i^jr + '^z -}- 2^rt zi: b Zx + 3> + 3^z + 3^M = c
4^ + 4y + 4'^ + 4^" = rf-
En effet, si Ton prend la somme des produits respectifs de ces équations par •— 4i + ^i — 4 cl + i , on ^lura
d^où Ton tire la valeur de u. De même, )a somme des produits respectifs des trois premières cqualioiis par — 3, -f- 3 et — ^^ i , donnera z au moyen de u; la somme des produits des deux premières par — a et + i , donnera j^ à Paidc de z et u, et Ton aura ensuite x.
Pour cinq équations pareilles aux précédentes, on prendrait la somme des produits par — 5, + lo, — lo, + 5 et — i, puis le reste s^adievcrait conune on vient de Pindiqucr.
3i. Les équations suivantes se rc'soudront de la même ma- ' iiièrc :
^x + 6r + cz + r/u =r ï
Prenons, en effet, la somme des produits respectifs de ces l'quations par — bcd^ + (^^ + fc^? + c^), — (& + c + d) et + 1 , déduisons et observons que a {a — ^) (^ — c) (a — rf)
donne û^ — (/> + c + ^)a^ -j- (^^ + ''^ + cd)^'' — a^cd^ nous trouverons
Cette valeiu" de x fournira celles de j^, z, m, en y changeant â en i!> et 6 en a, a en c et c en tf, â en d et £? en a. On résoudrait scmblablement un plus grand nombre d^cquations de même forme.
32. Voici deux systèmes dVquatîons qu^on ne saurait résoudre que par la substitution des valeurs :
axy"::z.7ïix -^^ a — m et fcr^^miy^+A — m\ xyz=La{x-\-X)^ xcr=£>(a: + z) et jrz = c (j- -^ z).
Considérons seulement le i*'* système, et substituons dans la ^me équation, la valeur de^ tirée de la i'*^ alors, après avoir chassé le dénominateur, transposé dans le i"' membre, et réuni les multiplicateurs de x — i , nous aurons
(r — i){bx'\*a — m)=io.
On satisfait h cette équation finale de deux manières , ou par X — 1 =^ o , qui donne a? == i et j^ = i ^ ou bien par bx -{- a — m = o, qui fournit
CiJ^ =
Ces deux couples de valeurs satisfont effectivement aux deux équations proposées.
33. Généralement, lorsque les deux membi*es d^une éffualîon ont des facteurs communs en a*, cette équation est satisfaite on égalant chaque facteur à zéro , et sa résolution peut se trouver ainsi ramenée à celle d'équations du premier degré. Il est donc utile de chercher à décomposer les équations en facteurs inconnus \ et cVst ce qu'ion peut faire dans les deux systèmes d'équations que voici :
C ao )
X + «'+ 20:'=: b {xjrz — i)
£es deux systèmes se traitant absolument par la même méthode, nous considérerons seulement le i*'. Retranchant donc successivement la i'* équation de la a™" multipliée par x^ la 2™' de la 3"** multipliée par^ et la 3"*" de la i" multipliée par z\ ' réduisant , transposant çt réunissant les multiplicateurs de xyz — 1 , on aura
' (j^z — \)(bx — a — m)=:o \
(xyz — i)(9^ — b — m)z= o > (i)
(xyz — i)(az — c — m) =10.)
Ces équations donnent d^abord bx — a — mmo, cy — b — m = o, az — c — m=o'j
et les valeurs qui en résultent pour r, jr^ z^ satisfont en effet aux équations proposées.
Les équations (i) donnent aussi xj^z — i = o, ou aj^'xiz: i, valeur qui réduit les équations proposées aux trois
xy + j: + i = o, jrz +j' -|- i =0 cl xz -|- 2 4* i = o.
Mais ces trois équations n''cn font qu'aune \ car à cause de xyz = 1, les produits de la i""* par z cl par j-z donnent les deux autres équations. On n'a donc réelicnient , pour déterminer les trois inconnues x^jr^ z, que les deux équations
xyzzni et :r;^ + j:+ 1 1=0^
ces inconnues ont donc une infiùité de valeurs différentes. Par exemple, si or zz:—, on aura j-= — 3 et zm — j\ valeurs qui rendent effectivement égaux les deux membres de chaame des équations proposées : si 2:= i, il viendra^ =i — 2 et zzn — ^ et ainsi de suite.
