Considérons, par exemple, Féquation

8x^ — Gx — 1=0.

Les limites supérieures des racines positives et négatives étant -|. 1 et — 1 , on voit que si cette équation a plusieurs racine^ réelles, leurs difiërences seront moindres que Tunîté. Ainsi, pour mettre ces racines en évidence , il faudrait recourir à Féquation aux carrés des différences ^ qui est

Hais on peut éviter la formation de cette équation , en posani

dans la proposée, x = - ; car alors la transformée étant

on trouve que cette transformée a ses trois racines réelles, Tune entre 1 et a , Fautre entre o et — 1 , et la troisième entre -^ 1 et — 2.

Appliquant donc la méthode de Lagrange , on trouvera , à moins de 0,0001 près,

J'= »i^94i J — — <^Ml^ et y = — i^53ao; d'oQ x = 0|93g7, x = — 0|i^37 et xzz — O17660.

585. Méthode de Newton. Soient p elp-^-i deux nombres qui interceptent une seule racine positive de Féquation X = o. Si Ton fait x=.q^ q étant entre p et p -{- i^ on jugera par le signe du résultat , si la racine est comprise entre p et ^, ou entre q eip'\- i. Supposons que le premier de ces cas ait lieu. Faisant de nouveau x=zq^^ q^ étant entre p et q^ on saura si la racine est entre p et 9^, ou entre 9^ et 9 ; et ainsi de suite , ju»qu^'â ce qu^on soit parvenu à une valeur a qui ne diilere pas de 0,1 de celle de x. En désignant par j* Terreur, on a x=a'\'jr. Introduisons ce binôme dans la proposée X = o , ou Nx^ -^ Pj^^' + . — f-Tx -f- U := o ; nous aurons

Mais jr est par snfq[>o«tion une petite quantité \ la méthode

de Newton consiste h regarder Jics termes affectes de j-', jr^\ ..• , comme assez petits pour pouvoir être négligés ; ce qui réduit la

transformée à X -4- X^^ ±: o \ d'où ^ = — =7- , ou

Appelons a^ cette fraction , ou seulement sa valeur approchée ; nous aurons ir = a -f- a' pour seconde approximation. Faisant fl + a'=:fc,etx = & +^^ ^'sera donné par la fraction (1), après j avoir remplacé a par h\t\. ainsi de suite.

586. Soit l'équation x — ix — 5 = o ^ si Toi^ y substitue pour X la série des nombres entiers o, i, 3, 3, — 1, — 3, -—3,

. on trouve que 2: = a et x =: 3 donnent — : 1 et -J- 16 ; donc il j a une racine réelle positive entre 2 et 3, plus proche de 2 que de 3. Comme x = 2,1 donne 0,061, on reconnaît que 2,1 est plus grand que x, et plus voisin de la racine que 2. Ainsi, 2|i est la valeur de cette racine , à moins de o, 1 près. Faisant a zzz 2,1, dans la fraction (1)) il vient*

• a3 — aa — 5 0,061 - -

r=z r-T = r = — o,oo54-

Ainsi , en se bornant aux dix-millièmes , on a x =z 21O946. Faisons de nouveau a = 2,0946^ nous aurons

o,ooo54i55o536 ,0.

Ainsi la quatrième décimale était défectueuse , et on trouve X = 2,og455i49> On pourrait de même pousser le calcul plus loin, corriger les dernières décimales, ou s'assurer de leur exactitude.

587. Cet exemple suffît pour donner une idée de la méthode de Newton et de l'approximation rapide qu'elle fournit. Cependant cette métliode est^clquefois en défaut, ainsi que Lagrange le prouve dans son traité de la résolution des équations numériques^ et auquel nous renvoyons. Mais comme les cas d'exception sont rares et se manifestent en fournissant des valeurs successives, d'abord croissantes, puis décroissantes , ou réciproquement, on l'emploie ordinairement à cause de sa grande facilité.

On a d'ailleurs un moyen de s'assurer , à la fin de chaque opération , si la méthode a donné le degré d^approximation que

Ton dësirait •, car si après avoir i:einplacë Pinconnue' x par la valeur trouvée , on substitue ensuite cette valeur augmentée ou diminuée d^une unité de la dernière décimale, et que la seconde substitution donne un signe contraire à celui fourni par la première, il est clair que la valeur cherchée sera comprise entre les deux nombres substitués. S^il n^ avait pas de changement de signes, il faudrait augmenter ou diminuer le dernier diiffre décimal, jiisqu'^à ce qu^on par\'înt à deux résultats de signes difTérens.

