Soient à diviser Tun par Tautre les deux polynômes
ida^b^— Z']a^b^+ loaV— 2ia^i^4. ^6aV et 4aV— 7a'^V+2A.
Pour cela, on ordonnera ces deux poljmomes par rapport à
la lettre ^^ et on appliquera la règle, en disposant Topération comme il suit :
•— looS^a — 2oa7Aî+ 35a5M
i^'resle..— 4ii7A3— ao^M+aCaS^S— aia4^
a* reste... . 4- 6ii6A<-|-iaa5^ — aïo^A^
— 6ifi6^ — iQa5A54.aia*A6
3* reste... o
Puisque le dividende est le produit du diviseur par le quotient dierché, il s^ensuit qu^après avoir ordonné le dividende 'et le diviseur par rapport à la lettre a , le premier terme 1 oa^b* du dividende, où la lettre â a le plus haut exposant , sera le produit du premier terme 2arb du diviseur, où la lettre a a le plus haut exposant, multiplié par celui des termes du quotient, où la même lettre a a le plus haut exposant (5i) ^ on aura donc ce terme du quotient, en divisant le premier terme loefb* par t]ia^/» ^^)* Or, ioa%* l ^a^b = Sa^b \ donc 5a^b est le premier tenhe du qaotient cherché.
Mais le dividende étant la somme des produits du diviseur par chacun des termes du quotient (58 et 49); si de ce dividende, on soustrait le produit du diviseur par le premier terme 5a^b du quotient, ce qui restera sera le produit du diviseur par tous les termes inconnus du quotient. Or, le produit du diviseur par Sa^b^ est 1 oa*fr* + lîoa^b — 35a fr* \ si on soustrait ce produit , du dividende , ce qui se fait en récrivant au-dessous avec ses signes changés (4^)1 ^^ réduisant les termes semblables, il restera
Ce reste étant le produit du diviseur par tous les termes du quotient, excepté par le premier 5a^b^ on voit quVn divisant le premier terme — 4^^6^ de ce reste par le premier terme "la^b du diviseur, le quotient — aa 6* 'sera le second terme du quotient cherché. Multipliant le diviseur par-* na^fr*, et soustrajant le produit, du premier reste, on ti:puvera, réductions faites^
Ce second reste est encore le produit du diviseur par tous les termes du quotient cherché, excepté par les deux pretniers. Donc, en divisant le premier terme -^6a b^ d^ ce reste ordonné,
par le premier ternie ^à^h du diviseur, le quotient -}- Za*l? sers le troisième terme du quotient cherché* Multipliant le diviseur par -f- Zû^h ^ et soustrayant le produit, du second reste, il ne reste rien. Donc ia^h — ^aV-^-Za^h^y est le quotient exact des deux polynômes proposés.
Si a= a et &==--, le dividende proposé deviendra 768 1, et le diviseur, 30^ \ donc le quotient sera 87 ^ : et c^est effectivement ce que donne le quotient algébrique trouvé , quand on j fait a == a et & = -f .
On peut s'exercer à diviser c? — 3a^/i*-f- 3fl*n* — r? par a'— 3a'n + 3a/i' — n^ à diviser a** — />'* par a* — i' : x* — a^ par X + aflo:* + ia*x + a ^ 64» — z par ^a — z\ et enfin a 1 x^y* + iSa^ji^ + G^xjr^ — ^ojr^ — S6x^ — i^x^jr par S^-* — Sûc* — &xjr>
70. Dans toute division algébrique , le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient trouvé^ plus le reste.
Car, en effectuant la division , on soustrait du dividende , le produit du diviseur par chacun des termes du quotient tnMf vé ; on soustrait donc du dividende , le produit du diviseur par le quotient total trouvé (49)* ^^ conséquent , en ajoutant le reste à ce produit, on aura le dividende.
