X. = 3a* — 24tf + 4r, 5X

Diaprés ces valeurs , et en observant que a est une radne ait la proposée , il vient

a — i2â'-f-4i^ — 29 = 0, et 3a'— 24a + 4i+(3£»— i2)^+/' = o.

Eliminant a entre ces deux équations, on trouvera ,' pour Téquation aux carrés des différences ,

Posant ^ = -, il viendra , pour la transformée, U = o , 49fi'— 44iu'+42M— 1=0, ou 49"'(«— 9)+4î>(w— 5^)=o-

On voit que la limite supérieure des racines positives de cette «quation , est ii = 9 ; d^où j^ -«CI- Faisant donc, dans Téqua-

tion proposée , x = - , on aura , pour la transformée V == o , .

V — 36i;' + 36gz; — 783 •=. o.

Telle est Péquation qu^il s^agît de résoudre. Elle n^a pas de racines négatives \ et la limite supérieure de ses k*acines positiveSf est 36. Faisant donc 1; = o , 1 , 2 , 3, ... , 35 , on verra que v est entre 2 et 3, entre 16 et 17 , et entre 17 et 18. Donc x eSt entre 1 et | , entre ^ et -^ , et entre -^ et 6 ; en sorte que jr a deux racines comprises entre 5 et 6, qui n^auraient pas été aperçues sans ce calcul.

La méthode que nous venons dVmplojer est générale, et ne laisserait rien à désirer, si elle n^entraînait pas dans des calculs tellement laborieux, que, passé le quatrième degré, ils sont impraticables. Mais pour ce qui regarde la théorie, elle est claire, complète et sans embarras , et conduira toujours à la partie entière de chacune des racines de la proposée.

58o. Occupons-nous maintenant de la détermination de ces racines, avec un certain degré d^approximation. U existe pour cela les méthodes de Lagrange, de Newton, de Legendre, de BuDAN , etc. ; mais nous ne rapporterons que celles de Lagrange et de Newton, qui sufiiront au but que nous nous sommes proposé.

Méthode de Lagrange. Soit X=o une équation dont toutes les racines réelles ont une partie entière différente,' que Ton suppose déjà déterminée \ soient ^ et a -|- 1 deux nombres entiers consécutifs qui ne comprennent qu^une seule racine réelle, dont la partie entière est a : il faut tâcher d^obtenir cette racine par approximation.

Pour cela , faisons x = a -| — , dans Téquation X = o , et

désignons par Y =: o la transformée , qui est de même degré que la proposée , et qui a par conséquent m racines. Une seule de ces m valeurs de j- est plus grande que Tunité \ car s^il y en

avait plusieurs , alors x ou â -f- - , aurait plusieurs valeurs comprises entre a et â -(- 1 ; ce qui est contre Phypothèse. Il suffira donc de substituer au lieu de^, dans la transformée Y= o, la série des nombres naturels o, 1, 2, 3, 4v *" ^ ^' ^^ ^^ ^^^ ^^

aura les nombres h t\h'\- \ qui donneront deux résultats de signes cont^aires ; et par conséquent ces deux nonibres intercepteront la valeur cherchée de y*

On peut donc faire j*=: &-|- -^^ dans Y=o, ce qui donnera

la transformée Y' = o. Cette équation n^aura encore quhine seule racine positive plus grande que Punité ', et Ton mettra cette racine en évidence par la substitution des nombres naturels i , 3, 3, 4i •••1 ^^^ Y'zzo. Soient c et c-j- i 1^ deux nombres qui interceptent la valeur cherchée de^, et soit fait ^=r c +

—y dans Y' rz o ^ on aura une nouvelle léquation Y'' ±= o , sur

laquelle il faudra opérer comme sur les précédentes ; et ainsi de suite. Par cette manière d^opérer , on obtiendra cette suite de valeurs :

^=«+j. ^=*+jJ/> ^=^+^r' y=^+^te^-;

d^où Ton déduira cette fraction continue x^na^h^Cyd^ etc. (Voyez ci-après la théorie des fractions continues.)

