X '{•T.Qv zz
Or, d'après la mctliodc tracée en algèbre, on aura successivement :
, i3 — St' , ,
a: = 47 — ♦'"T r; — 1 rzz^? — »' + w et u
ai
ai
d'*où M = 3 — 5a'.
D'après ces valeurs, on trouve, en remontant à celles de y et de X,
viz:2iu' — 10 et x zn 60 — 261*'.
Ainsi le problème n''a que les deux solutions entières et positives qui répondent à m' :=: 2 et u' = 1 , savoir :
v = 32ela:=:8, v=ii ctoriz: 34.
Par conséquent pour former la longueur du mètre avec le plus petit nombre possible de pièces de 20 fr. et de 4o fr., il ïaut prendre 8 pièces de 20 fr. et 32 de 4o. La 2*"* solution
fournit le moyen de composer la longueur du mètre avet la plus petite somme dWgent possible.
Lorsqu^on assigne d^autres valeurs à i/. Tune des inconnues a: et V devient négative. Par exemple, si Ton prend ii'zrzS, on aura vniSS- et xzn — 185 ce qui indique qu^on forme la longueur du mètre en plaçant en ligne droite 53 pièces de 4o fir. les unes à la suite des autres, puis en portant 18 pièces de ao fr. en s/ens contraire , en revenant de la det'nière pièce de 40 fr. à la première : la distance de la dernière pièce de 20 fr. à la pre* mîère de 4^1 est 1000 millimètres ou un mètre..
43. Trouver de combien de manières on peut remplir VeS' pace autour d^un point sur un plan , en jr réunissant V angle d'un carré avec les angles de deux autres pàljrgones réguliers.
Soit d Pangle droit ^ on sait que les angles de deux polygones
réguliers, ayant Tun x et Pautre y côtes , valent respectivement
^d , ^ id , ^
— (x — 2) et — (v — 2).
El comme Pespace autour d^un point vaut 4^, il s^ensuit que
d"\ (a:— 2)-| (v — 2)=r4^5 d'où a:vr=4^ + 4*''
Celle équation donne x =z-2— 7 zz: 4 +— r • * V — 4 ^ — 4
donc, pour que x soit un nombre eptier positif, il faut que v — 4
soit un des diviseurs positifs de 16. Prenant donc successivement
V — 4=11, 2,4,8, 16, on aura f' =z 5, 6, 8, 12, 20, x=: 20, 12, 8, 6, 5.
On voit que les valeurs de x sont, dans un ordre inverse, les mêmes que celles de v ; ce qui doit être , puisque Péquation du problème est symétrique par rapport à x et »^, c'est-à-dire ne change pas en y mettant ar à la place de v et v à la place de x. On ne doit donc considérer que les trois premiers systèmes de valeurs^ et il en résulte, qu'on peut remplir Pespace autour d'un point sur un plan, en y réunissant l'angle d'un carré, 1* avec l'angle d'un pentagone et celui d'un polygone régulier de 20 côtés \ 2^ avec l'angle d'un hexagone et celui d'un dodécagone régulier; 3** enfin, avec deux angles d'un octogone régulier. ^
" 44* Trois femmes portent au marché^ Vune lo perdrix^ Vautre aS et la 3"" 3o. Ayant vendu de leurs perdrix à lui certain prix^ elles vendent le reste à un autre prix^ et rap^ porunt chacune la même sompie d'argent. Combien ont-^Ues vendu de perdrix chacune à chaque prix , et quels sont ces prix ?
Soit u le i" prix, v le 2* et x, f, 5 les nombres de perdrix vendaes rcspectryement par les trois femmes au i*' prix ; les nombres de perdrix vendues au a"* prix, sont respectivement 10 — X, txS — t et 3o — s. On n^aura donc que deux équations diflcrentcs , que Ton peut écrire comme il suit :
i5tr aow
Comme x ne saurait surpasser lo, on ne peut supposer u-^ vrzLV'^îl faut donc que u — v divise i5 et 20, sans quoi t et s ne pourraient être des nombres entiers. Mais 5 est le seul nombre ^ 1 qui divise 1 5 et 20 ^ on doit donc avoir u — 2; zz 5 , puis tzzz. X — 32; ct5z=:x — ^v. Enfin , à causé que x ne saurait surpasser 10, v ne peut avoir que les deux valeurs 1 et 2. De là résulte donc que le problème n^est susceptible que des 10 solutions que voici : /
a'*pour7>'=z:i, qui donne M3i6, on aura xrz4«) 5,6,7,8,9, 10,
/=!, 2, 3,4, 5,6, 7 et 5 = 0, 1, 2, 3,4, 5, Ç; 2* pour V zn 2, qui fournit m zz 7, il vient x zz 8, 9, 10, . /rz2, 3, 4 cl 5ZZ0, 1,2.
