o et A=:o; ces systèmes satisferont donc aux équations proposées A =o et 6=0^ et seront par conséquent les TéritaJbles.

568. Ainsi , en général , si aucun des facteurs des pfemiers termes de chaque diviseur ne divise Je dernier reste ^ ce reste et ravani'demier^ égalés à zéro^foumircfnt tous lès couples de valeurs dexetdej^ capables de satisfaire aux équations proposées , et n'en donneront point d^autres. Par conséqiic^t, avant de résoudre Féquation finale , il faudra la débarrasser, par la division, des facteurs qu^eile pourrait avoir de communs /ivcc les premiers termes de diviseurs, parce que ces facteurs fournissent seuls les solutions étrangères. Par exemple, soient les deux équations

^V — 3«+i = o et d?'(j^ — >)4'^ — a=o.

Pour avoir le plus grand commun diviseur en at, multiplions la première par (jr — 1 JTi et divisons par la deuxième : le premier reste sera

Multipliant le premier diviseur par ( j*' — Sj- + 3)', et divisant par le premier reste , le second reste sera

jr^—ioj^+ S^y 6^x^+ 5ijr — 16.

Avant d^égaler ce reste k zéro , il faut le débarrasser des facteurs qu^il peut avoir de communs avec les premiers termes des diviseurs « Or, ce deuxième reste n^es^ pas divisible 1^ j^-^ Sj" + 3 ; mais on trouve qu'il Test par {j- — i)^ (*), et Ton a, pour équaticm finale « ■ Il I I '^ >■ ■■■■■■■■■■■ 1 1 1 I 111

~(*) Lejaeteur introduit pour rendre une division poêsièie^ mt ioïk- Jours dûfiseur du reàte de ta division suivante. En effet, riqoadom M" =30 en^ seul, donne àe» Taleun telles que j^=^ : sub8titiioBS4e» dbps R', R", E'", qui deviendront fonctions de x seul. Par sa nature, M" ett (acteur de a dans R' = ojc^ + bx^'^^ + ••• 1 €t M" r= o abaisse R' an degrë 1/^-1, qui est celui de K'^ Ainsi les équations R'=o et R''=o, pour^=:^, ont chacune v — 1 valeurs de x, qui doivent être les. osâmes respectivement, puisque dés que M'' est nul avec R', R" Test aussi, diaprés les identités du n^ 566, et réciproquement. Abis alors R''' est nul ; ce qui suppose èp^ea fiûsaiit^'ss/B dans Rf"=:o, «s peot tirer de

y— 8x-*+ 2or — i6 = 0.

Cette équation donne j*=:4^ 3 et 2. Substituant ces valeurs dans le premier reste égalé à zéro , il viendra 0: = — 1 , 1 et 1 .'

Si Ton nWait pas dégagé Péquation finale du facteur (^- 1 y^ elle aurait été annulée par (jr — i)* = o, équation qui, avec FavantHlemier reste égalé à zéro , aurait donné les 4eux sjrstèmes de solutions étrangères j^=i ct;r=:^2,^=:i etj?=r2.

569. Lorsque Tun K" des restes successifs a un facteur k fonction de y y sans Vétre deXj il faut égaler à zéro cefac* teur k, ainsi que le reste précédent R', puis résoudre les deux équations résultantes k = o et R'z= o. Continuer ensuite /'opération de V élimination. De cette manière , on obtiendra des couples de valeurs beaucoup plus simplement que par là méthode générale. Et si k n^a point de facteurs conmiuns avec les premiers termes des diviseurs employés E', R et 6 , les valeurs trouvées ne pouvant annuler les quantités M, M\ M" (566), donneront nécessairement R = o, B=:o ctA = o, et satisferont par conséquent aux équations proposées.

