Soient considérés les deux termes généraux

(r + ^) (c + arf) (c+3^/) (c + 4./) ... (c4-i;5II5)'

(*) Il est aisé de voir que 91 est le i3« nombre trianjjiilaire ^ j54o le ao* nombre pyramidal; 17300 le a/f* nombr6 ii^'uré du 4* ordre; et ainsi de suite. Par exemple, si Ton demande le rang n du nombre pyramidal dont la valeur est « , on aura -g-zi («+ 1) (« -|- a) =:«; dVi n^<^Qa et (n-}-i)^^6a. Doue n est la racine cubique du plus grand cube contenu dans 6a. ' ^

dans chacun desquels le numérateur a un facteur de plus que le dénominateur. En y appliquant la méUiodc , on en déduira deux formules tellement générales, qu'on pourra j donner telles valeurs qu^on voudra , positives ou négatives , aux lettres a^ b^ c, d. Et ces foimules feront toujours prévoir la forme des sérh;s dont elles donnent la sommation ^ ce qui est avantageux.

]35. Maintenant qu^on sait détenniner la série numérique finie dont la somme est donnée , il reste à résoudre le problème inverse, c^est-à-dire à trouver la somme lorsque la série est connue. Ce problème est beaucoup plus difficile que Pautre; il est même souvent impossible. La règle suivante dit tout ce que nous pouvons prescrire à ce sujet :

Pour sommer^ quand cela se peui^ une série numérique donnée , il faut tàclier d'égaler son terme général en v , soit à une /onction de termes généraux de séries dont on ait les sommations , soit à la différence de deux quantités variables en V telles , quen faisant v = n dans Vune , on ait le même, résultat qu^en faisant v = n + i dans Vautre, On obtiendra ainsi une identité qui conduira à la somme cherchée^ en y faisant v=i,a, 3,4i ...in et en ajoutant les résultais. Far exemple, soit la série ,

24- + ftà- + "1^ + =»»5V + 303!, + 42,^ + etc. ; il est aisé de voir que son terme général en v est v (^v -{- 1 ) -f- — : — ; — ' , et que par suite on a Pidenlité

Le second membre de cetje identité est com])osé de deux diflércncrs, et les quantités de chaque différence sont telles, qu''en faisant v =. n dans Tune, on a le même résultat quVn posant v = n + 1 dans 1 -autre. De là , en faisant v = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n , on trouve que la somme de la série proposée est

n-j- I 1 36. Soit encore la série