34* On résoudrait semblablcment les trois groupes d^équa-
lions:
x+x^ = a(vy—i).eijr + x^=b(^xy—i)'^
axjrzu = m (x^z — <^+ 0:) + a —m bxy^u=im(jrzu-^jrz+jr) + b — m cxyzu = m ( zux — zu ^^ z) -^^ c '-^ m dxjrzuz=zm(\ixy*^uX'Ç-u)'{'d'^m'^
( ai ) r + v*+ l'a' + f zu' = a {xs^zu — i)
♦' + 5*+Ztt' + ZWX'=/>(xV2Ii— i)
r + M* + Mx'+i*xv'*=c(xvzM — i) a4-x' + xv^ + xvz'=:^(a:vxu — i).
On a des équations semblables pour 5, 6, 7, ..., inconnues. 11 est aisé de résoudre 1'*équation
(1 4- a') (x'— c^) =z la (/> — ^) (x — c). .
35. L^emploi d^inconnues auxiliaires simplifie souvent la résolution des équations. Par exemple, si Ton a les trois égalités
on posera x^ + v' -j- z' = r , puis on cherdiera les valeurs de x, K, z, dans les trois équations résultantes
a{x-\'v)ziit^ h{x-\-z)z=:;,t et c(v-|-'^) = '; ce qui donnera des expressions de la forme
x:=.pt^ yz=,qt^ zzzzrt^
fy q^ r étant des nombres donnés. Substituant ces valeurs dans , x^ + v'^+ 2' = /, les deux membres seront divisibles par t , et il viendra (;;'+ 9'+ r') / zz: i . Cette équation faisant combattre Tauxiliaire / , on aura ensuite x, v et z.
36. C^est ainsi qu^on résoudra aisément chacun des groupes d'équations que voici :
ii + ^ + *' = 5^x et x'-t-v*-f-5'-f-ii'=:3872X.
Dans le deuxième système, l'inconnue auxiliaire est la somme des 4 inconnues proposées. Nous laissons encore à résoudre les systèmes dVquations qui suivent :
X + f = 835, X — *' r= 1 75 et xv = 49^^^ î
x + c=z38x, X — v'zz.'iZs et x' + i''=: i38ii55
-c + V z= a5, x-^9 z^bs et x' — v»' zz C5 ^
Nota. Le. Recueil de problèmes d^ Algèbre par M. Lobato, contient un grand nombre d'^équations qui se résolvent par une métliodc particulière dV'limincr. Ce recueil , auquel je dois plusieurs idées, se distingue par le choix des questions qu^il renferme, et les élèves le consulteront avec fruit.
Problèmes résolubles comme ceux du i* de^ré.
37. Huit bœufs ont mangé en 7 semaines V herbe d^un pré de 4 arpens et belle qui a cru pendant ce temps; 9 bœufs ont mangé en 8 semaines Vherbe d'un pré de 5 arpens et celle qui a crd pendant ces 8 semaines. Combien faudrait^ de bœufs pour manger en \i semaines Vherbe d*un pré de 6 arpens et celle qui croîtra pendant ce temps P On suppose que les bœufs mangent tous également^ que les prés sont également bons et que Vherbe j" croit uniformément.
Soit X le nombre de bœuis cherche , h Pherbc contenue d V bord sur chaque arpent et hu celle qui croît sur cet arpent par^ semaine. Puisque Pherbe croît uniformément, il est clair quVn j semaines il en croîtra 'jhu^ sur un arpcnt,^et sur 4 arpens, qui produisent tous également, il.cn croîtra 4 l*^is 'jhu ou 28^. D^aillcurs , Pherbe contenue d^abord sur ces 4 aq)ens est ^h ; donc 8 bœufs en 7 semaines ont mangé ^h -{- 'i^hu : et comme tous les bœufs mangent également, il sY'iisuit qu'Hun bœuf en 1 semaine mange ^ (4A -f- 28^1/).