Mais si k contenait des facteurs conmiuns avec les premiers termes des diviseurs employés, il faudrait, pour reconnaître les vrais couples de valeurs , les substituer successivement dans les équations à résoudre*

5^0. Pour appliquer la règle précédente, reprenons les équations déjà résolues au n* 56o , savoir :

Effectuant la première division , on aura pour reste :

■celle .équation, du degré v — a en x ^ toutes les v — 1 valeurs de jt ; chose impossible (4^}i ^ moins que y = /g ne rende nul H'" sans le secours d''aucune valeur de x, c''cst-à-dire , à moins que^ — fk ne divise R'". Donc R"' est divisible par tous les facteurs de M" \ il Test don« psr M" lui-même.

Ce principe est général ^ et si Ton a les deux équaUons

j3x» — SyJx — 7« 4- a = o , Cr* — 3r4.a)x« + (y— i)x-.3r-l-i=o,

et qulen âiminant x, on prenne la premit^re pour dividende, on verrr que le reste indépendant de x sera divisible par (/> — 3/ + s)'.

ALGÈBBE. 1 8

Avec nn pen d^attention , on reconnaît que ^(^+i^ est Eicteur de ce reste ; car'^ = *- i fait évanouir la partie indépendante de X. Et comme a ( j* -{- i ) n^a pas de facteur commun , fonction de jr^ avec le coefiScient i du premier terme du diviseur, il faut poser j- +1=0 ou j^= — i \ ce qui réduit le divî- |eur égalé à zéro^ à Téquation

a? — 6 X* + 8 jr 1= o ; dVù ar = o, Jr = 4 ®' xz^i.

On trouve effectivement que chacune de ces valeurs avec jr^=s. -—1, satisfait aux équations proposées.

Supprimant 1^ facteur a (^ -j- i ) , dans le premier reste , et changeant les signes, il vient, pour second diviseur,

Sx'— i2j:-fjr*+2r+9î — (?) et Ton a , pour second reste,

Il est aisé de voir que 7.^jr{^jr + a) est facteur de ce second reste. Egalant donc ce facteur à zéro , ainsi que le second diviseur (^), il viendra deux équations, qui fourniront les quatre systèmes de valeurs ^=0 et x=:3,^=o et x=:i,^= — % et 0^ = 3, jr^=. — 1 et xz=.\. Et ces quatre systèmes satisfont aux équations proposées, parce quVn effet, le facteur a4j'(^ -}- 2) n^a point de facteurs , fonctions de jr^ qui soient communs aux premiers termes des diviseurs employés.

Supprimant le facteur 347* (^-j- 2) dans le second reste (3), il vient a: — 2 pour troisième diviseur; et Ton trouve, pour reste indépendant de x, j'-' -{- 3^ — 3. Les équations

J^'+V — 3n=o et x — aziio, donnant les deux couples de valeurs ^zn — 3 etj:=i:2,^=:i et :r = 2 , on en conclut que les proposées sont vérifiées par les neuf systèmes de valeurs :

jr = ^»i — »i — ï^Oi o, — 2, — 2, — 3, + 1, X = o,+4,+2,3, i,+3, + 1, +2, -f 2.

57 1 . On voit par cet exemple , combien il importe , pour la simplicité des calculs , de supprimer les facteurs fonctions de jTx lorsqu^il s^en rencontre ; mais on voit aussi qu^il ne faut opérer la suppression , qu^après avoir égalé ces facteurs à zéro \ car au-

trement, on ferait disparaître plusieurs solutions» Nous laissons à traiter, diaprés la même méthode , i*^ les équations

ac^ax'+7^* = o ) ^,^^ I j^=:o, o, o, i, i, 4, (jr—n^x^ + xj-zizo) \ jr=^6, o, o, 1, 1,— a-,

a* Les deux équations

qui donnent les neuf systèmes de valeurs :

r=ii ï

lO,

3* Enfin les équations

3x^ — Tjrx" — 3jr^x + 2J' =0,

{r—jr)x — 6y + 6z:zo,

qni admettent les douze solutions :

x=i, — 1, f, 11— îi 2, — 2, ±i/6, =F|/— 6.

Il est bon d^observer que les trois systèmes d^équations , que nous venons d^énoncer, pourraient se résoudre par d^autres méthodes que celle du conomun diviseur.

