En appliquant la règle que nous venons d^ctablir, Péqoa

*><>» ax II* -^

3 ' la '

devient (9a) Sx — 2o4 = 1 1 x — 67a ,

puis (89) 8x — 1 IX = 204 — 67a ,

snsuite — 3x =: — 4^ , ou 3x = 468,

et enfin x = ^ = 1 56.

( 38 ) Voici quelques équations à résoudre, diaprés la même règle :

i + T + « = * + fo-7,

â — a + -7-=:5 + x et x — ^= — .

. loo. Lorsque les dënominateurs sont des polynômes, on peut, pour soulager Pesprit , indiquer d^abord les multiplications , et les effectuer ensuite ; ce qui est plus facile , en les voyant ainsi indiquées. Par exemple, soit à résoudre Péquation

a — A 3fl -f- A

chassant les dénominateurs, et indiquant, on aura

a{x—b){}a+b) + ^b{a—b){Za+b)i=zbx{a—b)',

efTectuant les multiplications indiquées , il viendra

Za*x — Za^b + a/?x -r- ab" + ga'/» — gat* + 3fli* — 36*

= abx — b^x \

transposant et réduisant, cette équation donne

Za^x + b'x = 'jab* — &a*b + 36* ;

,, , «ûA»— 6a»^4-3A5

a ou X zn ' M «

3aa •+- 6»

Si a = a et 6 = 3 , on aura x =. •^•

Voici deux équations , avec lc§ valeurs qn^cUes fournissent

^^ ^ = fl 7, x = ^a* — 3ab + b^'^

aa — 3o 2a— ^ù

aa«x , , a(x — 6^) bx La. , ,^

4aa — A» ' aa — 6 4<|^a6 A^ ' -^

loi . Lorsque les deux membres de V équation ont unfac' ieur commun , il faut le supprimer^ sUl est connu ; mais sHl n'est pas connu , il faut V égaler à zéro. Par ex., Téquation

7(ax— 7) = 9(2a:— 7),

donne , en la résolvant yxrzi^^ si on avait supprime le facteur commun 2X'-r-7, on aurait eu 7 =9, résultat absurde. Mais il faut observer que Téquation proposée ne peut être vraîb qu^autant qu'on y regarde ix — 7 comme égal à zéro \ ce qui donne x = ^* Le facteur 2X — 7 étant donc nécessairement nul ^ et la suppression de ce facteur nul ayant donné un résultat impossible,

on roit qu^II n^est pas permis de djviser ni de multiplier les deux membres dWe équation par zéro.

loa. Occupons-nous maintenant de la résolution des équations dû premier degré, 4 plusieurs inconnues. Résoudre de telles équations , c^est trouver des quantités qui , mises à la place des inconnues, rendent le premier membre» de chaque équation égal au second ; et ces quantités sont une solution des équations proposées.

^ io3. Une équation à deux inconnues, telle. que x-— "^j^i^is, admet une infinité de solutions ; car pour chaque valeur arbitraire de Tune des inconnues , Téquation détermine la valeur correspondante de Pautre inconnue.

1 o4- £n général , une équation ne peut faire connaître qu^une seule inconnue : donc, pour déterminer les quantités cherchées, il faut autant d'équations distinctes qu'il y a de nombres à trou^ ver. Mais dé plus, on doit d'abord faire disparaître ou éliminer de ces équations , assez d'inconnues , pour qu'on obtienne une équation à une inconnue, qu'on appelle équation finale,

io5. U élimination peut se faire par différentes méthodes; nous allons commencer par la méthode d'addition et de soustraction , qui est la plus sitople. Soit donc à résoudre les deux équations ax , r x , ^

Chassant les dénominateurs, transposant et réduisant , on aui*a

ex— 37- = 48 I L'-'

Kendons égaux les multiplicateurs de x, en multipliant la première équation par 6 et la seconde par 5 : les égalités ne seront pas détruite^, puisque chaque fois on multipliera deux nombres égaux par un même 3"** \ on aura donc

Box -|- I o%jr = 1 2^4 '

3ox — iSj-'^z^^o.

Retranchant la seconde de ces équations de la première, les deux restes seront égaux (93), et il viendra', en réduisant,

•ia3^ = 984; d'où^ = ?|i = 8.

Substituant 8 à la place de ^ dans la première équation fi j,

Pëgalitë ne sera pas détruite, et deviendra 5x -f- ^44 ^== ^<4 % pîiis 5a: = 60 et x:=z Ï7»

Maîsr'on peut arriver directement à cette valeur de x ; car si

Ton rend égaux les coefficiens de j* dans les équations [1] , ce

qui se fait en multipliant la seconde par 6, et quVnsuite on ajoute

. la nouvelle équation 36x — 187^=288 à la première, les teirmes

en jf se détruiront, et il viendra 4i<z' = 49^ ou a: =1 12I

I o6. Le résumé des calculs préccdens montre , que pour résoudre deux équations du premier degré , à deux inconnues x eijr^ il faut d^abord chasser les dénominateurs, transposer et réduire; puis rendre égaux les multiplicateurs de x dans les deux équations résultantes, en multipliant la première par le multiplicateur de x dans la seconde , et la seconde par le multiplicateur de X dans la première , ou par des nombres plus petits , comme dans la réduction au même dénominateur. Ensuite on ajoutera ou soustraira les deux nouvelles équations , suivant que les termes en x auront des signes difTérens ou le même signe. Cette opération faisant disparaître les termes en x, donnera Téquation finale en j*, de laquelle on déduira cette inconnue. Connaissant ^, on substituera sa valeur dans Tune des deux

s équations sans diviseur, et Ton aura x.

II est clair que par ce procédé, les équations subissent des transformations qui ne détruisent pais Pégalité des deux membres de chacune ; donc les inconnues x et ^ ne changent pas de valeurs pour maintenir ces égalités , et les valeurs trouvées sont celles de x et y dans les équations proposées.

Appliquant la règle précédente aux deux groupes d^équations

on trouvera, pour le premier , ar = 12 et j^ =z îo , et pour le second , x=.2/\. et ^ = 35.

Ï07. Si Ton a trois équations, à trois inconnues x, ^, ^, il faudra , pour appL'quer la règle précédente, chasser les dénominateurs, transposer et réduire ; puis éliminer z entre la première et la seconde équations résultantes, ainsi quVntre la première et la troisième, en rendant les multiplicateurs égaux deux à deux. On parviendra ainsi a deux équations en x ct^, entre lesquelles

•n âiminera y pour avoir x et ensuite y. Connaissant x et j^ on les remplacera par leurs valeurs dans Tune quelconque dea trois équations sans diviseurs, et Ton aura z,

Qu^on ait par exemple les trois équationi

•Faisant disparaître les dénominateurs, et transposant, on anrt a8x — 637' — 18-8 zn — 4^ [ [^]

Pour éliminer z de ces équations , on multiplie la première par 3 et la seconde par 2 , puis on retranche le premier résultat da second \ on retranche aussi la troisième équation \^\ de la première : et on a ainsi

a6jr — 1 537- n: — 3oo I 6x—i 87^^=0 ou X — 3^ = 0.

Eliminant x de ces équations, il vient 75^=3oo; d^où^=4* Remplaçant^ par sa valeur 4 dans x — 3j*3=: o , il vient x— • la = o ou X =: 12. Substituant les valeurs 1 a et 4 de x et de y dans la première des équations [2], on obtient 120 + 36 — 12-8 = 72, ou -8 = 7. De sorte que xz=i 12, j* = 4 ^* -^ = 71 dans ics équations proposées^ et c^est ce qu'ion peut aisément vérifier*

108. La méthode précédente s^applique k plus de trois équations , avec autant d'^inconnues , même quand des inconnues n^entrent pas dans toutes les équations. Yoid deux sjrstèmes d^équations à résoudre :

3u — 5x zi: 3 — Zy x — l^-=.iy — z 3^ + -8 = 211 + 3 2x — 3tf zny — 8.