On verra de même qu'Hun bœuf en une semaine marige, dans le a' et le 3"" pré, respectivement -^ (5^+4^^") ^^ ,7- (6^+ 7^^") • on a donc les deux équations '
56 ^a 56 laj
La V* de ces équations donne w =z ^. Av^c celte valeur, la 7." équation fournit x=:H. Ce problème, traité d"'une manière générale pai' Newton, a beaucoup d^analogie avec celui que voici :
38. Quatre bassins d^eau^ à faces rectangulaires^ dans lesquels la pluie tombe et qui sont alimentés cJiacun par une source , ont respectivement pour surfaces de niveau 12, 20 , 43 ef i4 mètres carrés. On évacuerait Veau de ces bassins en employant 5 ouvriers pendant 3 heures pour le 1*%- 7 ouvriers
pétulant 4 heures^ pour le a*, et 1 2 ouvriers pendant 6 heures^ pour le 3^ On demande le nombre z d'ouvriers quHl faudra^ pendant 7 heures^ pour évacuer Veau du 4* bassin. On suppose que Veau est à la même hauteur inconnue x dans les 4 bassins^ au moment oit Vope'ration commence ; que la pluie y tombe avec une égale intensité; que les sources jr amènent le même va* lume tVeau inconnu u, par heure ^ et qu'enfin tous les ouvriers évacuent chacun par heure^ la même quantité d'eau inconnue t.
Soit V la quantité dont ia pluie qui tombe augmenterait par heure la hauteur de chaque bassin, s'^il ne recevait et ne perdait point dVau. La surface de Teau dans un bassin ë|ant a et sa hauteur r, son volume sera ax (*). De même, le volume dVau de pluie qui tombe par heure dans ce bassin est av ; et le volume qui y tomberait en h heures est ahv» Et comme le volume d'^eau fourni par la source au même bassin en h heures est hu^ il s^ensuit que le volume d^eau évacué de ce bassin, après fi 'heures, est aX'\-ahv'^hu. Mais en une heure chaque ouvrier évacue hors du bassin le volume / dVau ; donc n ouvriers en h heures évacueront le volume hnt. Et puisqu'^après ces h heures le bassin est vide, il s'^ensuit que ax -{^ ahv '\- hu m hnt»
Substituant dans cette é<|uation générale , les valeurs de tf , & et n , relatives à cliacjuc bassin , on aura
1 IX + 36v + 3m =: 1 5r
20X + Sov + 4'* = ^Si •
^2X'\''2^2V^6uZ=:']2t
i^x + f)8v + 6w = 6zt.
Ces équations donnent r = -^/ , vzn-^t^ m = jf tt z r= 4- De sorte que le nombre d'ouvriers cherché est 4* Et si on suppose que chaque ouvrier évacue par heure 3 mètres cubes d'eau , on aura x=z2, ♦'=:— etiiz^i.
39. Deux ouvriers travaillent immédiatement Vun après Vautre à un ouvrage^ et le terminent 6 jours plus tard qu'il ne Veiit été s*ib avaient travaillé ensemble. Le i*'jr a travadld pendant les 3 cinquièmes du temps que le i*^ emploierait seul pour faire tout V ouvrage^ et en a fait les 3 tiers de ce'quil a
(*) Les notions de géométrie que nous emploierons quelquefois clans ce traité, seront toujours peu étendues, et on pourra les considérer comme faisant partie des conditions de la question.
laissa- Combien de jours chaque ouvrier emphieraii-il seul -pour faire T ouvrage proposé nf >
Soient x et u lës'nombres de jours cherchés : puisque le i*' ouv.
fait n d^ouvrage en x jours, en i jour il en fait - \ donc en ^
de jours, temps pendant lequel il a travaillé à Pouvragc n, il en
4 fidt ■=— : il en a donc laissé à faire au a**, n — ^— . Or, il a 5x ^ 5x
fait les |- de ce qu^il a laissé : on a donc cette i'* équation
D^un autre côté , il est clair qu^autant de fois Pouvrage d^un jour du 1^* ouvrier sera contenu dans Fouvrage qui lui a été laissé , autant de jours il aura mis à faire cet ouvrage *, ce nombre de jours est donc
n r- 1 ; -, ou u^p- .
Donc, puisque les deux ouvriers ont travaillé immédiatement Tun après Pautre, Touvrage n'a été terminé qu'en
Il est clair d'ailleurs que les a ouvriers emploient ensemble , pour faire Touvrage n^ un nombre de jours marqué par
n*i- + -J, ou n* -^ — • — , ou enhn — r —
• Vx ' «/ «X u-j-x
Mais d'après l'énoncé , ce dernier temps a 6 jours de moins que le temps précédent ; on a par conséquent cette 2* équation
3u» 1^3 tix ^ ^
n reste maintenant à résoudre les deux équations que l'on vient de trouver. Or, en chassant les dénominateurs dans diacune et réduisant , ces deux équations deviennent
3umx et 3x*u4-5xm' — 3u — Sox* — 3oxu^i:o.