71. Lorsque la lettre principale a le mcme exposant dans plusieurs des premiers termes du dividende , et le même exposant dans plusieurs des premiers termes du diviseur, il faut ordonner ces termes par rapport à une autre lettre.
Car alors , on est sûr que le premier terme du dividende , où cette seconde lettre a le plus haut exposant , est le produit du premier terme du diviseur, où cette seconde lettre a le plus haut exposant, multiplié par celui des termes du quotient, où cette seconde lettre a le plus haut exposant (5i).
Sans cette attention , on n'^arriverait au vrai quotient qu'^après plusieurs calculs inutiles. C'est ce qu'on peut voir en effectuant la division des deux polynômes suivans, ordonnés comme ils le sont :
i6aV— 1 5aV— ^^b + nd'b'-^ 3a'i'+ aoat'— 6ab + ^b\
et aa'/> — 3a'A"+4/»:
Le vrai quotient est 5ab — aa + ^.
On pourrait aussi réunir en un seul, tous les multiplicateurs
( »7 ) de chaque puissance de la lettre principale, et considérer chaque résultat conune un seul terme : alors, on aurait à opérer la division des deux poljmomes suivans :
et (a^ — 3^')fl»+4*.
. De cette manière , les deux polynômes proposés n^ont pas diangé de valeurs , puisqu^on n^a eut qu^indiquer des multiplications qui étaient effectuées ; mais la première division partielle exige qu^on divise un trinôme en b par un binôme en b^ en les ordonnant tous les deux par rapport kb\ ce procédé rentre. par conséquent dans celui que nous avons indiqué d^abord. Voici encore un exemple : i^u — u^ — i^u* — /V+2*ï**+4^*w+3*a -f-au — 3/ — 3 à diviser par tu* — u* — tu^ti-^Z,
7a. En effectuant les divisions, il est facile de voir qu^on a
(a'— »'):(tf— ») = a*+tfJ + y, l^—b^)lla — h) = a^+a*b + ah*+h',
ci ainsi de suite. Diaprés cela , on doit avoir
Et en effet, si Ton multiplie la seconde expression par a — i^, on retrouve, après les réductions faites, le dividende a"^ — 6"*; donc cette seconde expression est réellement le quotient de a'^ — b"^ par a — b. Donc toute expression de la forme a*" — b"* est divisible exactement par.^ — b, et donne un quotient homogène de m termes positifs,
^3. L^égalité (1) ayant lieu quels que soient a et /», on peut supposer que b y représente — c. Or, toute puissance paire de — c, étant le produit d^un nombre pair de facteurs négatifs — c, sera positive (46) ; et toute puissatice impaire de — c, étant le jproduit é^tm nombre impair de facteurs négatifs — c, sera négative (46)* Changeant donc ^ en — - c, dans la formule (1), 00 verra, 1* que si m est pair^ toute expression de la forme t^-^d^est divisible exactement par a-f-c, ef donne un quotient homogène , if e m termei alternativement positifs et né-* gatifs;
a* Que si m est impair^ toute expression de la forme a*^
-f-c^ «5/ divisible exactement par a-{-c, et donne un quùiieni homogène^ de m termes alternativement positifs et négatifs.