588. La méthode d*approximation de Lagrange , quoiqu'cn général moins expédilivc que celle de Newton , a sur celle-ci Favantage de donner à chaque opération une approximation toujours certaine : elle peut servir à trouver exactement les racines conunensurables , même lorsque quelques-uns des coefïîciens sont irrationnels \ tandis qu'ail n'^en est pas de même de la méthode de Newton.

En appliquant Tune ou Pautre métliode à IVquation

X — 5a: — 3 zr o ,

on trouvera x =i 3^49^ , x zr — o,6566 et xzn — i ,8342. De même , en résolvant IV'quation

3x -|- i6j:^ — il^^ — iZ%x — 259X* + ' 74-^ + 72 = ^1

ou aura x=: — 3, xz= — 3, xz=i\^ j: in 3,^505, xzn — 0,3099 ^' '^'—^ — 3,44^5.

589. Nous terminerons ce que nous avions à dire sur la résolution des équations numériques , en observant qu^on peut toujours réduire à de telles équations, les équations homogènes qui ne renferment que deux lettres a et x. Par exemple, soit Péquation homogène

x^ + jx — ^a'x* — ax -|- 6fl* =: o ;

si Ton fait , dans cette équation , x = ajr^ elle deviendra

/ +y — ly—J- + 6 = 0.

Cette équation numérique donne j'z=, i. — 1 . a et — 3 ^ donc il en résulte x = « , — n , 2a et — 3a.

De même , en faisant x = /zr, Téqualion x'" — a!^z=.o devient y" — i z=zo,

ALGÊBllE. IQ

C *90 ) Des fractions continues,

590. On appcUcyrâcfibn continue^ une expression composée d^un entier ( qui peut être o ) , plus une fraction qui a pour nu- .mératcur Tunitc et pour dénominateur un nombre entier, plus une fraction qui -a elle-même pour numérateur l'unité et pour dénominateur un entier , plus une fraction formée de la même manière, et ainsi de suite. Telle est l'expression

j: zz: a +

Nous appellerons termes de la fraction continue, les nombres entiers Si 3^i 4i 7i 9i ^^^* ' ^^^ fractions ^1 ^1 f , etc., sont nommées yrac/io/i5 intégrantes*

591. Pour réduire une fraction ordinaire en fraction continue^ il faut diviser le numérateur par le dénominateur^ celuici par le premier reste , le premier reste par le second , le se~ cond par le troisième^ et ainsi de suite : les quotiens successifs .seront les termes de la fraction continue demandée.

En effet, soit x-zz- \di fraction proposée; soient m, u\ u",

u'", etc., les quotiens successifs, et r, r', r", r"', etc. les restes correspondans \ on aura évidemment

X z^ — :n u -4- — zn u -+- - — . l» : rz=:r/ + - = ii'+-i-,

; r' = li" + :^ = a" + i ; r" = li'" + -77 = w'" +

OtC

Substituant chaque valeur dans celle qui la précède immédiatement, il en résulte

a'" + etc.

591. Désormais nous écrirons cette fraction continue sous !a forme abrégée et plus commode

X = a, a', u", m'", ..., ^, js\ z"^ etc.

z, z', z", etc. seront des termes successifs de rangs quelconques. Si donc on réduit ar zn -^ en fraction continue , on trouvera

593. Voyons maintenant comment on convertit \ine fraction continue en fraction ordinaire. D''abord , si Ton arrête la fraction continue successivement aux termes

M, u', u^'^ u'", ..., -S, z\ z", etc. ,

on aura successivement pour x des fractions que nous désignerons par a h c d m n p

17' 7/' ~r' :ïï' *•"' "~f^ 1^ ~î' ^^^*

ces fractions sont appelées réduites ou convergentes, II est facile de s''assurer qu'ion a

a u b uiJ +1 r twhJ* 4- i/'' -|- a

af 1 ' i' u' cl w'a" -Pî

On voit que , pour avoir le numérateur de -, il suffît de multiplier uu' + 1 par u" et d^a jouter u au produit ; que pour avoir le dénominateur, on multiplie u' par n" et on ajoute i au produit. Donc on est conduit à cette loi de formation :

Le numérateur (Tune réduite quelconque se trouve en multipliant le terme auquel on arrête la fraction continue^ par le numérateur de la réduite précédente et en ajoutant au produit le numérateur de la réduite qui précède de deux rangs celle que Von veut former. Le dénominateur s'obtient d* après la même loi^ au mojren des deux dénominateurs précédens. Cette loi s^étcnd d'^ailleurs à toute la série des convergentes.

