Soit encore le produit — ^ v (v-\-i)(y-\-^) — (w+a

Si Ton y change v en t; — 1 , et que Ton opère comme dans le cas précédent, on trouvera la formule

Dans cette formule, chaque terme du premier membre a pour facteurs a nombres entiers consécutifs, dont le 1^ est 1 dans le 1*' terme, a dans le 2*, 3 dans le 3*, etc. U exbte deux autres formules analogues, Tune pour les nombres pairs et Tautre pour les nombres impairs. Si Ton fait successivement a= a^ 3, 4i etc., on aura successivement

etc

1 39. La valeur réciproque d^une quantité est Funité divisée par cette quantité ; mais on appelle inverse d^une série, la suite de quotiens obtenus en divisant Tunité par chaque terme de cette série. Il est facile de s^assurer, au moyen de la valeur réciproque du produit (v + 1 ) (v + 2) (v + ^) ' ' ' (^ + ^) 1 9"* Tin verse de la série générale du n* précédent est

"~" «»a.3 ... («-|-i) an (n-|-i) (#i-|-a) ••• (n-^a)

i3o. Los séries numériques que Ton considère ordinairement, sont celles des nombres figurési ainsi nommés à cause de leurs rapports avec certaines figures de géométrie. Prenons, par ex., Tcxpression -^v (v + 1) (av — ar — a -4* 5) , et traitons celte expression, diaprés la règle du n* 126; nous en déduirons la formule :

,+tf4.(3a 3)+(&i— 8)+(ioo— i5)+(i5<i— î4)+-.-p -fn(flii — an — a4'4) = 5(''+0(^'* — ^'^ — fl+5).

Cette formule est celle des nombres polygones : en y faisant successivement â= 3, 3, 4i ^1 ^i ^^*i ^^^ donne les séries des nombres naturels^ des nombres triangulaires^ des nombres carrés^ des nombres pentagones^ des nombres hexagones^ etc. Voici ces séries :

,4.24-3+4 + 5H |.n=:-fn(n + i)

i+3 + 6+io + ... + X/i+i) = in(fi + i)(n + a) i+4 + 9 + ^5+... + fi^ = in(/i + i)(2n + i) '

etc. . •

i3i. En appliquant la règle du n** 126, les deux expressions

o . ac ••• ve (ii-^c) (ii-|-ao) ••• (ii-J-vc) ^

fourniront les deux séries générales que voici :

j , « , "(« + *-) , , fi(K4-c)»-(ti4-nc — r)

ce» 2c C • ac ••• ne

(1/ -1- r) (w -f" ^^) (" "f" ^) •••(«-}- »«•), c • ac • 3c '"fie e c * le '* f • ac ••• /i<r

___ * r ao • 3c ••• («-f-OcT

La seconde de pes formules csl Tinvcrse de la première. Remplaçant vc par 21; — 1 ^ ce qui sera remplacer c par 1 , ne par 3, 3c par 5, /{C par j^ ... , ne par 2n *— 1 , les deux séries précédentes en fourniront deux autres, qui seront pour les nombres impairs, ce que les formules données par la supposition de c = 2 , sont pour les nombres pairs. ■ i32. Les deux séries du n** précédent ont lieu qu'acnés que soient les valeurs positives ou négatives des lettres qui les composent ; on peut donc en déduire une infînité de séries numériques. Par exemple , si dans la première on fait successivement t:=: 1 et Cl = 2, 3, 4i ^v c^c.^ qu'ensuite on change n-f- 1 en n dans les résultats , on aura

i+a + 3 + 4+5-}-...+n = i«(n+i), i+3+6+io+i5+". + 4-n(n+0 = in(n+iXn+a), i+4+«o + ao + 35 + "-+-g-n(n+i)(n-f-a)

etc.

La première de ces séries csX la somme des nombres naturels, ou des nombres Jigur es du second ordre \ la seconde, celle des nombres triangulaires , ou des nombres figurés du 3' ordre \ la troîsicmô , celle des nombres pyramidaux , ou des nombres ficaires du 4" ordre \ la quatrième est la somme des nombres figurés du 5' ordre ; et ainsi de suite. On voit que le terme général de chaque série est la somme de la série précédente (*).

i33. En traitant les deux quantités (a'\-vr)(ja^vr'\'r^ et aq*'^ on aura la somme des n premiers termes d'aune progression aritlimétique et d'aune progression géométrique. Si Ton considère les expressions

— et ^ '

on en déduira huit formules assez remarquables. U en sera de même des formules fournies par les quatre expressions