an — 1) i.3.5... (an
J L-lJ 2--U 4- -îl+L — 1 •*- __i
i.a a.3"^3.4 4.5"' — „ („ + i) — * — „^ j ' '^ +— pl±^ + — T ^+^ -+•••
1— .2 + 3 — 4 + 5 — 6 + ...±n = ±-^2n+ i) + xî 1'— 3'+5'— 7'+...±(2n— i)'=±.f(2n^i)(2n+i)
,'— i'+S'— 4'+...±fi^=±.f(2n+i)[2n(n+i)— i]— f
i. 3.1" +2. 4 (1.2)' 4. 3. 5 (1.2. 3)' + 4.6(1. 2.3.4)^ + .. + (n — OC'^ + Or* .2.3...(n — i)]'=:(2.3.4«5...n)* — 1 1.2— 2.3 + 3.4— 4.5 + .. .±fi(ii+i)=±-7(n + i)'+ A
Dans Pavant-dernière de ces formules, A est nul ou •- suivant que n est impair ou pair.
i38. Les sommes les plus utiles à connaître, dans les sériée numériques, sont celles des premières puissances des n premiers nombres entiers. Or, pour trouver ces sommes , «désignons par S^ (qu'on énonce S, m ième), la quantité i"» + a»» + 3»» -J- 4"*+ *•• + '*'"i ^^ manière que S^ représente la somme des n premiers nombres entiers, S^ la sônmie de leurs carrés, S, celle de leurs cubes. S, celle de leurs puissances quatrièmes, etc. Cela posé , on a évidemment , d'après la formule du binôme , et m étant entier positif,
(, ^t;)'"=l+mlr-^-c,v• + C3V*^ 1- mi/^*+ 1/^.
Faisant successivement t;= i, a, 3, 4^ ••• i '^i P^îs ajoutant les n identités résultantes et effaçant les termes communs aux deux membres de la nouvelle équation , on obtiendra
(i + ny»=n+ 1 + mS,+ c.S.+ C3S3+c,S4+ ... + mS,^-.,.
D'après la manière dont on a trouvé cette formule, il est clair qu'on ne doit prendre, dans le second. membre, que la somme de tous les termes qui précèdent celui dans lequel le numéro de S est égal à la valeur de l'exposant m.
Faisant donc successivement m=3, 3,4i^y^i7y ^<^. i cette formule donnera, en ayant égard aux valeurs en m des coeffidens c,, c^, c^, etc. :
(i +«)'= 1 4-«+5S, + 10S.+ ioS,+ 5S»
(i +»)*= i +n + 6S, 4- i5S,+ aoS,+ i5S4+6Ss
(,+»)'=! +«+76. + 2iS, + 35S, + 35S,+aiSj+7S5
ctc
De ces formules il est aisé de tirer les valeurs de S^ S,, S3, S^, S^, Sg, etc. ; car en substituant chaque valeur dans toutes celles qui la suivent et décomposant en facteurs , on trouve
139. Effectuaut les multiplications indiquées et réduisant, on obtient
Observant que si une puissance de n , depuis la plus grande jusqu'^à la plus petite , vient à manquer dans Fuue des valeurs précédentes, cette puissance forme un terme ayant o pour coefficient , on verra , en examinant avec attention ces valeurs, que pour trouver celle de S^ , il faut multiplier par m chaque terme fie S^^^ et augmenter de i Vetposant de n dans chacun de ces termes , puis diviser le premier terme du résultat par m+ 1 , le 7." par m , le 3* par m — i , le (^^ par m — a, le 5* par m — '3, <*/ ainsi de suite ^ jusqu'au dernier .'faisant n=:i dans l'expression résultante et retranchant de l'unité lu valeur qui en proviendra^ le reste sera le multiplicateur de n dans le dernier terme de S^, et V expression dont il s'agit sera le sut' plus des termes,
D''après cette règle, si Ton veut trouver S^, la valeur de Sg donnera d'abord
■^n + v"' + fi'ï — ^" + rs^ • Posant ensuite wziri, dans ce résultat, ce qui, fournit -g- + -}-- f-fj — 5^ + Tî ou 1, puis retrancliant celte valeur de Punité, le reste o sera le multiplicateur de n dans le dernier terme de S„ ; de sorte qu'ion a
comme on le vérifierait d'^ailleurs à Paide des formules du n" i38.