45. Une montre marque les heures , les minutes et les se~ cojides ; les trois aiguilles sont sur la 12'' heure ; il s'agit de trouver les rencontre deux à deux et trois à trois de ces ai' guilles.
Le cadran étant divisé en 60 parties égales , il est clair que pendant une heure , les aiguilles parcourent respectivement 5 , 60 et 36oo de ces divisions. Or, pour que deux aiguilles se rencontrent, il faut et il suffit que la distance parcourue par Fune soit égale à celle que l'autre aiguille a parcourue dans le même temps, plus un nombre exact de circonférences. Si donc X désigne le nombre d^eures employées par Ta 2' aiguille pour att^indre la 1'^, et que n soit un nombre entier positif quelconque, on aura ^^^ = 5x + 6ow .
De même , ^ et ^ étant les nombres respectifs d^lieurcs employées par la S"** aiguille, pour rencontrer la i" et la 2"*, i' viendra
3600/ = 5r + 6on' et 36ooi = 605 + 6on".
On tire de ces trois équations
~~ Il ^ 719 "*" 708
Il est visible qu^une aiguille qui va plus vite qu^une auti*e, Ta rencontrée autant de fois quVlle a décrit de circonférences de plus qu^elle , dans le même temps ; de sorte que la 2™* aiguille rencontre n fois la i'*, dans un temps marqué par la valeur précédente de x; et ainsi des autres.
Maintenant, puisque la a*"* aiguille rencontre la T* dans un temps x^ et que la 3' rencontre aussi. la T' dans un temps /, il est évident que les deux dernières aiguilles seront au-dessus de la 1'*, dès que les temps x et t seront égaux. Par conséquent la rencontre des trois aiguilles est réduite à trouver les valeurs entières et positives de n et n! qui satisfont à Féquation
ivi lan' 11»'
Or, ces valeurs de n et n! sont données par les deux formules
n'zzi'jigv et nzzz iiv^ d^où xz:ii2v.
Ainsi, la i*^* rencontre des trois aiguilles aura Heu dans 12 heures , Taiguille des minutes aura rencontré 1 1 fois celle des heures, Taiguille des secondes aura rencontré 719 fois celle des heures et 708 fois celle des minutes.
46. L^analjrse indéterminée peut s^appliquer à la construction des carrés magiques ^ ainsi nommés, parce que les ancieqs leur atli*ibuaient de grandes vertus, et que la disposition des nombres qi^i composent ces carrés , formait la base et le principe de plusieurs de leurs talismans.
On appelle carré magique, un carré divisé en plusieurs auti'cs petits carrés égaux, dans lesquels se trouvent des nombres tels, que ceux de chaque bande , soit horizontale, soit verticale , soit diagonale , donnent toujours la même somme ou le même produit.
47* Considérons, par exemple, un carré divisé en neuf carrés
( 34 ) ëganx ;* il s^agit de placer dans chacun de ces carrés, un nombre tel, que les trois nombres qui composent chaque bande horizontale, verticale et diagonale , donnent une somme constante n. On aura donc les huit équations que voici :
Eliminant entre ces équations, prises deux à deux, ce qui peut se faire de plusieurs manières, on trouvera toujours des résultats qui fomniront les mêmes conséquences. Par exemple, si Ton élimine d^abord i, puis^^ Cf e, &, d^ on trouvera les valeurs que voici :
^ + A 4- t = n a-^-d-^-gznn
a-^- e •\- iznn c -|- € + ^ = II.
i = jn+g— lï, dz=^n—a—g^ hz^-^n + a — g^ «=!«» czsi\n — g^ i = yn — a et/=a + ^— |n.
Il existe une infinité de carrés magiques qui satisfont aux conditions demandées, car les trois quantités â, g", n peuvent être prises à volonté, pourvu cependant qu^iî n^en résïdte pas dé nombres fractionnaires, ni de nombres négatiÊ. Par exemple, les trois hjpotlièscs n=:i5, az=.^ etg = 2, puis n = 24 1 tf = 3 et 5^ = 7, enfin n = 33, azzz'j et ^ = 6, fournissent les trois carrés magiques qui suivent :
la
48. ProposoQS-nous maintenant de placer, dans chacun des 9 carrés qui composent le carré primitif, un nombre tel, que le produit des trois nombres qui forment chaque bande horizontale, verticale et diagonale, soit un nombre constant n. Il est clair qu^on aura à traiter en nombres entiers les huit équations que void :
ahcz=in^ defznn^ ghi=zn^ adg=zn^
(tf& = n, ç^=n, aei = n, cegz=.n.