Dans le premier sjstème x = 12 , j^ = 8 ,- ^ =: 10, et dans le second uz^^^ x:zzZ^ yz=.i ^X, z'=i^»

log* En général, ii Ton a m équations à m mconnnes , on. combinera la plus simple de ces équadoiis avec chacune des m — - 1 autres, pour en éliminer la même inconnue, en rendant ses coefficiens égaux deux à deux; et Ton obtiendra m — i nouvoUes équations à m — i inconnues. On opérera de même sur les nouvelles équations , pour en éliminer une autre inconnue ; et en continuant ce procédé, on parviendra à une équation ne contenant qu^une inconnue , et de laquelle on déduira la valeur de ^ cette inconnue. Substituant ensuite les valeurs des inconnues, qui sont déterminées, dans Fune des équations qui précèdent immédiatement celles qui contiennent ces inconnues , on aura une nouvelle inconnue \ et ainsi de suite , en remontant.^ Cette méthode se simplifie lorsque quelquMntx)nnue n^entre pas dans toutes les équations : par exemple , si Ton a ■

^u — 2:r: zn 3o 4^ + 2^ = i4

on verra aisément que Pélimination de s entre la première et Ik troisième, et Tclimination de it entre la seconde et la quatrième, donnent les deux équations , à deux inconnues

aojr + Sx zn 38.

Ajoutant la seconde de ces équations à la première multipliée par3,ona 4ij-=3 41 ; d'où ^= i.

Substituant cette valeur dans 'jj- — ax zz 1 , il vient x r= 3. Reportant la valeur 3 de x dans la seconde équation proposée, et la valetu- 1 de j- dans la troisième, o'h trouve ^u — 6 = 3o

et 4 -(- ^'S = f 4 ) ^^^^ u = 9 et z r= 5. D^où il suit que , dans les quatre équations proposées, :rzi: 3,^=1, 11=9 et ^ = 5.

Soient encore à résoudre les deux groupes d^équations

47^ — 2z -J- t =r 11 57* — Zx — 2M n: 8 4r— 3a + 2« =9 3^ + 8« = 33.

On trouve, dans le premier groupe, arrr la, ^=8, ^ =6, ii=4i ^^ ^^^ ^^ second, x=:a,^=:4, js=:3, u=3 et t=i.

1 lo. Si l^on veut résoudre m équations du premier degré, à m inconnues, par la méthode dVlimination , connue sous le nom de substitution des valeurs^ on prendra, dans la plus simple de'ces équations , la valeur d^une inconnue ,* et Pou substituera cette valeur dans toutes les autres équations ; ce qui donnera m — 1 nouvelles équations avec m — - i inconnues. Répétant ce procédé sur les nouvelles équations , et ainsi de suite , on finira par tomber sur une équation, à une inconnue, et qui en déterminera la valeur. Substituant cette valeur dans Pexpression de Pavant-dernière inconnue, on aura celle-ci. Substituant les valeurs des deux dernières inconnues, dans Pexpression de la troi-* sîème^ et ainsi de suite, en remontant, on déterminera cette troisième et celles qui la précèdent.

Diaprés cette méthode , soient à résoudre les équations

Hx — 37" -^- « = 3

/ 1 ox — 3^ -1- 4-* = ^7

/ i^x — 5^ — • 3if = — 3.

D^aliord, pour éviter un dénominateur, on prend la valeur de M dans la première de ces équations , et on trouve

X =r 3 — 4^ + 3^* Comme 'z a nécessairement la même valeur dans les deux antres équations, si on y substitue cette valeur au lieu de ^, les égalités subsisteront encore , et on aura

1 ox — 3j- + 4 ( 3 — 4x -f 3^-) = 2 7 I ax — 5jr — 3 (3 — 4^ + 3^) == — 3.

Ces deux équations ne renferment pas Pinconnue z , et deviennent, toute opération faite,

gjr — 6jr = 1 5 ) { 3jr — ax = 5 a4r — 14^ = 6 ) i lax — 7^ ru 3. Prenant la valeur de^ dans la i'* de ces équations, on aura

Substituant cette valeur dans la 2* équation , elle deviendra

12JC — -^(5-l-ax) = 3 ; d'où x = a. Maintenant , si Vçn met 2 pour x dans Pexpression de ^, on

aura'j^=3. Mettant a pour x et 3 pour ^ dans Texpreinoa de x^ on. trouvera ^ = 4- O** * ^^nc x =: a , jr= 3 et «^ ==4 » dflua les équations proposées.

lîfous laissons à résoudre, diaprés la même méthode, les deux groupes d^équations que voici :

u + z+jr:=zx + c

4tf — Sx + 27- — 5z =r — 24

a« + 4^ — T^ + SzmS • 3a + 2X — ^y-^-Zz'zzLXi

6a — gj; — Sj* + 4^ ^^ "~" ^^

111. On élimine encore par la comparaison des valeurs^ c'^est-à-dire en prenant dans les. équations proposées, la valeur d^une même inconnue , et en égalant la plus simple de ces va* leurs à chacune des autres; en opérant de même sur les nouvelles équations, et ainsi de suite. Mais cette méthode est beaucoup moins simple que les deux précédentes , à cause des dénomiuAr teurs qu^il faut y faire disparaître.

lia. En général, de toutes les manières d^éliminer les inconnues dans les équations du premier degré, la méthode par addition et soustraction paraît devoir être préférée, 1* parce qu^elle ofire plus d^abréviations particulières \ a^ parce qu^elle ne conduit pas , comme les autres méthodes , à de nouvelles équatiçm renfermant des dénominateurs, qu^il faut chasser ensuite; 3* parce que si les coeiBciens ne sont pas très-grands, on peut faire Paddition ou la soustraction en même temps que les multiplications pour les rendre égaux ; et il j a encore d^autres raisons de préférence, comme on le verra plus bas. Cependant il peut arriver que la résolution des équations ne puisse se faire que par la substitution des valeurs ; et c^est pour cela que nous avons aussi développé cette dernière méthode, quMl faut absolument employer dans les deux équations a:* -j-^* = 7/" et Sx z=: a^.

1 13. Du reste, il existe un grand nombre de manières particulières d^éliminer les inconnues ; et l'habitude fera bien vite reconnaître les simplifications qui peuvent se présenter dam la résolution des équations. Par ex., soient les deux systèmes :

X +jr -{-zzizm ax "{- by -^ cz :=i p ex + ( ^ + c)j- +. acz =: q.

Il suffira , dans le premier système , de soustraire la seconde

éqnadoDi mnltipliëe par 4« de la somme des deux antres, et dans le deuxième sjstème^ d'^ajoater à la seconde équation, les produits respectifs des deux autres par c et — i. (Voyez d^ailleurs leS'Mélanges d^ Algèbre, pages 18 et suivantes.)

1 14* Il est bon de remarquer qu^un sjstème de n -^Z' équaiKNia du premier degré, à n inconnues, n^est possible que dans h seol cas oik ^ de ces équations sont des conséquences des n antres. Car ces n équations déterminant les n inconnues , si on snbsdtiie les valeurs résultantes dans les p égalités non employées, en anra p équations, nommées équations de conditions <^ parce que n^ayant'plus d^inconnues, les données du sjstème doivent ytatii&ire, pour que ce sjstème soit possible. Par exemple, soient les trois équations à trois inconnues

ax — S^-r^a, Sx — 6jrr=:2 et aj:+^zz:i4«

Les deux premières équations donnent x = 4 et j^ == 3 ; et ces râleurs ne satisfaisant pas à la troisième équation , il s^ensuit fM les trois équations proposées ne sauraient exister ensemble.