Il est évident que Télimination par addition et soustraction ne' saurait être employée ici. Mais en prenant dans la i'*, la valeur de u, puis substituant cette valeur dans la 2™' équation ; chassant les dénominateurs et réduisant les termes semblables , on aura
( ^5 ) lox^ — i5ox' = o, ou ioj:'(x — 15) = ©,
On peut satisfaire à cette équation finale en posant x:=:o, ce qui donne 5 = 0; mais ces deux valeurs ne conviennent pas au problème proposé. Il faut donc prendre x — iSziio, oua:=i i5, ce qui fournit u =: 10 ^ et ces deux valeurs satisfont en effet à la question.
4o. Deux cuves renferment ^ F une a mesures tTeau et Vautre h mesures; elles reçoivent par heure Za 1" c mesures d^eaw e/ b 2* d mesures. Trouver après quel nombre x d^heures la i""' cuve renfermera nfois autant d'eau que la a*.
Il est visible qu^après x heures^ la i''*cuve renfermera â-{-cj? mesures dVau et la 2* b'\-dx mesures ; on a par conséquent
a'{'CXz=in{b-\-dx)\ d^où résulte xz=, ■
Si A=Z24^ 6=10, cr=5, diz,iL et n=32, on aura xzzi — 4t le problème est dope impossible, dans ce cas. Effectivement, pubque 24 > 2 fois 10 et que 5 > 2 fois 2, on voit que la i'* cuve aura toujours plus que 2 fois autant d^eau que la 2™'^ elle ne pourra donc jamais en avoir seulement 2 fois autant.
D^un autre côté , la valeur 4 de j: étant négative , elle résout le problème que donne le proposé en y prenant Pinoonnue x en sens contraire ; cVst-à-dire en demandant depuis quel nombre x d'heures la T' cuve renfermait ifois autant d*eàu que la 2*. De sorte qu'il y a déjà 4 heures que la i"* cuve avait 2 fois autant dVau que Tautre.
En effet, il y a 4 heures la i'* cuve renfermait 24 — 4 ^^'^ ^n ou 4 mesures d'^cau, et la 2'', 10 — 4 ^^^^ 2, ou 2 mesures ; la i'* cuve avait donc effectivement 2 fois autant dVau que la 2*.
Si Ton change ^ en — d ci x qh ~^ x dans Féquation et la formule primitives , elles deviendront :
a^cx = n{b+dx) et j: = -— -,
le problème résolu est donc alors : Deux cuves renferment^ Vune 2l mesures d'eau et Vautre b mesures; par heure la \^* reçoit c mesures tteau et la 2** en perd d mesures. Trouver depuis quel nombre x d*heures la i'^ avait nfois autant d'etiu que la 2"*.
Examinons ce que devient la formule proposée sous les trois
hypolhèscs bnzria ei czz dn^ bn^a et czr: dn^ bn > ^z et c -< dn.
i"* Si azzzbn çx czizdn^ on aura x = ~ , et le problème sera indéterminé. En effet, a^z: bn dit que la i*"' cuve avait d'^abord n fois autant d^eau que la a^; et c =: dn montre que la i'* cuve reçoit par heure n fois autant d^eau qu^en reçoit Pautrê ; la i" cuve aura donc toujours n fois autant d^eau que la 3% quel que soit le nombre x d^heures employé ; ce npmbre d^heures est donc arbitraire.
2** Si a <C, bn cl c z=i dn y il viendra r =z od, et conséquemment le problème est alors impossible. Effectivement, la i*"* cuve reçoit bien par heure n fois lautant d^eau que la a*"^ ; mais comme d^abord elle n^en avait pas n fois autant , il s^ensuit que jamais la i*** cuve n^aora n fois autant d^eau que Pautre, et que par conséquent le problème demande une chose impossible.
3*^ Enfin, si a <^6n et c<^^/t, la valeur dé x sera négative; le problème .sera donc impossible. Gela doit être en effet, car les deux parties a et ex de Teau de la 1'' cuve étant moindres que n fois les deux parties b et dx de Teau de la 2', jamais la l'^cuve n^aura'/i fois autant dVau que Tautre.