Cest ce qu^on peut d^aillenrs vérifier sur des exemples partîciiHers, comme a: + j^^ à diviser par x-^-jr et jf^-t-i à diviset par x — 1,
74* La division de deux polynômes est impossible lorsque le diviseur renferme des lettres qui ne sont pas au dividende, ou lorsque le premier terme de Tun des dividendes partiels n^est pas divisible par le premier terme du diviseur. Dans chacun de ces cas, pour n^avoir qu^un seul terme fractionnaire au quotient, il faut indiquer I4 division et simplifier Texpression résultante , si cela est possible. Par exemple , en divisant ia, — Za*b — 3flt* + 2fr para' — 4^', on trouve aa — 36 au quotient, avec 'le reste 5a6' — lol?. Le plus haut exposant de a^ dans ce reste, étant moindre que dans le premier terme du diviseur, il faut indiquer la division sur ce même reste , et ajouter Pexpression au quotient trouvé. Mais on peut simplifier cette expression ; car 5fl/>* — ioi'=:5A'(a---aA) et a'— 4/>*=:(tf+!ifc)(a— afc); de sorte que le dernier dividende partiel et le diviseur ont le facteur commun a — 26. Supprimant donc ce facteur comtnun, le dernier quotient partiel ne changera' pas de valeur, et devien-
dra. — : — -• D'où il suit qu'on a a -1-30 *
r= aa — 3o +
C'est ce qu'on vérifie en faisant, par exemple, <i=6 et 5=2 ; car alors chacune des a expressions se réduit à 8. Et Pexemple précédent montre aussi comment on extrait les entiers d'une fraction algébrique •
De^ Fractions algébriques.
75.. On appelle yrtfc/ion algébrique ovl fraction liltéraie^ Pexpression de la «Hvisfon de deux-quantités, qui en sont les
termes. Ainsi -, qu'on énonce a divisé par c, est une fraction
algébrique : a est son numérateur et c son dénominateur. Si a
vaut -|-, et c', -f-, la valeur v de la fi*action algébrique — sera 3-.
76. Le calcul des fractions algébrique» est le même que celui
( >9 ) des fractions arithmétiques ; mais les raisomiemens qui établissait le calcul de ces demières fractions , étant fondés sur ce que leurs deux termes sont toujours des nombres éhtiers, ne peuvisnt plus s'^appliquer aux fractions algébriques, dont les deux termes représentent souvent des nombres fractionnaires. U est donc nécessaire de démontrer le calcul des fractions algébriques.
77. Une fraction algébrique ne change pas de valeur^ lorsqu'on nwkipUe ou qu^on divise ses deux termes poi* une même quantité.
Soit - la fraction proposée et v-êa valeur^ c^est-à-dire le quotient qu^on obtient en divisant le nombre que représente a par le nombre que désigne c \ on aura donc -zz: t; ; d^où azzicv
(58). Multipliant les deux quantités égales a eicv par la même quantité quelconque m, les deux produits seront égaux, et il vielidra amzncvmy ou amzizcmv. Divisant les deux quantités ^ales am et cmv par la même quantité cm , les deux quotiens
seront ^ux, et on aura — = ::= v. Ainsi les deux frac-
tîoDS - et — • égales au même nombre v« sont égales entre elles,
c cm ^^ <im
et il vient enfin - =: — • Donc, etc.
c cm
78. Au moyen de ce prindpe, on pourra simplifier toute fraôioQ dont les deux térmes^ auront des facteurs communs ; on pourra réduire plusieurs fractions algébriques au même dénominateur^, en multipliant les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres, ou par des nombres plus petits , comme en arithmétique : chaque fois les fractions ne changeront pas de valeurs.
Par exemple , soit k simplffier la fraction
iSa^b^c — i Ta^b^c -f- 2ab^c 6a*33 — 2ab^ '
OD voit que tous les termes du numérateur et du dénominateur sont divisibles par 2 , par a et par 6*, cVst-à-dire par "^ab*. Si donc on effectue ces divisions , on divisera réellement le numérateur et le dénominateur par naV (66)^ donc b fraction ne dun^era pas de valeur et deviendra
9a»c -^ 6ahc -f- h^e .3a& — é»*"^*
Pour voir lî cette fraction peut encore être simplifiée, on oL* serve que son dénominateur est la même chose que (3cf — b^b. On essaie ensuite de diviser son numérateur par 3a — b^ et Poa trouve le quotient exact 3ac — bc : en sorte que la fraction pn>posée se réduit à ,