572. LVlimination par le plus grand connnun diviseur, donne iieu à plusieurs remarques, quHl est bon de connaître.

I. A chaque valeur que V équation finale donne à y^ il ne peut répondre d'autres valeurs de x que celles fournies par r avant-dernier reste égalé à zéro. Car après avoir remplacé j- par une de ses valeurs , chaque valeur de x , qui répond à cette valeur , réduit les deux équations proposées à zéro ; elle rédm't donc aussi à zéro tous les restes et par conséquent Tavantdemier \ elle est donc fournie par cet avant-dernier reste égale à zéro.

n n^ a d'exception que quand plusieurs valeurs de x répondent à une valeur de y ; alors ces valeurs de x ne peuvent être données par Tavan^-demier reste égalé à zéro , qui est du premier degré en x. Et comme pour diacune de ces valeurs de j: ce reste doit être zéro , il devient nu^ de lui-même par la valeur dey, et donne j:= J. Suivant donc qu'il y a 2, 3, 4, ••m valeurs de X qui répondent à une même valeur de y, cette valeur

de y rend nuls dVax-ménieS les restes où x est au i*', a*, 3*, . . . , degré. Maïs cette circonstance n^a lieu que quand , dans la recherdie du plus graud commun diviseur, on a négligé de supprimer, dans Pun des restes, le facteur fonction de jr, après Pavoir. égalé à zéro (SSg). ,

Réciproquement, lorsque Fune des Vraies valeurs dey rend nul de lui-même Pavant-dernier reste, et donne par conséquent , j:=5 1 ^ reste précédent, qui est du second degré en x, devient le plus grand commun diviseur des deux équations- proposées. Ainsi en égalant ce reste à, zéro , ces deux proposées sont satisfaites, puisqu^un de leurs facteurs est nul : donc il en résulte deux valeurs de x, correspondantes à la valeur dey.

Si cette valeur de y faisait encore évanouir le reste du second degré en a:,' le reste précédent , du troisième degré en x, deviendrait plus grand commun diviseur aux deux équations proposées \ elles seraient donc annulées en égalant ce reste à zéro ; il y aurait conséquenmient trois valeurs de X', qui , avec la valeur de y, satisferaient aux équations proposées : ainsi de suite. ,

II. Si Ton arrive à un reste R" du premier degré en 2:, en égalant ce reste à zéro, le reste précédent deviendra diviseur commun aux deux équations proposées , qui seront par conséquent satisfaites par R'=o. Substituant dans R'= o, la valeur** de X, tirée de R"=o, on aura Péquation finale en y, car toutes les valeurs dey, qui satisferont à celte équation R'=o, satisferont aussi aux équations proposées. De cette manière, on abrège quelquefois le procédé de Félimination. G^est ainsi qu^on résoudra les deux équations

î^^!r+ C^/"- 4 j - 2) •^'+ (^/ - cy - 2y'+ 6y+ 1 ) X — 2 = o,

ÏII. Si Ton trouve un reste ne contenant que des nombres donnés, il n'y aura aucun couple de valeurs de x et dey, capable de satisfaire aux équations proposées \ car toutes les valeurs de X et dey, qui réduiraient à zéro les deux équations proposées, réduiraient aussi à zéro tous les restes successifs (566)^ ce qui est impossible , puisque le dernier sera toujours un nombre donné. Dans ce cas , les deux équations à résoudre sont incompatibles et ne peuvent coexister. Telles sont les deux équations

^V — (y— 3y— i)x+y=o et x'— y'+3 = o.

C «77 ) IV. Lorsque Tune des vraies valeurs dey réduit Tavânt-dernier reste à un nombre connu , et donne par conséquent x = oo^ il n^ a qu^une valeur infinie de x^ qui , avec cette va^ur de y, puisse satisfaire aux équations proposées ; car toute autre valeur de X ne pourrait pas réduire à zéro Tavant-demier reste ^ qui est un nombre connu. Par exemple^ les deux équations

^y + ^'(y— 0—1=0 et xy+y— /— 1=0, ont pour équation finale y' (y — i)=i:o , et pour avant-dernier ■ reste , ay — i = o : donc jzzpetxzroD, ynii etj:=zi.

y. Supposons que Pun R'" des restes successifs s^évanouissc de lui-même. Dans ce cas , le reste précédent R", devient réellement diviseur conunun aux deux équations proposées, qui prennent par conséquent la forme

NxR" = o et PxR" = o.