Avec celle valeur de S la règle précédente donnera
Cl ainsi de suite, pour S^^, S,oi S,,, etc.
i4o. Comme toute expression^dc la forme A+<^B signifie A plus une quantité plus petite que B, il est facile de voir, par les valeurs du n" précédent, qu'ion a
S, = f n*.+ < «♦, Sj = >« + < «*, Se = S-i' + < «^ et ainsi de suite. Donc en général.
S^zzi
Cette formule est utile en géométrie et en mécanic[ue, comme nous Pavons fait voir dans le tome i**" de la Correspondance Mathématique et Phjrsiqûe^ déjà citée, page 68.
1 4 i • Les sommes des premières puissances des nombres naturels ont un grand nombre d'applications ; mais leur principal usage est de sommer toute série numérique dont le terme général en V est une fonction entière et rationnelle de v. Par exemple, si le terme général d'une série est civP — hv^ + ^^'^i ^^ somme de cette série sera aS^ — hS„ + ^^r'
C^est ainsi qu^on obtient les formules : ,«+3'+5'+... + (M-i)'=:i«C2«-i)(an+i),
,'+ 3* + 5' H Y (an— i)'= n' (îi»'— i)
i.4+4-9+-+«X«+0'=^('«+bl''C3n(«+4)+,3]+2}
143. Trouver le nombre de boulets contenus dans une pile à base triangulaire.
Cette pile est composée de tranches , en allant du sommet à la base *, et ces tranches sont telles, que si au nombre de boulets de Tune d'elles, on ajoute le numéro de \^ suivante, la somme sera le nombre de boulets de cette suivante. Donc, puisque la i" tranche n'a qu''un boulet, la 2* en aura 1 + 2 , la 3* 1 -|a -|- 3 , la 4* 1 + a + 3 -|- 4 ^ ^" général , la v"' en aura
1 +^ + 3 + 4+'" + *'i ou ^/ + ^»^.
Faisant dans cette valeur successivement y=zi , a, 3, 4i ..., «,
( 94 ) on aura successivement les nombres de boulets contenus dans les tranclies i"^, a*, 3', 4*i '••^n*\lsL somme de tous ces nom-< bres sera donc le nombre x de tous les boulets contenus dans ia pile ; il viendra par conséquent x ±r ^^ -f" i^i î ^^^^ (^^)
Par exemple, un fermier vient de vendre à a4 centimes ht douzaine^ une pîlè d'oeufs^ à hase triangulaire^ composée de 1 5 tranches. On veut savoir àamhien U recevra d^ argent^ sans déftàre la pile pour en compter les œufs ; ce qui serait assez long et exposerait à les casser. En faisant nzzziS dans la valeur précédente de x, on trouvera que la pile est composée de 68o œufs \ coûtant par conséquent i3^, 6o.
1 43« Trouver le nombre de boulets contenus dans une pUe à hase rectangulaire.
Dans cette pile les tranches sont formées de rangées de boulets. Le nombre de rangées dVne tranche quelconque est égal au numéro de cette tranche ; tandis que le nombre de boulets qui forment chaque rangée est égal au même numéro augmenté d^un nombre donné H. De sorte que dans la v*^^ tranche , il j a V rangées contenant chaci^ne V'{'k boulets \ ce qui fait v fois (v 4- k) boulets , ou v* + kv.
Prenant successivement t' := i, a, 3, 4^ *** i ''i ^° ^^^'^ ^^ cessivement les nombres de boulets contenus dans les tfandies i", a"*, 3*, 4*^ "M 't*) 1a somme de tous ces nombres sera donc le nombre x de boulets contenue dans la pile proposée ; il viendra conséquemment , J? = S^ -}- AS^ ; d'où (i 39)
j: = g/i (n + 0 (^* + 2^* + 0* Pour la pile à base carrée, kzno ei x:=z^n(n-\- i)(a«-f"0*
i44* ^ directeur d^un arsenal doit faire transportera ip lieues le reste d'une pile de boulets , à base reàtangulaire , contenant encore i a tranches^ dont celle du haut a 7 rangéei de 1 1 boulets chacune» Comme chaque boulet pèse 1 a livres^ et que les voitures ne peuvent porter que de\S à\% cents liv.; on demande combien U faudra de voituriers et combien chacun recevra^ sachant qu'on paie 5o cents par quintal conduit à une lieue f
U est clair que la trandie du haut est la 7* de la pile totale, et que par suite 7-4'^^^ ^ ^ v ^^^ A =4* ^^ ^^^ ^ plus que
le nombre z de boulets restans est la diiTéreDce entre deux piles à bases rectangulaires, pour lesquelles A: = 4i 1^*^^ ayant 18 tranches et Pautre 6 ^ on a donc
ou z == 2618 boulets. D'^après. cela, il est facile de voir qu'ail faudra 20 voitures, portant chacune i3o boulets, sauf la der< nière qui en aura 148; et que les voituriers recevront chacun 78^, excepté le 20"* qui aura 88*^, 80.