___, ouà-^-c.
Voici encore quelques fractions à simplifier : •
mp^r¥tx^ iocx*-{-goc<ir« ixx« — ia3ry-|-3jra-i-3
79. Pour ajouter ou soustraire entre elles plusieurs /rac' tions algébriques^ il faut ^ aptes les a^r, réduites au même dénominateur^ prendre la somme ou la différence des nou" veaux numérateurs^ et donner du résultat le dénominateur commun. G est ainsi qu^on aura ^
a c ad hc addtzbe h d"^ bd Id"^ bd '
En effet, la réduction des fractions algébriques au même dénominateur n^en change pas les valeurs ; la première des trois expressions précédentes est donc égale à la seconde. Mais celleci est égale à la troisième , puisquVlie est ce qu^on obtient en effectuant la division indiquée par cette troisième (66) : donc ces trois expressions sont égales entre elles, comme on Ta trouvé en appliquant la règle énoncée d^abord.
80. Par exemple, qa^on ait à calculer Pexpression que voici :
Il serait très-long de réduire au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs des deux autres. Mais on peut simplifier cette réduction, en décomposant les dénominateurs proposés dans leurs facteurs premiers. En effet, diaprés ce qui précède, il est facile de voir que ces dénominateurs valent respectivement
M(a—b)\ 3a{a + b) et a(^a + b)(^a—b).
D^oii Ton voit que le moindre multiple de tous les dénominateurs est 6a(^a + b){a—by.
Prenant donc ce moindre multiple pour dénominateur com-
mun ; multipliant le numérateur de chaque fraction par le nombre de fois que son dénominateur est contenu dans ce multiple ; |mis effectuant Faddition et la soustraction indiquées sur les nouvelles fractions, et réduisant les termes semblables, on trouvera , pour la valeur de Pexpression proposée ,
1 la* -4- 1 'jà^b T- 2<i»A> — S^abi -|- a^
8i . Opérant de la même manière , on trouvera 4a-4~^ 5<i — A aa — A
aa» — ab
- ab '
lia
ax
4* » — ^ax -— 3x» ax> — «•
a^x fl»— -X» a»—- X» '
4a +< 8a>4-3ax 32* — i4a< 3x 6az — 6z» 6o (a — »)
Et nous laissons à calculer Texpression :
a» — 3att -f" "* 3a» — Sou -|- w* , 3a — u a» — II» a» — aott-f-tt* " a — u
8a. Pour multiplier une fraction algébrique par une autre^ U suffit de multiplier numérateur par'numérateur^f et dénomif naieur par dénominateur. Gesi ainsi que
a e ac
En effet, soient u et i; les valeurs des dfeux fractions proposées ; on aura donc 7 = u et n= t; ; d^où a = ^u et p =: dv.
Ce qui donne ac = budv =: bdun^. Divisant les deux quantités ^gâles^tf c et bduv par la même quantité bd , les deux quotiens seront égaux , et il viendra
ae 14 « ^ ^*c a ^ e ae
-=«!,; d'où uXv = - et 4X5 = ^5-
83. Diaprés la règle précédente, et en observant que -z=ii, etc., il est clair quW aura
a^^ a ^ c ac a , ,. b a b ab
iXc=jX-=-T- = T7- (77) et aX-=7X- = -.
D^où Ton voit, 1* qu^oit multiplie une fraction algébrique par une quantité^ en multipliant le numérateur par cette
quantité; ou bien , en divisant le dénominateur par la même quantité; a** qu^on multiplie une quantité par une fraction algébrique^ en multipliant cette quantité par le numérateuret en donnant au produit le dénominateur de la fraction.
Voici plusieurs exemples : i
3a 4- X * , ^ 3a-+-x Zab^ ^ Zab"» r , ' ■ X(atf~aj)=: \ -7-^X7x1= :
3a — 2 6a — 2« X — 3a oo^^ Le^ 3a^& ^_____ v^ ______ — . ___,^ • *^^ v^ 3 "— .