11 5. Remarquons encore que Pcquation finale qui rcsuke de Mnnîbation entre des équations du premier degré, est aussi du prtmier degré; car dans les transformations que subissent ces iquatlons, les inconnues ne sont jamais multipliées que par des Bombres.

1 16. Cela suppose néanmoins qu'ail n j ait pas d^inconnues ma, dénominateurs en même temps qu^aux numérateurs ; car en

/frisant disparaître ces dénominateurs, les inconnues seraient mltipliées par des inconnues y et les équations résultantes ne ssraicnt pas du premier degré. On ne doit donc juger du degré fane équation qu^après avoir fait disparaître les' dénominateurs

Problèmes du premier degré.

11^* Les éqnadons servent à exprimer, d^une manière abr^ ^£e, les raisonnemens et les opérations que nécessite la solution dVn problème, c^est-à-dire la détermination des inconnues que ce problème renferme.

1 18. Tout problème est de même degré que Téquation finale fn le résout.

119» La* solution d\m problème est toujours composée de

( 46 ) trois parties distinctes : dans la première ^ on met le prol en équations ^ dans ,1a seconde, on résout les équations, et la troisième, on fait la preuve du problème, c^est-à~dir vérifie si les valeurs trouvées pour les inconnues satisfont à I les conditions de la question.

120. Pour mettre un problème en équations, il suffit indiquer la preuve , ei voici comment : on représente d^ les nombres donnés par des chiffres ou des lettres , et lès bres inconnus toujours par des lettres \ eiisuite on s^atta< bien comprendre Ténoncé, c^est-à-dire à bien reconnaître q opérations on devrait effectuer sur les nombres connus et î nus , pour vérifier ces derniers , si leurs valeurs étaient dé! nées, et on indique ces opérations à mesure qu^on les déco

121. Par exemple, le quantième d'un mois de 3o joui égal au tiers du nombre de fours écoulés , plus la moi ceux qui restent à écouler; quel est ce quantième ?

Soit X le quantième demandé ; on est donc au x^* joi mois ; il y a par conséquent x — 1 jours écoulés et 3o — (a ou 3i-^x jours à écouler. Et puisque le quantième x esl au tiers du nombre de jours écoula, plus la moitié de c écouler, il s^cnsuit que

D^où Ton voit qu^en indiquant la preuve du problème pose , on parvient à le mettre en équation , c^est-à-dire à i mer par des signes abréviatifs, les relations que son énoncé é entre les quantités connues et les quantités inconnues.

Résolvant Péquation précédente , on trouve or = i3 , c^ dire qu^on est au i3 du mois. Effectivement, dans ce a nombre de jours écoulés est 12, le nombre de jours à éc est 18 ^ et le tiers de 12, plus la moitié de 18, forment le < tième i3, comme Texige le problème.

122. Combien faut-il ajouter d*eauy dont 24 Uyres cot nent 4 livres de sel y à 36 livres d'eau renfermant 12 livr sely pour que 4o livres du mélange ne contiennent que 8 i de sel?

Soit X la quantité d^eau à ajouter ; le mélange aura doi -|- X livres d'eau : et comme 4o livres de ce mélange coi nent 8 livres de sel , 1 livre en contient -^ \ donc les 36

( 47 ) livres en contiennoit — r — • D^un autre côté, 24 livres de la première eau proposée contenant 4 livres de sel , i livre en renferme -g- ; donc les x livres en renferment -• Cette quantité de tel et les 12 livres qui se trouvent déjsi dans les 36 livres de la seconde eau, donnent 12 -|-~ pour tout le* sel du mélange. Et

comme cette quantité de sel est déjà exprimée par — r — ^ il faut qu'on ait , 35^^

Cette équation dopne x= i44i ^^ il ^^ut ajouter i44 livres de la première eau à 36 de la seconde. En voici la preuve : ^4 . livres de la première eau contenant 4 livres de sel , les i44 livres en contiendront 6 fois 4 ou 34 ^'^ ^^ \ donc les 364* i44 ou les 180 livres d'eau du mélange renfermeront la-^ ^4 ou 36 livres de sel , et 4o livres d'eau du mélange contiendront les -|- de 36 ou 8 livres de sel , ainsi que le demande le problème.

123. On voit que la difficulté de traduire les problèmes en équations , consistera toujours à en indiquer la preuve , c'est-àdire ) à former les expressions algébriques des quantités que la question suppose égales ; mais l'usage diminue de beaucoup cette * difficulté ; et les conmiençans ne sauraient trop s'exercer sur la mise en équations, d'après la règle du n* 120. (Voyez d'ailleurs les Mélanges d'Algèbre, pages 22 et suivantes.)

1 24* Zf'^e dkun père est le triple de celui de sonjils^ et il jra \o ans qu'il en était le quintuple^ quel est Vâge du père?

Soit X cet âge \ celui du fils sera donc ^* Il j a 10 ans, ces

Âges avaient chacun 10 années de moins ^ et puisque celui d^ père était alors 5 fois celui du fils, il en résulte

X — 10 = 5(^—^10)^ d'où a: = 60.

Le père a donc 60 ans \ et c'est ceipi'on peut aisément vérifier.

125. Un homme distribue 240*" à 20 mendians; il donnée par tête aux uns^ et \& par tête aux autres; on demande le nombre des uns et des autres.

Soit X le nombre de ceux à 6^ ; il y en aura 20 — x k 16', et par ^'«vifléquent 6jc4-'6(2o — a:)=24o. De là,~x=8. Ainsi, il j en a"«>-Tui reçoivent 6', et 12 qui en reçoivent 16.

liC. Une personne trjrant dépensé ao*^ plus le lo"* de ce qui lui est restée se trouve as^oir. dépensé Z^ de plus que le quart de son argent. Combien Hvait-élîe ?

Soit X le nombre de florins qu^elle, avait : après avoir dépensé 30'^ il lui en reste x — 20 ; sa dépense totale est donc 20 -f

ao

Ifab d^aillem^ cette dépense est j -f- 3 ; il faut donc qu^on ait

= -+3^ d'où x±=ioo.

1 17. Trois oranges coûtent autant au-dessus de 8 50111 que 5 au-dessous de 24 sons ; quel est le prix x de chaque orange?

Il est clair que Sx — 8 =1 24 — ^-^^ ^' qu'*ainsi x = 4«

' Quinze personnes ,. l^ommes et femmes, dépensent 61^, à S'' par tête pour les hommes et 3^ pour les femmes. Combien y a-tr-il Â^hommes et de femmes? (R. 8 hommes et 7 femmes.)

Le frère et la soeur ont ensemble ^5^, sur lesquels ils dépensent 35^^, et il se trouve que le frère dépense la moitié de ce qu^il ayai: et la sœur le tiers. Combien avaient-ils chacun f (R. 60^ et i5^.)