Mais puisque la valeur de x est négative , elle résout le problème que donne le proposé en y prenant Pinconnue x dans une acception opposée, et par conséquent en demandant depuis quel nombre x d'heures la i^* cuve avait nfois autant d'eau que la a"''.
La discussion précédente, sufïlt pour montrer comment oxC traiterait tout autre problème du premier degré.
4i« Voici les énoncés d^un grand nombre de problèmes, pro-
près à exercer à la mise eu équation , et même à la discussion :
Quel est ic nombre qui en conlient un autre 3 fois et qui le surpasse de 8? (R. c'est la.)
Dnas la composition d''unc certaine quantité de poudre, il fallait la moitié de tout le poids, plus 6 livres de salpêtre^ le tiers, moins 5 livres de soufirc, et le quart, moins 3 livres de charbon. Quel est ce poids? ( R. !i4 livres.)
On distribue aSa*^ à un certain nombre de pauvres, hommes, femmes et enfans^ les hommes reçoivent la*^ chacun, les femmes 6^ et les enfansT 3*^; le nombre des femmes est double de celui des hommes, moins a, et celui des enfans triple de celui des femmes, moins 4* Combien y ft-t--il d'hommes, de femmes et d'enfans? (R. 7, 11 et 33.)
Les biens tic A sont les 3 quarts de ceux «le B; mais A pertiaut i!^ et B eu gagnant 16, les biens de A ne se trouvent plus que les 1 tiers de ceux de B. Combien avaient-ils chacun? (R. 5ia^ et 4 16.)
Quel est le nombre x dont le cube de la moitié vaille 9 fois le carré de son tiers? (R. c^est 8.)
Si un homme était mort 1 a ans plutôt, il aurait été marié le tiers de sa vie; mais s^il eût vécu encore 8 ans, il eût été marié pendant les 4 septièmes de son âge. A quel âge est-il mort et pendant combien de temps a-t-il été marié? (R. à 63 ans; pendant 3a ans.)
Deux voyageurs se mettent en route chacim avec une certaine somme d^argent. Arrivés dans un bois , ils sont rencontrés par des voleurs qui , prennent au i"" le tiers de ce que possède le a*, et à celui-ci le quart de ce que possède Tautre; en sorte que le i'*^ n^a plus que les a cbiquièmes de ce qui reste au second. A Tissue de la furet, ik sqnt rencontrés encore par d''autres voleurs; mais ceux-ci u^ayant pris que 4 fr» «u i^' voyageur, après en avoir pris 5o au a**, ce dernier u''a plus que la moitié de Tautre. Combien avaient-ils chacun eu partant? (R. 73^** et 48.) .
Un colonel \'ou]ant attaquer un poste ennemi avec Tun des 3 bataillons quUl commande, promet une récompense de 901 louis, qui .sera distribuée comme il suit : chaque soldat du bataillon qui attaquera recevra un ^ Jouis et le reste sera partagé également entre les soldats des deux autres bataillons. Or, suivant que Tattaquc est faite par le i'**, ou par le a*, ou par le 3* bataillon, les soldats des deux autres reçoivent chacun un demi, ou un tiers, ou un quart de louis. Combien y a-t-il de soldats dans chacun des bataillons? (R. a65, 583 et G89.)
La somme des trois produits differens qu^on obtient eu multipliant a à a trois nombres inconnus, augmente de 100, lor$<|ue ces nombres augmentent respectivement de 3, de a et de 1 ; la même somme diminue de 7, quand le i'** nombre augmente de 4 et le a"**' diminue de 3; enOn, cette somme diminue de 47 1 lorsque le i*^*^ nombre augmentant de 6, les deux antres diminuent rcs|)ectiveracnl de a et de 5. Quels sont ces trois nombres inconnus? (R. 8, 6 et 9.)