4a *» — aa« aai ' 8c* Sa» ac» '
(, a — aa» — ac\ / . aac -|- c\ ,
* a6jr — 13 i5 7*-|-l4^^ ^ ^^ — ^4
x-*-a jr — 1 i5 C5 Sx-. — 5
84. Pour diviser une fraction algébrique par urie fraction algébrique , i7 faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée. C'est ainsi que
a ^ c a d ad b * d """ b c """ bc
En effet , en multipliant le quotient trouvé par le diviseur, le produit est — et se réduit au dividende -r «, donc ce quotient trouvé est le véritable (58).
85. Diaprés la règle précédente , et en observant que - est - Ou d renversé^ il est visible qu'on aura
a, ^ ^ ^ o. a\c ^ b a c ac
o b c bc b * c \ b D
Ce qui montre, 1* qu'on divise une fraction algébrique par une quantité^ en multiplfflnt son dénominateur par cette * quantité; ou bien en divisant son numérateur par la mène quantité; a* qu'on divise une quantité, par une fraction algé^ brique , en multipliant cette quantité par le dénominateur et en divisant l^ produit par le numérateur de la fraction. Voici quelques exemples :
aix^ — A» ax — a qa^u . Za}u^ 6x ^ ^* ax — a ax-^-b 5x3 • lox* au^
Zp ^ '^P 3 X — i 3x x>— I
IToTA. Dans ce qui précède^ on a indiqué les opérations sur les fractions , en plaçant les signes vis-à-vis la barre qui sépare les deux termes et sur la même ligne. Cela dispense d^emp loyer des parenthèses qui , dans ce cas , ne manqueraient pas d^allon« ger les expressions.
Des Equations.
86. On appelle équation Texprçssion de régalité de deux quantités algébriques renfermant les nombres connut et inconnus. Ces deux quantités sont les deux membres de Téquation : tout ce qui est à la gauche du signe =: s^appelle le premier membre , et tout ce qui se trouve à la droite du même signe se ' nomme le second membre. Ainsi Texpression ax — //=^2a^^ bx'\- ^csi une équation, dont ax — h est le premier membre, €t aa — fra: -j- 4 1 le second.
87. Une équation exige toujours que les inconnues aient des Tdears numériques propres à faire exprimer le même nombre à MS deux membres.
88* Résoudre une équation; c^est en déduire la valeur de nnconnue qui rend le premier membre égal au second.
Ainsi 1 pour résoudre une équation , il faut la transformer en une autre, où Tinconnue soit seule dans un membre et les quan* tilés données dans Fautre. Mais cela exige qu^on fasse sur ces deux membres des opérations qui n^en détruisent pas régalité ; CHT autrement Finconnue devrait changer de valeur pour mainlemr cette égalité -, et la valeur qu'on obtiendrait ensuite ne leiiil plus celle de rinconn"<? ^àos Téquation proposée. Or, puisqiie les deux mernhies sont deux quantités égales. Si Ton &ît la même o^^^on sur eux, les deux résultats seront nécestûiemcp*^ <fgaux , vl Finconnue ne cliangera pas de valeur pour m^ucenir Fégalité ; d'où il suit que la résolution d'une équation te rédhît à faire précisément les mêmes opérations sur les deux membres.
89. Une équation n'est pas détruite lorsqu'on passe ions fef termes inconnus dans un membre et les termes connus dans tmtirc avec V attention de changer les signes des termes qui iiangent de membre, (Ce qu'ion appelle transposer.)
ALGCSBC. 3
C^est ainsi que Téqualion
9x.+ 4 = 24 — X, devient 9ar + arr:a4 — 4-
En effet , en effaçant -f- 4 ^^^^ ^^ premier membre , et en écrivant — 4 ^^^^ ^^ second , on diminue ces deux membres de 4 9 on diminue donc deux nombres égaux d^un même 3"" ^ les deux restes sont par conséquent égaux. Pareillement, en efiaçant — X dans le second membre et en écrivant 4* ^ àdms le premier , on augmente ces deux membres d^ x ^ on augmente donc deux quantités égales d^une même 3"* x ^ donc les deux sommes sont égales. On voit donc que la transposition des termes n^a pas détruit Fégalité.