Deux coupons d''un même drap coûtent respectivement 60 et 78^. Si le prix de Taune diminuait de 1^, le second coupon coûterait la^ de plus que le premier. Quel est le prix de Faune? (R. 3*^.) . Deux personnes entrent au jeu avec la même somme d^argent, et per* dent, la première 36^ et la seconde 13^^ de sorte que le tiers de ce qui reste à la première vaut le 7™* de ce qui reste à la seconde. Combien avaient-elles chacune ? (R. 54^*)

128. On peut se dispenser de vérifier les valeurs trouvées pour leè inconnues \ car les équations du problème n^étant que sa preuve indiquée , il est clair que les nombres qui satisfont à ces équations, satisfont aussi au problème qu^elles traduisent algébriquement. Il n^y a d^cxccption à cela que dans le seul cas où le problème proposé renferme des conditions particulières qui n^entrenl point dans ses équations. En effet, celles-ci ne sont alors qu^une partie du problème, écrite en d^autres termes ; donc les valeurs des inconnues, dans ces équations, peuvent fort bien n^étre pas les valeurs des inconnues dans le problème proposé , c'est-à-dire n^tre pas les valeurs demandées. C'est ce qui arrive dans la question suivante :

1 29. Une personne veut distribuer une certaine somm^-^"^^' gent à des pauvres ; en donnant n^ à chacun , il ^ ^^^^ 1"^'

C 4çi )

Si elle donnait fy^ à chaque pauvre^ il lui manquerait 6 souSé Trouver le nombre de pauvres et la somme d* argents

Soit X le nombre de pauvres ; il est clair que

^x — 6 rz 2x -}- 7 ^ d^où x = ^.

Cette valeur satisfait bien à Pcquation ; mais elle ne satisfait pas au problème. Cela vient de ia condition particulière que le nombre de pauvres soit entier*^ car celte condition n^entrant pas et ne pouvant entrer dans. Téqaation proposée, Finconnuo X nVst pas assujettie à y satisfaire.

Il peut cependant arriver que les valeurs des inconnues satisfassent aussi aux conditions particulières qui n'^enlrent pas dans les équations ^ mais alors ces conditions sont des conséquences. des équations dont il s^1git.

1 30. Deux écoliers devant se partager également 28 oran^ ges^ se querellent^ et chacun prend de ces 28 oranges ce qu'il, peut attraper. Leur querelle étant finie ^ le i*' reçoit le ciri" quième des oranges prises par le a*, et celui-ci le tiers de celles prises par le i",* alors ils en ont 14 cJiacun. Combien chacun avait-il pris d* oranges ? ^

Le premier recevant le cinquième du nombre j^ <ï''oranges prises par le second, et celui-ci le tiers du nombre x d''oraiiges prises par le premier, ce premier en possède donc , après cela ^

x+^ — -• Or, il en possède \^\ on a donè les deux équations or +^ = 28 et ar+-|— 1=14,

lesquelles donnent :i:= 18 et r=- 10. De sorte que le premîef avait pris 18 oranges et le second 10^ comme il est aisé d^en liire la preuve.

1 3 1 . En ajoutant 36 à un nombre composé de deux chijjres% on obtient une somme égale à ce nombre renversé. En ajou" tant 2 au chiffre des dizaines , la somme sera les trois quarts du cJiiffredes unités. Quel est le nombre qui jouit de ces pro^ priétés ?

Soit X le chiffre des dizaines et y Celui dos unités ; le nombre demandé vaut donc x dizaines -f- y unités ou 1 ox + j', et ce nombre renversé vaut y dizaines + x unités ou. lojr '\- x\ ainsi on a les deux équations :

ALr.£BBC. * 4

3r 10X+J+ 36== io^ + j: et j: + 2 = -|--

Résolvant ces équations, on trouve x=4 et j^=:8. De lorte que le ntmbrc cherché a' 4 dizaines et 8 unités ; il est donc 48*

On peut remarquer que , dans ce problème et le précédent , les inconnues doivent être des nombres entiers.

i3a. Un homme achète une pièce £ étoffe à un prix qu'on ignote. Si elle renfermait 4 aunes de plus^ et que faune coiU tdi 3^ Je moins ^ il paierait 4o' de moins. Si la pièce avait a aunes de moins et que Vaune coûtât 5^ de plus^ il paierait 74^ de plus. Trouver le nombre x d'aunes et le prix j de chacune,

n est clair que la pièce d^étofie coûtera x fois j^ ou xj'^ Mais par la première condition, elle coûterait (x -f- 4) (^ — 3), et par la seconde ( ^ ^- a ) (^ + 5). Or, par la première condition , la pièce d^étofie coûterait 4^^ de moins que xjr et par la seconde 74^ de plus ; on a donc les deux équations

(jc + 4)(r — 3) = ^jr — 40 (^ — «) (r + 5) = ^r + 74-

Effectuant les multiplications, transposant et réduisant, il vient

5x — 7i^=r84i cquatiofts desquelles on tire x r= ao et ^ = 8. Ainsi la pièce d'^étofTe avait 20 aunes de long, à 8 florins chacune.

i33. Une personne a des jetons dans les deux mains : si elle en porte un de la droite dans la gauche, il y en aura un nombre e'gal dans chacune; mais si elle en passe deux de la gauche dans la droite , celle-ci en contiendra le double de Tautre. Combien chaque main avait-elle de jetons f (R. 10 et 8.)

&i on prend les moutons d.^un troupeau 7 à 7, il en restera 1 ; si on les prend 1 1 à 1 1 , il en restera 10; et le nombre de fois qu^on peut y prendre 7* moutons surpasse de 3 le nombre de fois qu''on peut y en prendre ii. Combien y a-t^il de moutons dans le troupeau f (R. 43.)

On imprime un ouvrage d?un certain format ; si on met à une page 3 lignes de plus, et à chaque ligne 4 lettres de plus, chaque page contiendra 328 lettres de plus; mais si on met à une page 2 lignes de moins, et à chaque ligne 3 lettres de moins,' chaque page contiendra 147 lettres de moins. On demande le nombre de lignes de chaque page et le nombre de lettres de chaque ligne. ( R. 27 et 36.)

Une fraction est telle, que si Ton ajoute 3 à ses deux termes, elle se réduit à 6 septièmes , et que si on retranche 3 de chacun de ses termes , elle devient 3 quarts. Quelle est cette fraction ? (R. 9 onzièmes.)

i34. On a trois lingots^ dans cJuzcun desquels il entre de Vor^ de Vargent et du .cuivre. L'alliage est tel que , dans ^le, i", sur i6 onces, iljr ena '] d'or, 8 d'argent et i^de cuivre. Dans le 2*, sur i6 onces, il s'en trouve a d'or, 9 d'argent, et

5 de cuivre. Dans le V, sur 16 onces, iljr en a 5 d'or, j d'or* gent et^de cuivre. On veut, en prenant d^êr entes parties de ces alliages, former un 4"* lingot tel, que sur 16 onces, il s'en trouve 79 seizièmes en or, 122 seizièmes en argent et 55 seizièmes en cuivre. Combien faut-il prendre de chacun des trois lingots proposés pour former 16 onces du 4"* ?

Soient x^jr, z, les nombres d'onces quil faut prendre sur le i*', le 2* et le 3* lingot pour former 16 onces du 4*. Puisque dans le 1*', sur 16 onces, il jr en a 7 dW, il est clair que sur

une once, il y en a ^ d'or, et sur x onces, ^- On trouverait de

même que -7: et ~ expriment les quantités d'or, prises sur le 2"

et le 3* lingot, lorsque le 4* est forme.. Mais d'après l'cnoncé, ce 4* doit contenir 7g seizièmes d'once d'or ; on a dona , pour 1'* équation et en négligeant le dénominateur commun 16,

On trouverait de mcme , par rapport à l'argent et au cuivre ,

8x + 9^- + 72 zr 1 22 et a; + 5^ + 4^ = 55.

Ces trois équations fournissent x=:^, ^^ = 3 et z=.g.