Or, on sait que dans une fraction continue, plus on prend de fractions intégrantes, plus on approche de la valeur du nombre réduit en fraction continue ; et Terreur commise est moindre que Tunité divisée par le carré du dénominateur de la dernière réduite employée (SgS et Sgg) ; donc la méthode précédente donnera la valeur chercliée de a:, avec tel degré d'approximation que Von voudra ,

58 1. Appliquons cette méthode à Téquatlon

Il faut d^abord déterminer la partie entière. Or^ la limite supérieure des racines positives de cette équation , est évidemment 3. Qiangeant x en — ^, il vient j^ — 67^+ 7 =: o, équation dont les racines positives ont encore 3 pour limite supérieure ; ainsi — 3 est le limite supérieure des racines négatives de la proposée. Il faut donc d^abord substituer les nombres o, 1, 2, 3, — 1, -—2, 7-3 :

X = o donne — 7 , x = o (}onnc — 7 ,

X zn \ — 12, X zzi — 1 "— îïi

OD voit, par ces substitudons, que 2 et 3 sont les senk nombres qui donnent des signes contraires. Formons réqualion aux carrés des différences ; nous aurons (576)

Posons t-* r= - ; il en résulte

^ II'

or, il est visible que 11 = ^ rend le premier membre essentiellement positif; ainsi la limite supérieure / des racines positives de

cette équation est < 1 5 d'où Ton peut conclure que >• 1 .

Donc les différences entre les racines réelles de la proposée sont plus grandes que limité \ d'ailleurs, la substitution des nombres naturels n'a produit qu'un cbangemcnt de signe. Donc l'équation proposée n'a qu'une seule racine réelle , comprise entre les deux nombres a et 3.

582. Cherchons la valeur approchée de cette racine. Reprenons l'équation a:* — 6x — 7 :^ o , et faisons a: =: 2 + - -, il en résulte x/ + X,^'+iX^+ 1 =0, ^

et les coeffidens X, X, et ^X, ont pour valeurs (497)

X=:(2)'-6(2)~7=-ii, X,= 3(2)'— 6 .... = 6, 1X, = 3(2) = 6.

Ainsi, la transformée est, en changeant les signes,

1 1^' — 67-' — 67* — 1 zn o.

Pour mettre en évidence la seule racine positive plus grande que l'unité, de cette équation, soit fait^= 1, 2, 3, ... : jr= 1 donne —-2 et j^=: 2 donne -j' 5i ; ainsi la valeur cherchée est

comprise entre 1 et 2. Posons donc ^ == i + ~ ; on obtient on résultat de la forme

X=ii(i)' — 6(1)'— 6(1)— i= — a,

X =33(0'— ia(i) — 6 = >5,

iX. = 33(i)-6 = ^7,

( a86 ) ce qui donne,. pour la. transformée, en changeant les signes,

comme celte équation revient à ^(37^ — 15) — 3^-^ji=o, on doit supposer^ au moins égal à 8, pour obtenir des résnl-* tats posidé. Soit dont ^ = 8, 9, 10, ... : ^ = 8 donne — i63,^ = 9'foumit — 11 et ^=10 donne +^19*, ainsi la , yaleur de^ est comprise entre 9 et 10.

Posons ^= 9 4" -7^) îl vient, pour nouvelle transformée,

X = 2(9)'— i5(9)' — 27(9)— ii=— II, X. = 6(9)'— ,30(9) — 27 = 189,

d'où 1 1/'* — 189/'* — 39y — 2 = 0,

* on ^''(nj^" — 189) — 39^' — ar=05

^'= 17 donne — 1^43 et ^'= 18 fournit + aaia \ ainsi la valeur de ^' est comprise entre 17 et 18.

Kapprochons actuellement les équations

on obtient la fraction continue

xz=a, 1,9, 17, etc.

Les quatre premières réduites sont ti ti tIi ^ô ^^ trobième réduite 7§, ou 3,9, 4pnne un degré d^approximation marqué

par ■ , ou ; c^est-à-dire que 2,0 représente la vraie

^ 10X171 1710' ^ rv r

valeur de a: à 0^001 près ; la quatrième réduite f^, ou 2,9005,

exprime la valeur de :r, à - — ^ , ou à 0,0001 près ; et en effet,

si dans la proposée x^ — o:r — 7 == o , on fait successivement x=r 2,9005 et x = 2,9006, on obtient deux résultats de signes contraires.

583. La méthode d^approximation que nous venons d^emplojer , suppose que réquatidn proposée n^ait pas plusieurs r;acines comprises entre deux nombres eptiers consécutifs n et it •{• 1. Mais si cela était, il faudrait commencer par transformer Péquation dont il S'agit en une autre dont les différentes des

( ««7 ) ncmet fussent toutes plus grandes que Punité; ce qn^on peut

faire en posant x rr^ , pois en donnant à A les valeurs 2, ou 3,

on 4 1 ou 5, etc. (7est même là un moyen d^éviter la formation 8e réquation aux carrés des différences^ si souvent impratica- Ue par la longueur des calculs qu^elle exige.