Voici encore quelques problèmes à résoudre
Un particulier ach<îte tous les ans un pigeon femelle qui lui donne cette anne'e et les suivantes un nombre de pigeons mâles égal au rang de cette même anne^. Comb. aura-t-il de pigeons mâles au bout de n années?
Pendant n années nn particulier a reçu tous les ans un nombre d« pigeons femelles égal au nombre impair de même rang que cette année. Comme chaque pigeon femelle d^une année lui donne tous les la mois un nombre de pigeons mâles <^al au nombre impair de même rang quo Tannée où il a reçu ce pigeon femelle, on veut savoir combien il y a eu de pigeons mâles produits pendant les n années proposées. [[On pourrait supposer le^ {)igeons femelles reçus une année , en nombre égal au rang de cefte année, ou au carré de ce rang, etc.]
Trouver combien il y a d''nnités dans la somme de tous les produits différens des n premiers nombres entiers multipliés a à a , un nombre ne devant pas être multiplié par lui-même.
Un propriétaire convient avec un maçon de lui donner ~ cents pour chaque palme cube de pierre employé à la construction d^un es<»lier massif, dont les faces latérales sont perpendiculaires à la hase horisontale, laquelle est un trapèze ayant ses deux côtés parallèles à angles droits sur Tun des deux autres côtés. Le plus grand côté parallèle vaut 3o palmes, le plus petit 10 et la hauteur a4o. Chaque degré a 4 palmes de large et 3 de haut : de sorte que rcscalicr a 60 degrés et commence au plus petit côté parallèle 10. Combien a-t-il dû coûter T (R. a5559o cents.)
Des équations à indices.
i47* La notation des numéros des lettres conduit à des équations qui se résolvent par une manière particulière d^éliminer. Cette notation n'^est pas nouvelle ; mais personne , que je sache, nVn a fait Tasagc que je vais faire connaître , et qui offre de grands avantages.
* 1 48. On appelle numéro ou indice d*une lettre , le nombre écrit à la droite et un peu au-dessous : ce nombre indique qnci rang Id quantité représentée par Ja lettre , tient dans une suite de quaatités de même nature qu^elle. Ainsi dans uUe suite de quantités, toutes désignées par x", x^ (qu^on énonce x, t;"*), sera la v"*, et v sera le numéro ou Tindice de x»
Résoudre Téquation qui lie deux x consécutifs tels que x , el x^ , c^est en déduire une équation entre x^ et x^ et des nombres donnés.
1 49- Considérons , par exemple , TiHiuation
dans laquelle p, q^ r, sont des quantités connnes ^ positires oa négatives. Pour résoudre cette équation , divisons ses deux mem-
brcs par q^ posons ~=;ia, — =6 et multiplions de part et d^au-
tre par a^^' ) nous aurons, en transposant,
Prenant successivement 1;= 1, 3, 3, 4i •••l 't— 11 U viendra ax^ — x^=. b a Xj — ax^ HZ ha a x^ — o'xj m ha* a^x^ — a^x. zizh(jf
Ajoutant entre elles ces n — 1 équations'et observant que toof les termes des premiers membres se réduisent deux à deux , excepté Xj et a^-'j:^, on aura
Pour trouver la valeur de la progression géométrique entre parentbèscs, on la désignera par S et on la soustraira de son produit par a \ alors on verra que Téquation précédente se réduit à
û^-'x^ — X zzfc
rt"-'
Substituant les valeurs de a et h^ et réduisant, on obtiendra
Si yç> =: <7, cette formule est en défaut \ mais alors Téquation (1) se réduit en la divisant par p, el ou en tire
La formule (2) peut servir à résoudre tous les problèiâes relatifs aux progressions géométriques \ car tous ces problèmes peuvent avoir des équations de même forme que Téquation (i), conrune il est aisé de s'^eu assurer.
i5o. Si Ton avait les deux équations
on les résoudrait par addiûon, comme Féquation (i), en dirisant la première par t; (2; -|- ^ ) ^^ ^^^ muliipliant la seconde par (î;+i)(t; + 3).
i5i. Considérons maintenant Péquation
x^ = vx^^^ — av.