1 35. TixMS hommes emploient tout ce quUls ont d^argent sur eux pçur acquiuer une dépenj^e quMls ont faite en commun. U manque au premier %^ pour payer les a tiers de la 'dépense, au second i4^ pour en payer les 4 cinquièmes, et au troisième i^^pour en payer les 5 sixièmes. Combien a?aientr-ils chacun? (-R. la*^, 10' et 8'.) ,

Si des deux termes d\mc fraction, qui se réduit à \ cinquièmes, on retranche respectivement les deux termes d^une fraction , qui se réduit à

6 septièmes, la nouvelle fraction vaudra a tiers, et la somme de ses deux termes sera 20. Quelles sont les a premières fractions f ^R. |2 et |^. V

Trais joueurs conviennent qu^après chaque partie les deux perdans donneront au gagnant, cliacun la moitié de Targent que ce gagnant avait en commençant cette partie. Chaque joueur ayant gagné une partie, sort du jeu dvec 64^* Combien les joueurs avaient41s eu entrant au jeu ? ( R. 5o, 65 et 77*^0

* Résolvons maintenant quelques problèmes généraux.

1 36. Connaissant la somme a et le quotient b de deux nomhres X et y, trouver chacun de ces nombres. II est clair que :

C 5a ) x+^rztf et -rzfc^ d'où xrr" • ■ et J^i^

Si a = 48 et fc = 3", on aura or = 36 et ^= 1 a.

137. Combien faut'il prendre iTune matière à hjl. Tunité^ » et d*une matière à à florins ^ pour former un méCmge de m unités à f florins chacune ?

Soit X ce qu'il faut prendre de la première matière ; m — x sera donc ce qu'on doit prendre de la seconde , et on aura évidemment

hx florins 4-^(^-7"^) Aotins = mp florins , ou hx'\-d(m — x) = m/7; d'où 3:=:"'^^"" «

Cette formule est beaucoup plus simple que la règle qu'jelle fournil en la traduisant en langage ordinaire ; car voici cette re* gle : pour savoir ce qu^on doit prendre de la x"^* matière^ il faut multiplier le nombre d^unités du mélange par le rapport des différences du second prix au prix mqjren et au \*' prix.

Lorsque &z=ioo, d=zi2^^ mr=:48 et/9z=:io8, la formule précédente donne xiii3i. Cette formule résout en outre les deux problèmes que voici : 1° Combien y a-t-il d'or et d'argent dafîs un alliage de m onces ? On sait qu'une once d'or se réduit à h dans l'eau , une once d'argent à ^ et une once de l'alliage à p.

2* Trouver combien il faut de pièces de b florins et de pièces de d florins pour payer mp florins, avec m de ces pièces.

On voit par là de quelle étonnante fécondité est l'algèbre, puisque cette science résout, par une simple formule, non-seulement tous les problèmes , en nombres inflnis , de même espèce que le proposé , mais encore plusieurs questions générales , qui sembleraient d'abord très-difTérentés de la première.

i38. Si dans la formule précédente on regarde successivement comme inconnue , chacune des cinq quantités &, J, m, p^ x, il en résultera les solutions générales de*cinq problèmes d'espèces ' diiFérentes. Par exemple, si l'on prend b pour inconnue, la formule donnera . m(p^d) + dx

> et le problème résolu est : dans un mélange de m unités^ coiU tant chacune p florins^ il entre d'une matière à dflor, V unités et X miîtés d'une autre matière dont le prix^h est inconnu f

quel est ce prix? Si d=: ii^^ m = ^8^ p=z io8 et xr=3îi, la valeur générale de b donnera &=zioo.

On voit qu^à Faide de quelques transformations , une même formule pourra résoudre autant de problèmes généraux quVUe aura de lettres différentes ; ce qui est avantageux en èe qu^on sera conduit ainsi à de nouveaux problèmes, pour lesquels on n^aura pas à recommencer les raisonnemens , quelquefois très-compliqués, qui ont donné Téquation du proposé. Cela vient uniquement de la simplicité du langage algébrique, qui, en rapprochant les objets ,. permet d^en saisir plus facilemept les différens rapports.

. 1 39. Depuis qu'un père avait Vdge actuel de sonjils^ il s'est écoulé un nombre d'années tel que Vdgedujils est devenu a fois ce qu'il était alors ; et quand l'dge du fis vaudra Vdgc actuel du père ^ les deux âges réunis feront b années d^ plus qu'à présent. Trouver les âges actuels.

Soient x et^ les âges actuels du père et du fils, puisque quand le père avait Fàge actuel ^ du ilis , celui-ci avait a fois moins

d?âge qu^à présent ou*^, la dificrence des deux âges était ^ — '^-

Or, cette différence restera toujours la même , puisque ses ''«^ux nombres augmentent tous les ans d^une unité , ainsi Page actuel

X du père surpasse celui jr du fils de j- — - ^t il vient

Mais quand le fils aura atteint FÂge actuel x du père , Tâ^ de celui-ci sera x+j^* — -• *Et puisqu** alors les deux âges réunis feront b années de plus qu^à présent , il sVnsuit que

ax -{-x — ^^ ^ ^X "I" ^' Cette équation et la^précédente fournissent *

(la — \)b ab

xz=.—, r- et r=::— ; r-

Si £i=zr3 et (=:4o<) on aura x=:5o et^=3o. Les formules précédentes , très-simples en langage algébrique , seraient trèslongues énoncées en langage, ordinaire. Ces énoncés seraient cependant les dernières phrases quMl faudrait employer,^ Ton résolvait le problème en langage ordinaire. On voit donc qu^une

pareille solution est ici impossible , et qu^il faut nécessairement faire usage des signes abréviatifs de Palgèbre.

i4o. Des héritiers doivent se distribuer une somme d'argent^ de manière qu'après avoir eu sa part ^ chacun donnera au suivant^ sur le reste ^ le produit de 2i florins par le rang de ce suivant^ plus le c""* du nouveau resté. Par cette disposition^ les héritiers reçoivent la même part. On demande là valeur de la somme x distribuée^ celle de chaque part y et le nombre * d'héritiers.

Le premier reçoit a flor. plus le c"** du reste x — a *, sa part

est donc j'ina^l • Le second reçoit an flor. sur le reste

X — a , plus le c"* du nouveau reste x — 3a

X— 3fl - - «

sa part est par conséquent an-J ■ ,■ » Ainsi on a

2|}-[--r 5j— zza-1 ; d'où a:=zû(/i — ij •

De là on tire j^=fl(/i-:-i) et z:=n — i.

i4i. Trois enfans ajrant ensemble un nombre a d^ années ^ doivent partager avec leur mère une certaine somme d'argent. Chacun d'eux^ à commencer par le plus jeune ^ prend autant de florins qu'il a d'années et en sus le quart du reste. De cette manière^ les en/ans sont également partagés^ et le dernier a laisse' h florins pour la mère. Quels sont leurs âges x, y,.z, et quelle somme u ont-ib partagée ?

Puisque ]a mère a eu ^Vlorins , les enfans se sont partagé également u-'— fr; cliacun a donc reçu -y(^u — b). D^un autre QÔté, le plus jeune prend d^abord sur la somme u autant de florins qu'ail a d^années , cV»st-à-dire x florins , et en outre le quart du reste u — x ; sa part est donc x -f- -^-(li — x) ou x(3^ 4" w)i et il reste u— -5-(3x + «) ou -g-(3tt — 3a:). Formant de la même manière les expressions des parts des deux autres en- &ns, on verra aisément que le problème proposé fournit les quatre équations

x+j' + z-rza,

i(3x + ii) = f(ii-i),

^(i2r+3ii— 3a:)=zf(i/-i),

^(^Sz + gU^^—l2jr) = -^{u — b).