Prenant les valeurs de/i rf, e, 1, A, g^ on trouvera
On voit que les nombres a , A , n sont arbitraires ; il faudra Kulement les chobîr tels que toutes les valeurs soient des nombres entiers. Par exemple, on peut faire les trois suppositions, i' (i^4i * = 9 rt » = 1758 = (13) ; ï* a:=8, fr = a56 et n=: 4096^(16)'; yia^G, A = 100 et n =337000 = (3o)'; il en résultera les trois catrés magiques que voici :
4g* Les exemples précédens suSSsent pour montrer comment on construirait des carrés magiques d''un plus-grand nombre de peUts carrés; on peut consulter à ce sujet ïe premier volume de« Récréationi mathémaiiques et physiques d'Ozanam. Void eocore trou carrés magiques :
Il j 10
5ot Détermmerdtuxnomhres entiers X et j, dontlasomme des carrés soU aussi un carré.
LHdendté (a* — A')' +(206)" = (a' +/>')' satisfait à celle condition, en prenant a^ = a'— />*, j'=aai et z = a'+ib'i car alors on aura ^1 -\-r' = 2'
quelques valeurs qu'on donne aux deux nombres a et b\ de sorte que si on ne prend pour a et & que des nombres entière, x^y^ s seront entien pareillement. Par exemple, si aa fait successivement
o = », 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, ... i = I, a, I, 3, a, 4, 1, S, 1, 4, 6, 1, 3, 5, 7, 9, 4, 8, ... il viendra saccesuvement
1=3, 5,i5, 7,»i, 9,35,ii,4S,3ï,iï,63,55,39, i5,;7,85, 17,... j = 4,ia, 8,94,>o,4i>,i3;6o,38,S6,84,iC,48,8o,ua,36, 73,144,... x:= 5, i3, 17,95,39,41,37,61,53,65,85,65,73,89, 113,85,97, )45,...
El comme on a aussi z* — y^ == x*, ces valeurs résolvent aussi le problème où Pon demanderait deux carres entiers, dont la diflërence fiit un(^carré entier.
5i* Trouver deux carrés entiers Jont la différence soit un nombre entier donné. Il s^agit de résoudre en nombres entiers Féquation x^ — jr* z= a. Pour cela , il suffira de piendre x = jr^z^ car alors on aura
r = ' ei xzz, — ■ — •
Il ne reste plus qu^à choisir z de manière que ces deux valeurs soient des nombres entiers. Par exemple , si Ton prend successivement
on aura ^=12, 1, 1, 1, i, 1,. ^= 7> 4» 5, 6, 7, 8, ...
De là il est facile de trouver des nombres entiers pour u et v^ .dans les deux équations aï 4; a = u* et x ± fc = v", ou dans les deux a — x=zu^ et b — r = 1;*, a et b étant entiers : iï suffira de retrancher ou d^ajouter ces équations,
52. Si Ton voulait trouver pour x eijr des valeuis rationnelles propres à rendre un carré parfait Ip binôme x* -}~ ^^^ ^^ ^^ trinôme x* — 2mx^+ ?y^', il faudrait égaler ce binôme ou ce trinôme à (x -{7 <^)*i ^t résoudre Péquation résultante par rapport à X. s
53. Pour donner à x cl^ des valeurs rationnelles propres à rendre des carrés parfaits les deux quantités mx* -)- nxy et
(jnx^njr) (m'x + n'j^)^ on égalera la première à ^x* et la
deuxième à ^(w»x + ^xT*
54. Considérons le trinôme ax* + bxy + c^', et prenons X zzzjr -[-z eta-J-6 + c:=m* ^ nous le réduirons lûnsi h m*jr* + ( 2â -)^ ^ )jrz + ^*'- Egalant ce dernier trinôme à (mT^-f-ii)', on verra quW peut toujours trouver pour x eijr des valeurs rationnelles capsJ)les de rendre le premier trinôme proposé, un carré, pourvu que a -|- i + c soit le carré d'un nombre m f conmie cela a lieu dans chacun des polynômes : ax'+2j^% 2x*— j-% 3x'+6:çr+2r% 7x'— 3xr+5r'.
( 37 > 55. Si Ton veut résoudre en nombres rationnels ^ Tcquation j;'-|- ^* = a* + ^*, il suffira de prendre
a — a:=-(/— r6)î d^où a + r =: - (j + 0»
Ces deux équations feront connaître les valeurs cherchées de X et de j^, en fonctions des arbitraires u et i; et des nombres donnés a et b.
5fi. Pour avoir les valeurs de t et de i; qui rendent x eijr rationnels dans les deux équations
x'±a(r+^) = l' et y±l(^x+j') = v\
on posera £ = x + -^ et v z=.jr + u.