Effectivement , la nouvelle équation étant la même chose que lox =1 20, donne x = 2\ et cette valeur 2, mise à la place de X , satisfait à Péquation proposée , puisqu'elle la réduit k
go. Transposant les termes dans Téquation
2flx — 36 + 4ci= ex + a — X, elle devient ^ax — cx+x = a + 36 — 4^.
La transposition n'a pas détruit Tégalité \ car si on retranche des deux membres de Péquation proposée , le polynôme ex — X "^ 36 -f- 4^ 1 formé de tous les termes qui doivent être transposés , écrits avec leurs signes , les deux restes nécessairement égaux, se réduisent aux deux membres de la nouvelle équation.
91. Une équation n^est pas détruite lorsqu^on change Us signes des termes de ses deux membres. Par ex., Péquatîon
4x — 7=8 — X *;st la même chose que — 4^+^=: — S-f-x;
car cela revient à multiplier les deux membres par — 1 . D'ailleurs, si Ton transpose tous les terxaes du premier membre de. J'équation proposée dans le second , et tou* 1^5 termes du second dans le premier, Pégalité ne sera pas détruite (bi,y et il viendra — 8 + x=: — 4X + 7. On peut changer Tordre ^^^ Jeux .membres de cette équation , sans en détruire Tégalité ; c* si azub^ réciproquement bzita : on a donc — 4^ + 7 ^= "^^ ^ 4- X, comme on l'a trouvé par l'application du prindpe.
92. Une équation n'est pas détruite lorsqu'on réduit tous lès termes des deux membres au même dénominateur^ et qu'on néglige d'écrire le dénoininateur commun. (Ce qui s'aj^^dle chasser ovl faire disparaître les dénominateurs.)
Soit par exemple
Si i^on réduit tous les termes des deux membres au même dénominateur a4i ^^ qu^on néglige d^écrire ce dénominateur commun, on aura aiX—l44x-f 18 = 1207— lO.
En effet , la réduction de tous les termes des deux membres au même dénominateur i^^ ne change pas là valeur de ces termes \ donc les deux membres eux-mêmes ne changent pas de valeurs, et jont encore égaux. Mais en^ négligeant d^écrire le dénominateur commun 24) on multiplie tous les termes des deux membres par ce dénominateur \ on multiplie donc les deux membres eux-mémçs, ou deux nombres égaux, par ce dénonunateur (48) *, donc les deux produits sont égaux, et Ton a une équation sans diviseur.
Nota. On fait aussi disparaître les diviseurs d^une équation, en multipliant tous les termes des deux membres par le moindre multiple de ces diviseurs , et en effectuant les divisions, U est visible qu^alors Pégalité n^est pas détruite.
93. Lorsqu'on ajoute^ ou soustrait^ ou multiplie^ ou divise deux équations entre ettes^ les deux résultats sont égaux. En effet,
1** Ajouter une équation à une autre, c^est ajouter le premier membre au premier membre et le second au second. De cetfe manière, comme les deux membres de la première équation re* présentent le même nombre, on ajoute ce nombre aux deux membres .de la seconde , c^est-à-dire à deux quantités égales \ donc les deux sommes sont égales. Donc si a:='b et c = <£, on aura a + c = fc + <!.
2* Soustraire une équation d^une autre, c^est soustraire lepremier membre du premier membre et le second du second. Dans ce cas, comme les deux membres de la première équation expriment le même nombre, on soustrait ce nombre des deux membres de la seconde, c^est-yà-dire de deux nombres égaux; donc les deux restes sont égaux. Donc û az=.b et cz=:dy on aura a — o^ib-^d.