B.és#lvant ces équations , on trouvera B = -f(3a+5t), x=-è-'(û— *), jr=ia et z=-^(3a-\^b).

143. Les bkns dVn négociant augmentent chaque année de leur c*"* partie^ combien doit-il préleyer tous les ans sur une somme a quW a dans le commerce, pgur qu^an bout de trois ans, il y ait encore la même

somme T f La Taleur simplifiée est ■ ■ j •

TrouTer les termes de deux fractions dont a est la somme et & la diffiérence. On sait que c est la somme de leurs numérateurs x et u , tid celle de leurs dénominateurs j^ et tr.

Trouver trois nombres tok, qo^en les divisant respectivement par m, «, /?, les trois qnotiens soient égaux, et qu^en lès augmenunt respectivement de a, &, c, la somme de leurs produits a à a soit augmentée de d»

On partage une somme a entre cinq héritiers, de manière que chacun , il compter da plus jeune, reçoit autant de florins qu^il a d^années, et en sus le e™® du reste. Par cette disposition , après que le cinquième a eu sa part, il ne reste rien, et tous les héritiers sont partagés également. Quels sont leurs âges f

De la discussion des Problèmes du premier degré,

i4^* Discuter un problème ou des équations, c^est interpréter les résultats singuliers auxquels on parvient, quand on donne des valeurs particulières aux lettres qui s^y trouvent.

i44« Remarquons d^abord qu^i^ra^ équation du. premier de^ gré à une inconnue^ ne peut jamais admettre qu'une seule valeur pour cette, inconnue.

En effet, quelle que soit Téquation proposée, on pourra toujours la ramener à la forme ax z= b\ car on pourra toujours chasser les dénominateurs , transposer les termes , réunir en un seul tous les multiplicateurs de Tinconnue x , représenter par a k nouveau multiplicateur, et par b le nombre connu qui forme le second membre : et comme ces différentes transformations ne détruisent pas Fégalité , il s'^ensuit que Tinconnue x ne change pas de valeur pour maintenir cette égalité ; les valeurs de x , dans Téquation résultante axz=:b^ sont donc les mêmes que dans Féquation proposée.

Or, Tinconnue x n'a qu'aune seule valeur dans ax=zb^ car il n^ ^ quW seul nombre qui , multipliant a , puisse donper le produit b ; donc aussi Tlnconnue x n'a qu'une seule valeur dans l'équation proposée, du premier degré (*).

(*) -Si JT pouvait avoir deux valeurs. dificrentes m et ^, dans ax = ^ ,

i4S. Ce raisonnement suppose que Téquadon proposée ne soit pas identique, comme mx — k=:mx — k ^ car si cela était,' les quantités a ci h seraient nulles, et Péquation deviendrait o.xzzzo : donc cette équation serait satisfaite par toutes les vakurs qu^on voudrait donner à x ; donc Tinconnue x pourrait avoir une infinité de valeurs différentes , et serait indéterminée dans cette équation.

Si Ton veut résoudre Téquation o.ar = o, on trouvera x=z »£ =: 0°. Or, quel que soit le quotient x de o divisé par o , en multipliant le diviseur o par ce quotient, on aura toujours le dividende au produit : donc x , cVst-à-dire f^, est tel nombre qu^on veut , et représente par conséquent une quantité indéterminée,

146. Si après avoir ramené Féqualion du premier degré à la forme ax = ^, le coefficient a étaft nul et b égal à un nombre n^ l'équation proposée deviendrait o.a:=n ou o = n, et serait par conséquent impossible , au^sl bien que le problème qui Ta donnée.

Dans ce cas, o.a: = n fomnit x=.—i et alors la valeur de x

es( infinie. En effet, le dividende n restant le même, si le diviseur était successivcmen^ -î- , -i-, -î- , — î— , etc., le quotient

10 100 1000 ^ftopoo ' ' ^

serait successivement ion, loon, looo/i, loooon, etc. Donc plus le diviseur est petit , plus le quotient est grand ; si le diviseur est très-petit le quotient sera très-grand 5 si le diviseur est Je plus petit possible, ou o, le quotient sera le plus grand possible, et sera par conséquent injini. Donc - est le symbole d'une

quantité infiniment grande, et ne saurait être exprimé par aucun pombre , quelque grand qu'il soit.

On se sert d'un huit renversé 00 pour désigner Vinfini \ ainsi T-=oo^ d'où 71 = 00 X o et — = o. Il est bon de remarquer que - ou 00 est un signe d'impossibilité.

147. Lef inconnues ne peuvent a^oir qu'une valeur chacune dans m équations du premier degré à m inconnues.

on aurait à la fois am:=.h et ap-^rib^ donc on OTirait aussi amr=:iap^ ou m'=^p\ ce qui est contre Thypotln^se. Doue x n''a qu''une seule valeur 4sn6 àxz=:hy et par conséquent dans Tcquation proposée, du i*** dçgré.

( 57 ) En efiet , les Uratasformations que Ton fait subir aux deux membres 4e chaque équation , pour arriver à Téquation finale , ne détruisent pas Pégalité de ces deux membres. Donc les inconnues ne changent pas de valeurs pour maintenir cette égalité. Donc toutes les valeurs de chaque inconnùç, dans les équations proposées, se trouvent encore dans les équations qui s^en déduisent, et par conséquent dans Péquation finale. Or, Tinconnue n^a qu^me seule valeur dans Péquation finale, puisque cette équation est du premier degré (i44)) donc aussi, la même inconnue n^a qu^une seule valeur dans les équations proposées. Et conune cette inconnue est Tune quelconque des proposées, il s^ensuit que ces inconnues n^ont qu^une seule valeur chacune.

148. Cette démonstration suppose qu^il n^ ait pas plusieurs équations proposées qui se réduisent à une seule ; car si cela était, on aurait moins d Vquations distinctes que d^inconnues ^ et comme une équation ne peut jamais déterminer qu'aune seule inconnue, une au moins des inconnues proposées serait arbitraire ; ces in-* connues pourraient donc avoir une infinité de valeurs différentes chacune.

i49* Si à rinspection des équations proposées, on ne voyait pas que plusieurs dVntre elles se réduisent à une 'seule, on le reconnaîtrait par les valeurs ^ qu^on trouverait en résolvant ces équations. Par exemple, soient les deux équations

3r — Gjr — 45 ^= o , 7J-— -ax^ 3j-— 3o.

Transposant et réduisant les termes, puis divisant la première par 3 et la seconde par 2 , il viendra

Pour éliminer J*, il suffit d^ajouter la seconde de ces équations à la première ; alors écrivant seulement les termes en x, puisque ceux en jr doivent se détruire , on aura

X — xrziS — i5, ou o.xzzro et x^zf»

Cette valeur indéterminée nous apprend que les deux équations proposées se réduisent à une seule ; et c'est ce quV>n voit par les équations (1) ^ car la seconde n'est que la première, dans laquelle on changerait les signes des deux membres (91).

( M ) Voici trois équations,, dont deux se réduisent à une seule :

X — lo a jr — ^6 1 a*.,

i5o. Lorsque plusieurs équations ne peuvent coexister, on eo est averti par les valeurs infinies qu^on trouve en résolvant ces équations. Par exemple , supposons qu^on ait

Pour éliminer jr^^ on multiplie la a* par 2 et on la retrancbe de la 1 '* ; alors en n^écrivant que les termes en x, il vient

Sj: — 8x1=26, ou 0.07 = 26 et xzi:^,

valeur infinie qui ne saurait être représentée pw aucun nombre ; donc les deux équations proposées sont impossibles. Et c^est ce qu^on voit en multipliant la seconde par 2 ; car alors ces deux équations sont une même quantité 8a; — ^jr égalée à deux nombres diffcrens 36 et lo.