57. SMl faut trouver les valeurs de (^ qui rendent Pinconnue X rationnelle dans chacune des équations
on fera xz^av^n dans la première , x = w -(" ^ 4fUi8 la deuxième, et r = u (jw + ^) ^^^^ 1^ troisième.
58. Nous ne pousserons pas plus loin la recherche des valeurs rationnelles des inconnues dans les équations indéterminée^ d^un degré supérieur au premier, parce que cette recherche est ijjne des plus difficiles de Tanalyse algébrique. Nous renvoyons pour cet objet, au 2* volume de PAlgèbre d^EvLEA, enrichie de notes par Lagrange, ainsi qu^à la théorie des nombres de M. Legeh- DAE, et aux recherches arithmétiques de M. Gauss. *
59. Voici quelques problèmes faciles à résoudre , diaprés ce qui précède :
Un laboureur doit 400^. M^ayant point d^argent, il offre en paiement' des brebis à i4^ pièce c{ des agneaux à 10^. De conibien do mittiéres péut-il acquitter sa dette? (R. De cinq manières.)
Trouve^ en nombres entiers les coVés d^un rectangle, dont la surface contienne 4 fois autant de métrés carrÀ que son contour contient de métrés. ( Quatre solutions.)
De combien de manières pentr-on remplir Tespace autour d^un point avec Tani^e dW triangle ëquilatéral et les angles de deux autres figures , régulières? (De cinq manières.)
^ Trouver en nombres entiers les côtes d\in rectangle qui soit à un carré dont le c6të vànt la , comme le contoui' du premier est au contour da deuxième. ( Quatre rectangles. )
Le côté dW cube est 8*, on demande, en nombres entiers, les dimensions d^un paraUdipipède rectangle, à base carrée, de manière que ta
capacité et celle du cube soient entre elles comme leurs su^acesf (Quatre solutions.)
Trouver en nombres entiers les dimensions d^un parallëlipipéde rectangle à base carrée, dont la capacité vaut 5 fois autant de métrés cubes que sa sur&ce contient de métrés .carrés. (Douxe solutions.)
Une marctiande modiste a échangé du périnos à 8^ la robe contre des chapeaux de paille à 19^ et a donné 43f^ de retour. De combien de m»niéres a-tr-elle pu varier son marché f
Pour 1964^ on achète 100 bétes, savoir.: des veauK à ^4^ pièce, des chèvres à 20 et des moutons à 18. Combien anra-t-on de bétes de chaque espèce ?
On a des vins à 5o, à 80, à 100 et à i5o cents le litron. Trouver en nombres entiers le nombre de litrons de chaque espèce qu^il faut prendre pour former un mélange de 100 litrons, coûtant 90 florins en tout.
Un nombre multiple de 3 et compris entre 100 et 3oo, étant divisé par 7, donne 1 pour reste ; mais si on le divise par 10, il restera 6. Quel est ce nombre ?
Trente pauvres reçoivent 5o cents, à raison dé 3 cents par homme, de a par femme et de 1 par en£uit. Combien y a-t-il d''hommes, de femmes et d''en£ans?
' Un étourdi passant sur un pont, fit tbmber dans Peau ime corbeille d^ioeuft qu^une femme portait au marché. Obligé de donner a centimes par œuf, il demanda combien il y en avait dans la corbeille? La femme répondit : je ne me souviens pas bien du nombre; mais .je sais qu^il est entre loo et i5o, et qu^en comptant les œufs par a, il en restait 1 ; par 3, il en restait 3 ; par 4 , il en restait 3 ; par 5, il en restait 4 i par 6, il en restait 5, et par 7, il n^en restait point. Quel est ce nombre d^œu&f
Trouver deux nombres entiers tels, qu^en ajoutant Pun au carré de Fautre , les deux sommes soient des carrés.
Trouver un nombre entier tel , que le carré de son double plus 3 fois ce nombre cherché, donne un carré parfait.
Trouver un nombre entier dont le triple carré augmenté de 16, donne un carré.
Trouver un nombre tel, quVn y ajoutant 19, la somme soit un carré parfait.
Trouver deux nombres entiers tels, que la somme de leurs carres, plus 7 fois leur produit, donne un nombre carré. '
De quelques équations résolubles comme celles
du second degré.
' 60. Lorsqu'^on a deux équations du second degré, à deux inconnues, il faut, pour éviter les radicaux dans i^élimination
dWe inconnue Y commencer par faire disparaître le carré de cette inconnue v prendre ensuite la valeur de la même inconnue, dans le résultat, et substituer cette valeur dans Tune des équations proposées. Mais dans ce cas , Péquation finale pourra être du quatrième degré ; il faudra donc , pour pouvoir la résoudre diaprés les méthodes des deux premiers degrés , la ramener à une équation du second; ce qui n^est possible que dans quelques cas particuliers, que nous allons examiner.