Ces deux équations sont donc satisfaites par R" = o. Or , si R" ne renferme que x, y pourra être pris à volonté ; si R" contient X et y, on pourra donner à y telle valeur qu^on voudra : de sorte que dans Pun et Pautre cas , le problème est indéter» miné^ à moins que R" = o ne fournisse que des valeurs impos* sibles, comme cela arriverait si R" était x^-|-i6 ou x*+y'+i> Les solutions déterminées sont données par les équations Nr=o' et P = o, qui vérifient aussi les proposées.

Par exemple , en traitant les deux équations

x' — 3x*y4-3^' — Sx'+ïoay — y^ — 5y* — 6y + 6x=:0 x^--5xy+6xr^—x—ix^+jr = o,

le reste de la seconde' division pourra se mettre sous la forme

Cr*-iqr'+35r'-5oj^+a4)(x-^)....(i)

Supprimant le multiplicateur de x — y, et divisant le reste précédent par x — j^, on aura un quotient exact. Donc x — jest un diviseur commun aux deux équations proposées \ et conséquemment x eiy ont une infinité de valeurs , dans ces équations.

Les solutions déterminées fournies par N =: o et P = o, sont précisément celles que donne le multiplicateur de x "-jr dans (i), quand on Pégale à zéro, ainsi que le reste précédent, débarrassé du facteur x-— y. Car si Ton divisait les proposées par leur facteur commun x — y, et qu''on opérât sur les quotient-

N et P^pour en trouver le plus grand commun diviseur en x, les restes des divisions successives n^aunuent pas le facteur x—j-y qui n^est pas dans N et P ; ces restes s^obtiendraîent donc en divisant par X — j ceux de Télimination de x entre les équations proposées.

Si Ton traitait les deux équations

x^ — (jr—\)x*—(jjr—\)x+\—Oy le second resté pourrait «e mettre sous la forme

et le reste précédent serait divisible exactement par x '\- i,

VI. Bczout a remarqué le premier que le degré de Téquation finale ne peut être plus grand que le produit des degrés des deux équations proposées; et qu^il est justement égal à ce produit, lorsque les équations sont les plus générales de leur degré.

Il nous serait impossible de démontrer ici cette proposition ; mais on peut aisément en reconnaître Inexactitude sur les exemples que nous avons traités , et sur ceux qu^.on pourrait se proposer d^ailleurs \ et il en résulte que si le degré de Féquation finale surpasse le produit des degrés des équations proposées, cette équation finale sera compliquée de facteurs étrangers.

578. Pour terminer ce que nous avions à dire sur Télimination , nous ferons observer que dès qu^on sait éliminer une inconnue entre deux équations , il est facile de comprendre comment on peut éliminer entre m équations à m inconnues. En effet, dans ce cas , il suffit de combiner la plus simple des équations proposées, successivement avec chacune des m-— i autres, pour en chasser une même inconnue ; puis de répéter le même procédé sur les nouvelles équations , et ainsi de suite. Hais les calculs se compliquent singulièrement à mesure que le degré et le nombre dVquations deviennent plus considérables. Par ex., pour trois équations complètes du troisième degré, à trois inconnues, Péquation finale devrait sVlever au Si"** degré. Il arrive cependant quelquefois que Ton peut abréger les calculs par la manière dVliminer les inconnues. Voyez, par exemple, remploi des inconnues auxiliaires ^ dans les Mélanges d^algèbre, pages 46, 47i ^i^ ^^^ B3, etc.