Cette équation ne saurait se résoudre par addition ;- mais on peut la traiter par la substitution des valeurs. En effet , prenons successivement^, dans cette équation, t;=i , a, 3, 4« ^1 6, 7, etc., nous aurons successivement ^
x^zzix^ — a .Tj zz: ^x, ^ Zct
Xg = Gx — 6a
etc
Substituant successivement x^, Xj, x^, o;^, x^, r,, ..., dant la valeur de x, , on aura les valeurs successives
x^ = 2 . 3 . 4 . 5xg — a(i+2 + ^*3 + 2.3.4 + 2.3.4.5)
.etc ; ;•
Il -est aisé de voir, plar ces rcsultau , qu^en général , ou a
x^ r= 2.3.4 ••• (w — ^)^n — a [1 + 2 + 2*^ + ^•^••4 + ••* + 2.3 ... (fi — 1)].
Celte formule résout Téqualîon proposée , puisqu'elle établit une relation entre x^ , x„ et des nombres donnés.
On résoudrait de même Téquation x^^^ = vx^ + a.
i52. Quelquefois on peut éliminer par élévation aux puiistn* ces. Considérons par exemple , Féquation
dans laquelle m est quelconque. Pour résoudre cette équation, il faut élever s^l deux membres à la puissance m^^^^ puis faire
successivement «;m, a, 3, 4i 5, ..., '>^*-' i^ et multiplier entrt elles les n — i équations récitantes. Effaçant ensuite les facteort communs aux deux membres, simplifiant la fraction da premier,
chassant le dénominateur et posant, pour abréger, /? = «
on aura définitivement
On traitera temblablement les deux équations
(*v+.r=o(^vy et (x^^,)'=^x„.
1 53. Nous savons résoudre les équations contenant deux x eonséculifs quelconques , tels que x^ ei x^.^. Voyons maintenant comment on traitera deux équations renfermant x^^ ^vxt^ J^v^^ J'vxr I^^sibord si ces quatre quantités se trouvent dans chaque équation, il sera impossible, par la simple algèbre, de résoudre ces deux équations \ parce qu^on ne pourra jamais en déduire une équation ne contenant que x^ ei -r^+ii ^** T*® J^v etj^^ . Mais si quelques-unes de ces quatre quantités manquent dans Tes deux équations proposées , il sera possible quelquefois dWriyer à des valeurs déterminées pour x^ ct^^.
1 54* Par exemple , supposons que dans les équations
. = Vt; et ^^j., = 2x^ + a.
on doive avoir j-^rro et^-^zra, et cherchons x^ ^^J'n- ^.^^ " l'on change v on v — i dans la première équalion, elle donne x^ zzi V'v-r Substituant celte valeur, dans la seconde équation, elle devient ^ ^».. I ^
Divisant par i^ et faisant successivement v =z i , a, 3, 4, ...i n — 1 , ajoutant et réduisant , on trouve
..rw + a^Vf-.^ûC^"— i).
Changeant n en v, posant a =r — c, divisant par c"^ puis prenant v=: i, a, 3, 4i ..., n et ajoutant, on aura, réductions faites , ^
Avec celte valeur on trouve facilement celle de x„. i55. On peut aussi résoudre les deux équations
^v+t=J'v — ^v + ^ et jrv+.=J« + ^i; — tf.
dam lesquelles on sait qae j-^zno ei j^^-^^a. En efiet, on en tire d'abord
ce qui réduit )a seconde équation proposée à ,
Posant 2 = c*, ou c = 1/^2 , et opérant conune daps TexeiB^ pie précédent , on aura j-^ el par suite x^.
1 56. Eli traitant les deux équations
.=ri;+û(2V— 0 €^rt;+.=
où Ton suppose x^ rz o et x^ =z A, on obtiendra
le signe supérieur n^ayant lieu que pour n impair.