3!^ Multiplier ou diviser une équation par une autre, c^est multiplier ou diviser le premier membre par le premier membre
( 56 ) et le fécond par le second. Alors, comme les deux membres de la seconde équation représentent le même nombre, on multiplie QfL Ton divise par ce nombre les deux membres de la première, c^est-à-dire deux quantités égales \ donc les deux produits ou les deux quoticns sont égaux. Donc sia=zbetci=Ld^ il vient
acs=:bd et - = -i»
9^ . Les principes préccdens sont nécessaires à la resolution des équations \ mais ils sont loin de suffire dans tous les cas , parce que la résolution des équations dépend du nombre d^in- Connues qu^ellcs renferment, et sut-tout de leur degré.
95. Une équation est du premier degre\ lorsque Pinconnue n^est multipliée ni par elle-même , ni par d^autres nombres in« connus. Une équation est du n*"* degrés quand lé terme qui a le plus de facteurs inconnus, en contient n, Âinèi Zx — 3^-}' 4 =;j^ — X est une équation du premier degré, à deux inconnues^ 3x* •— 7:c-{-8= oest une équation du second degré , à une inconnue \ etc.
g6. Une équation est numérique^ lorsqu'elle n'a d'autres lettres que les inconnues \ elle est littérale^ quand elle contient encore d'autres lettres que les nombres cherchés : ax — />/■ = 3a -)- 6 est une équation littérale , et 8x — 9 = S/* + * 1 ^^^^ équation numérique.
97. On distingue trois sortes d'égalités, savoir : les égalités vérifiées^ comme 7-|-3=:9, qui est aussi une identité \ les équations^ qui n'ont L'eu que pour certaines valeurs des inconnues, et les identités^ qui sont vraies pour toutes les valeurs qu^on veut donner aux lettres qui les composent. Ainsi ax — b ^zaX'^b est une identité , de même que ( aa — 36 ) 4^ = 8a* — i2ab. En général, il J a identité entre toute opération algébrique indiquée et le résultat qu'elle donne en l'effectuant.
De la résolution des équations du premier degré.
Voyons d'abord la résolution des équations du premier degré, à une inconnue.
98. Pour résoudre une équation quelconque du premier degré, k une inconnue, il faut chasser les dénominateurs, transposer les tennes et réduire , puis égaler l'inconnue au nouveau second
membre divisé par le résultat qa^on trouve, en écrivant arec leurs signes tous les multiplicateurs de Finconnue dans le ptt* mier. Par exemple, soit Téquation
En appliquant la règle précédente , on aura suçcessiteoMiit :
2b* X — ^ab* = 4<** + ^t a^'jr — xzn 4^^ + 4^i^*i
et X zz: «
En effet,' on sait déjà que les deux premières transformations ne détruisent pas Pégalité des deux membres (91 et 89) : il reste donc à faire voir qu^il en est de même de la ti^oisième. Or, dans Péquation 2b* x — x = J^a + 4^i^*, le premier membre est la même chose que (^h^ — i)x, puisqu'^en effectuant la multiplica* tion par x, on retrouve nb^x — x au produit (4B); on peut donc remplacer ce premier membre par sa valeur (a^*—- 1 )x; et alors Péqnation devient (2è*-^i)x = 4**' + 4^i*. On voit qoe ^a} -{~ 4^^* exprime le produit de 2b* -» 1 paf x ; donc en divisant ce produit par 2b* — 1, on aura x an quotient : donc
effectivement xzz: — , »
Actuellement , puisque les transformations qu^on a fait subir aux deux membres de Téquation proposée, n^ont pas détruit leur égab'té, Tinconnue x n^a pas dû changer de valeur pour maintenir cette. égalité^ la valeur trouvée pour x est donc celle qui rend égaux les deux membres de Féquation proposée ^' cette équation est par conséquent résolue.
Remplaçant x par sa valeur obtenue, on verra aisément que diacun des deux membres proposés se réduit à la même fraction algébrique : donc cette valeur est la véritable.