De la recherche des racines réelles mcommensura^ blés d'une équation numérique,

574* Après avoir trouvé toutes les racines commensurables , égales et inégales, d'aune équation numérique, et après Ta voir débarrassée de ces racines par la division., il reste encore fes racines incommensurables réelles ou imaginaires. Les valeurs incommensurables réelles , ont une partie entière suivie d^une fraction; il faudra donc déterminer d^abord la partie entière , et ensuite la partie fractionnaire , avec un certain d^é d^approximation.

Pour avoir la partie entière ^ le moyen qui s^offre naturellement à Fesprit, est de substituer à la place de x, tous les nombres consécutifs o, 1, 2, 3, ..., — i, — 2, — 3, ..., compris entre les limites -f-L et — L'; et toutes les fois que deux nombres consécutifs donneront deux résultats de signes contraires , on en conclura que ces deux nombres interceptent au moins une racine réelle (5o6) , et que par conséquent , la partie entière de cette racine est le plus petit de ces deux nombres.

575. Mais cette opération est souvent insuffisante pour mettre en évidence toutes les racines réelles, puisqu^il peut sVn trouver plusieurs entre deux nombres consécutifs ( 507 ) : il ùaii donc mettre entre les nombres à substituer ,. un intervalle tel qu^il ne puisse tomber qu^une seule racine entre deux substitutions successives. Or, cet intervalle doit être moindre que la plus petite différence des racines réelles de la proposée. En effet , soient M et M' deux nombres dont la différence est moindre que la plus petite différence des racines réelles a, b^ c,-</, etc. , de la proposée X=o ^ supposons quW faisant a;=M et x=M', on ait deux résultats de signes contraires; il y aura donc au moins une racine réelle a comprise entre M et M', et il viendra M-^a et Wy>a, Mais je dis qti^il n^ aura pas une seconde racine h comprise entre M et M'; car si cela était, on aurait aussi M<^b cl M'>fc; donc, puisque M'>a, il viendrait M' — b'^a — J, €t, à plus forte raison, M' — M>a — fc, ce qui est contre l'hjrpothèsc. Donc en général , si ^ est moindre que la plus petite différence entre les racines réelles , et que , partant de la limite inférieure /, on substitue les nombres Z, /-|-^, /+ 2^, ..., jusqu^à la limite supérieure L, on obtiendra autant de résultats de signes différens^ qu^il y a de racines réelles. Chaqjie changement

de siguë accusera Texistence d''vtne seule racine entre les deux nombres substitués ; et il n^y eu aura pas d^intermcdiaire, si les signes des résultats «ont les mêmes.

676. U reste à déterminer Tintervalle f. On y parviendra , quoique ne connaissant pas les racines de la proposée, si on peut cependant former une autre équation , dont les valeurs de Pinconnue soient toutes les différences des racines de la proposée , prises 2 à a ; car la limite inférieure des racines de la nouvelle équation sera la valeur cherchée de ^. Or, soit a une des racines de réquation proposée X=o, et faisons xz:=a+jr \ nous au|;ons (497)

Et puisque a est racine de Péquatiou X=o, le premier terme X disparaît; divisant le reste par^, il vient

Xnro et X^ + iX,^H |-N/"- = o ... (d).

Ces deux équations sont entre les deux inconnues a cl jr : et comme j"=-x — a\ y est la différence entre la racine a et chacune des autres b , c , d , etc.^ représentées par x. Eliminons a entre les deux équations (d), il viendra Tcquation Y=iro, dont Tin connue j- sera la différence entre deux quelconques des racines de la proposée X = o ; car Téquation Y = o ne renfermant que Pincounue^ et les coefficiens de la proposée, est précisémeitt la même que Ton obtiendrait si Ton faisait x=b-^j'^ 3^=.C'\-jr^ etc., c''cst-à-dirc , si^ désignait la différence entre la racine b et chacune des autres , entre la racine c et chacune des autres, etc. Donc, réellement, réquation Y=o a pour racines toutes les difTcrences des m racines a, t, c, d^ etc., prises deux à deux ; elle a donc m(m — i) racines (4^5); elle est p.ir conséquent du m (m — ij™' degré en ^.