G^est aussi de cette manière que les trois équations suivantes sont impossibles : ^y. ^ m 8 %z

1 5 1 . Il peut arriver qu^cn résolvant un problème on soit conduit à une valeur négative de la forme x = — v: dans ce cas, conmie on ne saurait soustraire v^ la valeur de x est impossi})le, aussi bien que le problème proposé.

Mais il est très-important de remarquct qu^il y a cependant un problème résolu par la valeur v \ car si Ton xbange x en -— X dans les équations proposées^ ce sera changer x en — x dans toutes les équations qui s'^en déduisent (*), et par suite dans la dernière x = — v, qui deviendra alors — x=: — vottX = v (91) : la valeur de x ne sera donc plus impossible, et il j aura effectivement un problème résolu par cette valeur v. Or, quel est ce nouveau problème 1* Pour le trouver on observe que les

(*) En effet, si Ton désigne — x par x\ et quW remplace x par jc', dans les équations proposées', il est clair que les nouvelles e'quations donneront en x\ c^est-à-dire en — x , toutes les équations que les proposées donnaient en x; elles conduiront donc à x'rz: — v, c^est-à-dire à — x-=z — v\ d'où X =: V.

équations fournies par. les proposées, en y changeant x en — «x, donnent la valeur x == v ; donc ces nouvelles équations sont celles dn nouveau problème, et par conséquent, en les traduisant en langage ordinaire, on aura Pénoncé de ce nouveau problème.

Ainsi , lorsque la résolution d'un problème conduit à une 9akur négative de la forme x = — v, cette valeur v résout lé problème que donnent les équations du proposé en jr chan^ geani xen — x^ et en traduisant les nouvelles équations en langage ordinaire,

i5a. Il n^existe point de règle générale et précise pour opérer cette traduction ; mais l'usage montrera bientôt comment ell« s^efiectue. Par exemple , le poids x d'un corps est tel^ que son triple augmenté de lo livres^ est égal à son double' diminué de ao livres. Quel est ce poids ?

L^ëquation de ce problème est évidemment

^x -f- 1 o 1= ax — io\

et on en tire x = — 3o : donc le problème est impossible , comme on pouvait bien le prévoir d^aillcurs. Substituant — x à X dans Féquation proposée, elle deviendra — 3x -}- lo = — ax — ao ; ou bien, en changeant les signes des deux membres

Comparant cette équation à la proposée, on verra que les nom* bres lo et 20 changent seuls de signes , pour le problème résolu par la valeur x = 3o , et que ce problème est :

Le poids x dun corps est tel^ que son triple diminué de lo Itrres^ est égal à son double augmenté de ao livres. Quel est ce poids? En résolvant directement ce nouveau problème, on trouve efièctivement que x = 3o.

i53. Un Joueur donne ^fr. pour chaque partie qù*il perd^ reçoit '%fr. pour chaque partie quil gagne; et après \i par» ties^ son gain total excède sa perte totale de Z6fr. Trouver combien iljr a eu de parties gagnées et de parties perdues.

Soient x et^ les nombres de parties gagnées et perdues , on

"*'* x+^zzi2 et ax — 4^=36.

Ces équations donnent x = 1 4 et j* = — i. La valeur dejoe saurait être calculée, et par conséquent le problème proposé est impossible. Mais nous avons vu qu^il doit y avoir un pro-

blême résolu par les valeurs 1 4 et 3 ; et que pour avoir ce nouveau problème ^ il faut changer j' en — j- dans les équatîôilf proposées , et traduire les équations résultantes

x — jrzzzi'i et aj: + 4^ = 36.

Or, pour opérer cette traduction , il sufRt de se rappeler que ùo étant le nombre de parties gagnées et j- le nombre de parties perdues, ix désigne le gain total et 4 j* la perte totale ; alors on verra que le problème résolu par x=.i^ et j*=:a, est celui-ci :

Un joueur donne t^ francs pour chaque partie qu'il perd et reçoit 2 francs pour chaque partie quil gagne* Ayant gagné 1 1 parties de plus quUl n*en a perdu , son gain total plus sa perte totale fr)nt Z& francs. Combien jr a-'t^il eu de parties gagnées et de parties perdues f

154., On voit que les valeurs négatives prouvent non-seulement rimpossibilité du problème qui les a données , mais que de plus , elles indiquent les chaugemens à faire dans Fcnoncé pour que ce problème n^ait plus rien d^absurde et soit résolu par les' valeurs trouvées. Il nVn est pas de même des valeurs infinies *, elles indiquent rimpossibilité absolue du problème proposé (146), et ne conduisent à aucun problème nouveau. Nous laissons à interpréter les valeui:s négatives dans les problèmes que voici :

Une cuye reçoit Peau par deux robinets; en les ouvrant Ton 13 et Fautre 7 minutes, la cuve contient 46 litrons; si le premier est ouyert S' ci Tautre 5, la cuve renferme 3o litrons. Combien chacun verse-l-il d^eau par minute T

Quel nombre x doit-on ajouter à chacun des facteurs ~a et $, pour que le nouveau produit et le premier se contiennent autant de fois que* les sommes de leurs facteurs ?

Un rentier partage 4^0 flor. à 3 neveux ; il donne au premier le 5' de ce que reçoivent les deux autres ensemble , et au second , 394^ de moins , que les 3 quarts de ce que reçoit le troisième. Combien chacun a-i-il?

i55. De ce qui précède (i5i) il suit, que si dans la formule et les équations à^un problème proposé, on change a en — a^ b en — b^ c en — c, etc., la nouvelle formule résoudra* le problème qu^on trouve en traduisant les nouvelles équations en langage ordinaire. De cette manière ^ une même formule peut, par un simple changement de signes dans ses données, résoudre successivement plusieurs problèmes différens, et conduire à des énoncés qui, peut-être, ne se seraient pas offerts à Pesprit» Cette

propriété très -remarquable, vient uniquement du calcul des quantités négatives isolées , et montre par conséquent le but et Futilité de ce calcul en algèbre.

i56. Un ouvrier reçoit îijlor. par jour de travail^ donne f:fôr, par jour de repos ; et après a jours , ayant réglé son compte^ oh Itd redoit hjl. Combien de jours a^tnl travatUéf

Soit X le nombre de jours de travail \ a — x sera celui des jours de repos , et on aura

dx — cia — x) = h ; d'où x = — -^^

Si dans cette équation et cette formule, on change successîvemeullcs signes des quantités h^ c, d^ x^ prises d'abord i à i, puis a à 2 , ensuite 3 à 3 , et enfin 4 ^ 4 1 ^^ ^^^^ ^'^ équations et les formules de i5 problèmes faciles à énoncej; en langage ' ordinaire. Par exemple , si Ton change & et J en -— 6 et — d^ Téquation et la formule deviendront

dx'\'c{a — x)rz& et x= "» (i)

Donc lê problème' résolu est : Un ouvrier se met en pension chez une personne^ et lui donne cjl. par jour de repos et àfl. par jour de travail. Après 2l jours ^ ayant réglé son compte^ U doit hjl, en tout. Combien de jours art-il travaillé?

Dans ce problème ^betd désignent des dépenses , et n'ont pliis la même acception que dans le proposé, on ces quantités représentent des gains. Si c^d ei b'^ac^ la valeur (i) de j; sera négative, et le problème impossible. Mais en substituant -~x à X, l'équation et la formule (i) deviennent

cfû + x) — dx-zizb et x z± ;•

Le problème résolu est donc : Un ouvrier se met en pension chez une personne; il lui donne cjl. par jour de repos et en reçoit djl. par jour de travail. S' étant reposé a jours de plus qu'il n'en a travaillé^ il redoit hjhrins en tout. Combien de jours a-^t'il travaillé ?