\/^!y.' Etant donné un poîjrnome de n termes de la forme a + b + c + d + e-j- f + efc, trouver combien il restera de termes dans sa puissance m"*, après qu*on aura' effectué toutes les réductions possibles.
Soit X la somme de tous les termes du polynôme, excepté a\ la puissance m™* de ce polynôme sera donnée par la formule
(a + xy^ = a^x'' + ma'^'x + c^a'^^x*-^ 1- x^.
On voit que, pour calctder tous les monômes qui composent la puissance m™* du polynôme proposé, il suffit de développer les puissances o, 1, 2, 3, 4.9 •••1 f^^* du polynôme' x, qui contient n — 1 termes. Si donc on désigne par t^ et u^ les nombres respectifs de termes des puissances m™*' d^un polynôme de n termes et d'*vak polynôme de it — 1 termes, on aura
'«="• + «, + «'a + «3 + - + «m- — (0 Cette formule fournit la solution du problème proposé. En effet , pour un trinc^me , n = 3 et u^ désigne le nombre de termes de la puissance m"** dW binôme. Or, ce nombre de termes est m 4- 1 ^ donc alors u,^ =; m -f- 1 •
Faisant successivement 111 = 0, 1, 2, 3, 4i •**! "^i ^^ ^ura successivement 11^=1: 1 , ii,=2, i/a=3, u^z=:/^^,..^Ujf^z:zm"\'i. Substituant ces valeurs dans Téquation (1), le nombre /, de termes de la puissance m** d^un trinôme , sera
f3=iH-2 4-3 + 4+... + (m + i) = K'»+0('^ + ^). Pour un qnadrinome , n =: 4 et u^ exprime le nombre de termes de la puissance m"* d^un trinôme ; donc , diaprés c^ qu^on vient de trouver, on a i/^ rz ^(m + 1) (m -f- 2).
Prenant dans cette équation, successivement mzzzo^ 1 1 2, 3, 4, ..., m, on verra, diaprés Féquation ( 1 )<, que le nombre 1^ de termes de la puissance m** d^un qnadrinome , est -
En général ^ le nombre t^ des termes de la puissance mT* d^un polynôme de v tenues , est
car si Ton rcdait ces deux- fractions au même dénominateur^ en multipliant les deux fermes de chacune par le dénominateur de Tautre, leiu^ niunératcurs seront égaux^ conmie étant chacun le produit des nombres naturels i^ a, 3, 4i ^i ••• i (*» + v — i) : donc CCS deux fî-actions sont égales. ^
En supposant que la formule (ji) soit vraie pour un polynôme de V termes ^ \c dis quVUc sera vraie ausssi pour un polynôme de 1^ -{- 1 termes. Car dans le premier cas, la formule (2) désigne le nombre i/^ de termes de la puissance m"°* d^un polynôme de V termes ; et si on y fait successivement m z=: o, 1 , 2, 3, 4i ... , m, qu''on substitue les valeurs résultantes dans (1) et qv'on ail égard h ce que devient la première formule du numéro i3i, lorsque c n: i , on tiouvera ce que donne la formule (2), quand on y clia.jgc v en v+i . D'où il suit que si cette formule est vraie pour une certaine valeur de v^ elle sera vraie aussi pour une valeur plus grande d'une unité. Or, celte formule (a) est démontrée pour ri= 4 î ^^^^ 21 donc lieu aussi pour v = 5. Etant vraie pour 1^ =z: 5 , elle sera vraie aussi pour 1; zz 6, puis pour 1» zn 7, î; zz 8, et enfin pour vzmn. De sorte que
ce qu^il fallait trouver.
D'^après cette formule, pour savoir si un polynôme de 20 termes peut être le cube parfait d'^un autre polynôme , on fera 7/1 iz: 3 et /^ zz 20 , et il viendra
-^n(fi+ i)(« + 2)=:20.
Et comme n :zz 4 est la seule hypothèse qui satisfasse à celte équation , on en conclut qu'un polynôme de 20 termes peut être le cube parfait dW quadrinome de la forme rt -J- J + c -}- rf.