Un marchand achète un certain nombre d^aunes d^une toile dont 18 aunes coûtent Ga^. S''il eût acheté 6 aunes de moins et qu^il eût revendu ensuite le quart de sa toile à 1 a^ pour 9 aunes et les trois autres quarts à aG^pour la aunes, il aurait reçu SG*^ un tiers de moins quUl n^a d^abord payé. Combien d^anncs a-t-il donc achetées? (R. 3o.) •
Chaque partie perdue prend à un joueur le 5*"* de Targent qu^il avait en commençant cette partie, et chaque partie gagnée lui donne le tiers de ce qu^il avait en la commençant. Une personne joue 4 parties : elle perd la i*"^ et dé|>euse en outre So**; elle gagne la a***' et donne 4^ à un pauvre; elle perd la 3*^ et donne Go^ à son domestique; aifîn, elle gagne |a 4™* et paie une dette de aoo^. Alors il lui reste les 5 sixièmes de ce qu^elIc avait en entrant au jeu. Combien avait-^Ue? (R. laoo^.)
Partager 3i 7 eD 4 parties leUes, qoc la i*** plus le tiers des trois autres, la a" plus le quart des 3 autres, et la 3* plus le 5* des trois autres, donnent trois nombres ^i^l. Quelles sont ces' parties? (R. 47i 777 9^ et 101 •)
Cinq enfans et leur mère ont à se partager i35 louis, de manière que chaque en£mt, à partir du plus jeune, prendra autant de kmis qn^U a d^anndes et eu sus le 10^ du reste. Par cette disposition, les enfans ont des parts ^ales, et la mère reçoit autant de louis qu'ail y a d^unités dans la somme des âges des cinq enfans. Quels sont ces âges? (R. 5, 7 , 9i il et i3 ans.)
Trouver deux nombres dans le rapport de 3 à 4 « et dont la sonmie soit a celle de leurs carres 1 1 7 ! 5o. ( Les nombres sont 6 et 8.)
La somme des carrés de deux nombres ?aut 17 fois la différence de ces nombres , JaqucUe n^cst que le quart de leur somme. Quels sont ces deux nombres? (R. 5 et 3.) '
Le produit de deux nombres est 13, tandis que la différence de leurs cubes est au cube de leur différence ; ; i3 * 4* Quelles valeurs oiit-ils? (R. 6et2.)
On avait une certaine somme pour acheter 1 aune de drap de Louvier i 5 huitièmes de large. Gomme on vient de dépenser une partie de cette somme, le reste ne peut payer qu''une aune de drap d^Elbeuf à 7 huitièmes. Mais si chacun des 1 5^ de ce reste devenait 5^, on pourrait acheter une aune de drap d^Ëlbcuf à 7 huitièmes, a aunes de drap de Sedan à 7 huitièmes et acquitter une dette de 1 40''^. Combien avait-on d^abord ? . On sait qu^à dimensions égales le drap d^Elbeuf vaut les 3 tiers du drap de Louvier et le drap de Sedan en vaut les 4 tiers. ( R. 90''^.}
Deux joueurs conviennent que celui qui perdra triplera Fargcnt de Taulre. Ayant perdu chacun une partie, le premier sort du jeu avec 4^^ et le a° avec 3o^ de moins que 3 fois sou argent avant de jouer. Combien avaientr-ils chacun en entrant au jeu? (ludéterminc.)
En 18 la il sV>tait écoulé, depuis la mort de Newton, autant d^années que ce savant a vécu. Si Descartes était mort i5 ans plus tard, il aurait eu les a tiers de son âge au moment où Newton naquit. Celui-ci était au 1 7*^ de son âge 3 ans avant la mort de Descartes. Enfin a3 anâ; après la mort de Newton, il y avait un siècle que Descartes avait cessé de vivre. On demande les é|>oques de la naissance et de la mort de diacun de ces deux grands géomètres.
Quel nombre x devrait-on ajouter à deux nombres donna a et ^, pour que la i*'*' somme valût c fois la a*? ( Si ai3a4) ^= 10 et eiz: 3, on aura arn: — 3.)
Quel nombre x faut-il ajouter à 4 nombres donnés a, ^^^y ^1 pour que le produit des deux premières sommes soit égal au produit des deux autres? (On peut changer les signes de a, 6, c, d,)
Uue personne dépense tous les ans la c*^* partie de Fargent qu^ellc a entre les mains. Elle reçoit a ilor. au bout de chaque année, et po^dc,
apr^ ^ïïMy une somme qui excède de a ilorins U somme quVUe avait d^abord, diminuée de aon quotient par c'. Combien cette personne avaiteUed^abord? (Onpent&ire a:i:iao et cm 3.)