. On voit que x a changé de signe sans changer d?(icception , et qu'au contraire, d a changé d'acception sans changer de signe : cela tient au produit dx, qui change de signe aussi bien quand d devient — r- d que quand x devient — x.

Lorsque c = d ei h=:a€^ là formule (i) devient ar = J ; donc le problème est alors indéterminé (i45). En effet, supposer c = J,' c'est supposer que l'ouvrier donne, par jour de travail comme par jour de repos, c flor. pour sa pension ; donc après a jours , tant de repos que de travail , la somme h qu'il devra s^ra ac. Or, c'est précisément ce que le problème demande , puisqu'on y suppose h = ac\ donc ce problème sera toujours bien résolu quelque valeur qu'on donne au nombre x de jours de travail , pourvu que ce nombre ne surpasse pas a.

On voit d'ailleurs que quand c = ^2, si 'on ayait & > ac , le problème serait impossible, puisque c=:<f conduisant à b=aCi b devrait être à la fois plus grand que ac et égal à ac : aussi trouve-t-on, dans ce cas, a; ^= oo (146), valeur impossible.

iS^. Une remarque très-importante à faire, c'est que généralement , dès qu'une quantité a est prise dans une acception contraire à ce qu'elle signifiait d'abord, cette quantité diminue tout ce qu'elle augmentait et augmente tout ce qu'elle diminuait ; c'est-à-dire que a devient partout — a. D'où il faut conclure que toute quantité prise en sens contraire doit être affectée du signe — , partout oit elle se trouve (*).

(*) Supposons qu^im ouyrier ait pour m flor. de biens : suiTant qu'il gagnera ou qu^il perdra a flor., l'e'tat de sa fortune sera m-|-aoum— a; dans ces deux états la quantité a aura des acceptions opposées, puisque dans Pun a désigne un gain et dans Pautre une perte. Or, Pun de ces états devient Pâutre, 1° en y prenant a en sens contraire et en y chaa* géant a en — a *, 7? en y changeant a en — a et en y prenant a en sens contraire. D^où il suit que, 1° toute quantité prise dans une acception opposée^ doit recevoir le signe — partout oii elle se trouue; a® Réciproquement, toute quantité dont la valeur a le signe — , doit être prise dans une acception contraire.

Le premier de ces principes nVst sujet à aucune exception \ et Toict plusieurs exemples propres à ve'rifîer le second :

1** Si X désigne le nombre d^annees qui doivent encore s'écpuler, pow qu^un père , âge de 5 ans , ait 3 fois Page de son fils , qui a c ans ^ â est clair qu'on aura i j^x==a(c-|-x); d'où x=i— ac.

On veut que cette formule ait lieu pour toutes les valeurs de 5 et c (4) ' donc, quand h vaudra 60 ans, et c, 3a ans, cette formule donnera x=: 60 — 64 = — 4 ^^' ^^ sorte qu'il devrait encore s'écouler — 4 années pour que l'âge du p^re fut double de celui du fils. l\Iai.s il y a dt^à 4 VM que Tâgc du père était double de celui du fils, puisqu'alors l'âge du père

Par conséquent, pour avoir sur-le-champ la formule du problème qu^on obtient en prenant en sens contraire une quantité a d^un problème propose , il suffit de changer a en — a dans la formule de ce proposé ; ce qui dispense de recommencer, pour le nouveau problème, les raisonnemens et les calculs qui ont feami la formule du premier.

i58. Remarquons encore que quand une quantité a devient —il, elle diminue tout ce quelle augmentait, et augmente tout ce qn^elle dimfnuaît; elle diange donc d^acception, c^est-à-dire devient une 'dette si d^abord elle désignait un bien , un temps à venir si elle représentait un temps passée une distance à gauche d^un point si elle exprimait une distance à droite de ce point,

^int 60— -4 ^^ ^ ^^'^y ^ ^l°i da fils, 3a -^ 4 ^'^ ^^ utis : donc — 4 mimieê à écouler^ sont réellement 4 année» déjà écoutées,

a* Oa sftit que pour avoir les biens réels d^un homme qui « des dettes^ il fiint Mostraîre U somme qu^il doit de la somme qu**!! possède. Cette |ij|g]e,'cOii8idér<Sé comme vraie pour toutes les valeurs des nombres indé- Mnninéft qaVUe renfermer, S^appliquera au cas où un homme aurait la il. CI en devrait 16^; eDe donnera donc 1 a — 16 on — 4 ^^^* ipojxt les biens réek de det homme. Mais cet homme n^ajrant que la florins, nVn peut pajer que la des 16 qu^il doit; il en devra donc encore 4* D^où il suit que — i^ florins de biens /ont réellement 4 florins de dettes.

. 3^ Pour connaître de combien de lieues un voyageur placé en A, serait B A encore en arriére du point B , aprës avoir pair-

conm un certain chemin , il £iut soustraire ce chemin de la distance AB« Ce principe appliqué au cas où AB vaudrait 7 lieues et le chemin par^ eonm 1 1 lieues, donnera 7 — 11 ou — 4 ligues, pour la distance dont le rttyêfgtur est encore en arriére du point 6. Mais ce voyageur est réelle- Bfnt de 4 lieues en avant de ce point 6 , puisqu^il avait 7 lieues à faire pour être en B, et qu^il en a fait 1 1 : donc être de — 4 '^<<^^ en arrière (ffan point y c^est réellement être de 4 lieues en auant de ce point.

H snit de ces exemples et de ceux traite^ plus haut, qu^en regardant les règles et les formules algébriques conune ayant Heu pour toutes les. valeors imaginables des quantités indéterminées qui les composent , on quelquefois conduit i des résultats impossibles^ tels que les valeurs et les valeurs natives, qui montreront par conséquent Tabsurdite de la supposition qui les aura donnés. Mais les valeurs négatives indiqueront de plus les changemens à 6dre dans le problème qui les a fiNornîes, pour que ce problème n^ait plus rien d^impossible, et soit résolu par les valeurs obtenues. De cette manière , les calculs et les raisonne- ■OBS par lesquels on est passé, ne seront pas inutiles, pnisqu^ili résoudicat le nouyetu problème.

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«t ainsi de suite. En un mot, toute quantité qui devient négO' tive , doit être prise en sens contraire.

iSg. Mais il faut pour cela, que cette quantité x augmenta ou diminue une certaine quantité, concrète de même' nature qu^elle ^ car autrement elle ne serait pas susceptible d^étre prise en sens opposé \ et pour avoir le problème résolu , il faudrait substituer -^ x k x dans les équations primitives. Lorsque le problème est un peu compliqué,, celte suËstitution est même le moyen le plus sûr d^avoîr une interprétation exacte, bien qu^il puisse suffire alors de prendre Finconnue en sens contraire (i 58).

G^cst en changeant ainsi :e: en — x quMl faudra interpréter la valeur négative dans le problème que voici, où un nombre . d^hommes ne saurait changer d'^acception , et où Ton facilite la traduction en mettant les trois inconnues en évidence : loo hom" mes sont partagés en trois pelotons tels^ que le premier a 60 individus de moins que le second et 49 de moins que le troisième^ combien y a-t-il d^hommes dans chaque peloton ?

Nous pouvons maintenant discuter complètement les problèmes du premier degré , et le suivant offre à peu près toutes le» circonstances qui peuvent se présenter dans cette discussion :