157. Voici quelques équations pour appliquer lés mcthodos de résolution que nous venons d^'ndiquer :
^v+. = ^^i; et ^^^j^. = ^^+j-^;
^t/JV = ^'^1.+, et x^ = ^>^x„^, ;
^•^v+i ^^ -^v + J'v et 2?-^^., ^= •'^v+i "T" J'v* Les deux premières équations se résolvent par addition ; la troisième par multiplication ^ les deux quatrièmes par multiplication et addition \ les deux cinquièmes par substitution^ élévation aux puissances et multiplication^ les deux sixièmes par multiplication ; les deux septièmes en ajoutant et soustrayant le double de la seconde à la première , en prenant les radnes car* rées et en ajoutant ; enfin les deux denuères par addition et en y supposant x, = a et ^^ = fc.
i58. Ce que nous venons de dire sur l'emploi des numéros des lettres, sert à résoudre une classe de problèmes Ères-curieux^ gu^il serait diffidle ou même impossible de traiter par une autre métliode. On a d^ailteurs remarqué que la sonunation des sériesnumériques est nécessaire pour mettre ks .exfHresftiûns 4tt jncon*
nueà sous la forme la plus simple ; et c^est ce (|u^od peut Toîr encore dans les problèmes que nous allons résoudre.
i5g. Soient marques à volonté^ sur une droite indéfinie^ deux points i er a ; puis sur la même droite^ soient marqués successivement un point 3 également distant de i et 2; un point 4 également distant de u et 3 /^ un point 5 également distant de 3 et J^ ; et ainsi de suite. Trouver sur la droite , la position du n"' des points marqués de cette manière.
Soient .r^, •^v+« ^' ^v+» ^^* distances de 1 aux points i>, v-^-i et 1; -|- 2 : puisque le point t; -f- 2 est également distant de v et 1; -j* 1 ) ^^ est visible qu^on a
Prenant dans cette équation, successivement v= 1, 2, 3, 4, ...^u\ puis ajoutant les u équations résultantes, effaçant les termes communs aux deux membres, observant que x^zzio et qu« X = l'intervalle entre 1 et 2 , = a , on trouvera
Multipliant les deux membres de» celte équation par ( — 2)"; puis faisant successivement u= 1, 2, 3, 4i '••^n — 2, ajoutant et observant que x^=a^ il viendra, toutes les réductions faites,
x„ = la +
Lorsque n est infini , cette formule se réduit à ^a.
160. Un négociant gagne ^ pendant chaque année ^^ une ' partie de son bien de cette année , marquée par ce qui reste en étant de m le rang de cette même années il dépense à la fin de chaque année ^ ajbis V excès de m sur le rang de Van* née immédiatement précédente. Après n années^ il possède h francs ; combien avait^il d^ahord ?
Soient x^ et x^^^ les biens du négociant au commencement de 1» V™* et de la {y + 1)"* année \ il est clair qu'on aura
Résolvant cette équation, d'après l'une des méthodes qui précèdent, on trouvera
jiix, — (m — n)h z=z am(jn — 2Sj-4-n) +
fl [1.2 + 2. 3 + 3. 4 + 4' 5 + ••• + (« — *)"]•
• ( io3 )
Substituant la valeur de S, (i3B),' ainsi que celle du multiplicateur de â ( 1 iH) , il viendra , en réduisant ^
"^^ "= ^i^ (^/i + fc) + £ ('»— 0 {n + i).
161 . Lef nombres à soustraire croissent comme les ^ombres impairs i , a, 3, 7, 9, efc.,* les nombres dont on soustrait^ sont: :xjbis un nombre donné a, ^fois ley^ reste ^ 6 fois le a*, 8 fois le 3%- ...,- in fois Ze (n— i)"% et le n°** rwrc j^flut b. Trouver le premier nombre z à soustraire.
Soit JT^ le V™* nonîbrc dont on soustrait et Xy,^ le suivant 5 on aura évidemment
^vx^— (22;— i)z = x^^^.
Celte équation donne , à cause de x^=ia et de x,^,^ = 6,
a=! + zCi+-l + -J j [ '"-' N