En effet, supposons que cette loi soit vérifiée pour trois réduites consécutives quelconques — ^, — ^, — ^ de manière que z" étant

rentier auquel on a terminé la fraction continue pour avoir ^ , on ail ^ — nJi + ^ et p' z=i nU" + m'. ^

Prenons un nouveau terme ^'" et soit -^ la réduite qui en proviendra ; on aura donc

^;=:ii,u', u", ...,z,z', z", et — , = m, u', u", ..., z, z', 2", z'". F r

On voit que Ton passera de la valeur de ^ à celle de ^, en remplaçant z" par jc" + — ; il viendra par conséquent

^ ~ nf(z" + —) + m' ~ ('«'^"+'«')^'" + '»' "" p'^^'-^-nf

Ainsi ^ se déduit des deux réduites précédentes — et ^ ,

diaprés la loi énoncée plus haut. Donc , si cette loi est démontrée pour trois réduites consécutives quelconques, elle aura lieu également pour la réduite suivante. Or, cette même loi est vérifiée pour les trois premières réduites ; donc elle a lieu pour la quatrième , puis pour la cinquième , la sixième , et en général , pour toutes les réduites.

Au moyen de cette loi , si Ton a la fraction continue x = a ,

1, S, 2, 4i o^ trouve celte suite de réduites : ', 4, -tti ¥1 T^' La dernière est précisément la valeur de x.

694. D'après la loi que Ton vient dVtablir, on aura toujours p = nz" -1- m et ;?' = n'x" + m'. Donc les deux termes de x^haque réduite sont respectivement plus grands que ceux de la réduite précédente»

595. En substituant les valeurs précédentes de p et de p' dans pn' — np\ on aura

p n pn^ — np^ mn^ — nm'

n m nmf — m;i'

d'ailleurs -, -, zz: r—,

Donc on voit que , si Von retranche chaque réduite de celle qui la suit immédiatement , les numérateurs de deux différent ces consécutives seront égaux et de signes contraires.

Mais ^-^ "i î ^°** '® numérateur de la première

difiërence est i ; donc , diaprés ce qu^on vient de voir^ le numérateur de la seconde différence est — i ; celui de la troisième est 1 ; celui de la quatrième — i ^ et en général ^ le numérateur iTune différence quelconque est \ ou — i , suivant que la seconde des réduites que Von considère est de rqng pair ou de rang impair,

5g6. D suit de là qaî^une réduite quelconque ~j est toujours

irréductible. Car si p et p' avaient un diviseur commun h ; comme d^aillcurs, diaprés le principe précédent, on a pn' — n// = 1, il viendrait, en divisant de part et d^autrc par h^

et un nombre entier serait égal à une fraction ; ce qui est absurde. Ainsi, la dernière réduite est toujours la plus simple exprès^ sion de la fraction ordinaire qui a fourni la fraction continue.

597. Les réduites sont alternativement plus petites et plus grandes que le nombre :r réduit en fraction continue. En effet,

Fexpression de x, dans le n" Sgi, montre d'abord que -< x.

Mais si Ton arrête la fraction continue au terme u', ce terme sera

^. , 1 j • . 1 1 1/14'+ 1 trop petit \ donc — sera trop grand, ainsi que u -f- —zzi — •

Donc la seconde réduite est plus grande que x. On verra de même que la troisième réduite est < x , la quatrième > x , et ainsi de suite. £n général , à cause de

si Ton remplace s" par la valeur j' de la fraction continue , prise depuis js" jusqu^à la fin, d'où jz=,a!\ ^'", etc., il est clair qu'au lieu d'avoir une réduite, on aura la valeur totale x de la fraction continue , et qu'il viendra

Or, — et — sont deux réduites consécutives : supposons que la première soit de rang impair et la seconde de rang pair \ on

aura donc wm' — mn' =: i (SgS) ou nnij i— mnlj =/*. Avec ces valeurs on trouve

pp — »— .^ I ■ >•— — - »^»i—

n n njr-\'m i

Ain^x Ton voit que a:>- — et <*— • Si — était de rang pair et —. de rang impair, on aurait d^abord mn! — «m'=i , et ensuite X <r — ; et or >- —• Donc , en c'énéral , la valeur totale de la

m* TV "

fraction continue est toujours comprise entre deux réduites consécutives quelconques : elle est plus grande que chaque réduite de rang impair et plus petite que chaque réduite de rang pair.