^ De plus, cette même équation Y=: o ne doit contenir que des puissances paires de jr ; car ses racines j':=a — fc, j'^=-h — a, j^zna — c, jrznzc — a, ^izz^-^aT, j^:=zd — û, etc., sont égales deux à deux et de signes contraires \ de sorte que si Ton a ^r = ^'1 X = ^'1 y^^ c', etc. , on aura aussi y"=z — a', yz=L — 6', j*=: — c', etc., et par suite, Y=:o sera de la forme

(J-* - a") {f - A") (r.* - c") • •• = o , ou j'« + ;»;-"'-' + <y-'"-* + • • • + /r' +. B = o. On peut donc poser y^zz-z sans introduire de radicaux ; et

Ton aura ainsi une équation Z zn o , dont Tincopunc z est le carré de toutes les difTérences des racines de la proposée X = o : et c'*e8t,ce qui a fait nommer Z = o, V équation aux carrés des différences.

577. Voyons maintenant Pusage de Péquation Z = o pour •calculer rintenralle i, D^ajbord , comme ^ doit être la moindre différence des racines réelles de X r= o , et que le carré de la différence de deux nombres réels est toujours positif, on voit qu^il suffit de chercher la limite inférieure des racines positives

de Z =1: o. Faisant donc ^ = - , dans Z z=: o, puis déterminant la limite supérieure / des racines positives de la transformée U=o ^i - sera la limite, inférieure des racines positives de Z=o ; c''est-à-dire, qu'on aura toujours -s^-y ^^^^rTÏ A.insi, en posant i'ziZTp^y on aura Tintervalle à inettrc entre deux substitutions successives.

11 peut se faire que / soit -^ 1 ; dans ce cas, ^^ 1, et en substituant pour x tous les nombres entiers positifs et négatifs compris entre les limites -)~ ^ ^^ — L\ ^^ ^"^^ ^^ nombre de toutes les racines réelles, et la partie entière de chacune. Mais '

en général, />> I9 et par suite t<^i. Et comme yî est le plus souvent inconunensurable , il faudra prendre le nombre

entier h immédiatement au-dessus , ce qui donne ^ = - , et 7

sera Tintervalle cherché entre deux substitutions successives. On fera donc , dans X = o , successivement :

Enfin , on peut éviter la substitution de nombres fractionnai-

res dans Féquation X = o , en y faisant d'abord xzz- ou vzzi

hx^ ce qui donnera unf"" transformée V= o, dont les racines seront chacune h fois plus grandes que celles de la proposée. Or , soit a — & la plus petite différence des racines de X = o ;

on aura donc a — ft^^ouflA— -fc^^- 1, et par conséquent ,

toutes les différences des racines de V = o soiit plus grandes que Tunité. D'où il suit que si Ton fait successivement vzn o , i,a, 3, ..., — 1,— a,— 3, ..., on sera sûr d'obtenir au-

dUQt de changemeos de signes que V±= o a de nfeînes réelles.

678. Récapitulant ce qui vient d^étre dit , on verra que, pour mettre en évidence toutes les racines réelles incommensurables d^upe équation, et obtenir la partie entière de chacune, il faut, I* former Péquation aux carrés des difierences Z=o ; a° déterminer la limite inférieure des racines positives de Z^cn o , et

prendre la fraction commensurable -z immédiatement au-dessous

de la radne carrée de cette limite ; V faire dans la proposée

X = T 1 ce qui donne la transformée V =: o ^ 4^ substituer dans

V= o, à la place de v, les nombres consécutifs o, 1, 3, 3, ....,

— 1,-— 2, — 3,..., compris entre les limites supérieures des racines positives et négativies de cette dernière équation.

Observons d^ailleurs que t se tire de Y = o ^ ^Q 7 posant ^ = - , et qu^ainsi Téquation Z =2 o est inutile à former. De plus, dès qu^on a la partie entière des racines de Y =: o, on a les raéines de X = o , à une fraction 7 près.