Les biens îVnD. ni^dciant, qui possède a (lor., produisent h flor. pour^ c flor. d^intérét par an. Combien doit-il dépenser au commencement de chaque ann^ , pour qu^aprés 3 ans , non-seulement il n^ait plus rien , mais doive le produit de la dépense chercKce par la somme du carré et du cube du quotient de b par c? (Dans ce problème et le précédent, la formule se simplifie en divisant ses deux termes par une même quantité.)
Quels sont les biens de trois personnes ? On sait que les biens de chacune, plus n fois les biens des deux autres, font a pour la i*^*, 6 pour la a™* et c pour la 3"**.
Quels sont les biens de trois personnes? On sait que les biens de la 1*^", plus a fois ceux des deux autres; les biens de la a^, plus b fois ceux des deux autres; les biens de la 3", plus c fois ceux des deux autrps, donnent trois sommes égales chacune k d. { Prendre a = a, £=:3, r— \ ei dziz laoo.)
Trouver trois nombres proportionnels à m, ra, p, et tels qu^en les augmentant respectivement de a, &f e, la sonunc de leurs produi*5 deux à deux soit augmentée de d.
Trouver les deux acteurs d^nn produit, de manière quVtant proportionnels aux deux' nombres a et ^, si on les augmente respectivement de ces deux nombres, le nouveau produit surpasse le i**" de c. (Faire «=z6, ^=:4etc=: 48.)
Quels sont les biens x et^ de deux personnes f -Oh sait que si elles recevaient cliacune a fl., la i''.*^ aurait m fois autant que la a*^-, maû que si elles perdaient chacune b florins, la a" aurait n fois autant que la i*"^.. ( Prendre a zzi 3(îo, 6 r=: i ao , w =z a et n iz: 4»)
Trouver les termes de deux fractions dont a est la somme et b la différence. On sait que c est la somme de leurs numérateurs et d cclje de leurs dénominateurs.
Trouver six quantités A, B, C, D, E, F, connaissant les diflerences /z, 6, c, de B à A, de D ^ C, de F à £, ainsi que les rapports m, », p^ de A. à C, de D à £ et de F à B. (Toutes les inconnues dépendent de C. Même problème pour 8, pour n quantité.)
On a deux vases contenant chacun un mélange dVau e| de viu;"on verse le €"• du i*' dans le a*, puis le c"* du a* dans le i*'. Alors les deux vases contiennent chacun a litrons d^eau et b de vin. Combien y avaitr-il d^abord d^eau dans chacun f
n y a de Teau dans trois vases : on verse le c™* de Fean du i'** dans le a«, puis le c«« de Tcau du a* dans le 3* et le c«* de l'eau du 3« dans le i***; alors les trois vases contiennent chacun a litrons d'eau : Combien y en avait-il d'abord dans chacun?
U y a de l'eau dans trois vases : on verse dans le i***, le n"* de l'ean
des deux antres; dans le a*, le a~* de Veau des dcnx antr&;; dans le 3', le n*^^ de Fean des deux autres : alors les vases renferment chacun a litrons d^eau. Combien en ayaient-ils d^abord chacun?
Un Homme a'trois espèces de vins dans trois tonneaux A, B^ C, contenant le 1**^ a litr6ns de vin, le a™* 6 litrons et le S*"' a -{' 6, Il vc:rse li • moitié des vins de A et B dans C , puis le tiers du mélange dans B et & litrons du a* mélange dans A. Sachant que le litron du i''^ mélange v*.ut celui du i"* vin, celui du a^ mélange un du 3' vin, et (pic le litron du a* mélange coûte a -|- 6 centimes-, on demande quels sont les prix des vins pn^io^f (Si a = 10 et 5 = 6, le 1" vin coûtera 48*' et le 3* 6^)
Problèmes d'analyse indétennhiée.
4^. Former la longueur du mètre en plaçant des pièces d'or de 10 francs et de ^ofr, les unes à la suite des autres et en ligne droite.
On sait que les longueurs respectives des diamètres des pièces de 20 et de 40 fr., sont 21 et 26 miilimcti*es ; donc si Ton prend X pièces de 20 fr. et v de 4o, la somme i\X'\- 26^ millimètres des longueurs des diamètres de ces pièces devra égaler le mètre ou 1 000 millimètres. Il suffît donc de chercher les valeurs entières de :r et de V qui satisfont à Téquatiou
