a a. 4 ia.4«<5 ' ' a. 4. 6. ..an
Comme la somme de la série est 1 — , il vient
a.4«6 ••• an
a (a. 4*6 ... an) — b
Z :zr — - — •
(3.4*6 ... an) ; — 1
162. 'Etant donnés n nombres a^ a,, a^^ a/^ ...^ a^, partOr ger ces n nombres chacun en deux parties telles , que r soit le rapport constant entre la 1 '* partie de chaque nombre et la a" du nombre immédiatement suivant , et aussi le rapport entre la \^* partie de a„ et la ^' de a ^,
Soient x^ et j'^ les deux parties de a^ cl x^ , J^v+% ^®^^ du nombre suivant a^./^ on aura donc, d'^après l'énoncé,
Posant h^ — r\ multipliant les deux membres par h^'^ prenant successivement 1;=: 1, 3, 3, 4i •••1 '^ ^^ ajoutant, puis v=:i, 2, 3, 4i ••") '^"*"^ ^^ additionnant^ faisant, pour abrégen,
f ' = a fi + aji' + a,h' H h a^fi'*-' 5
observant enfin que^„. ^ =^* . on trouvera
A Taide de ces formules , on calculera toutes les deuxièmti parties cherchées -, et U sera facile ensuite d^avoir les prenûènt.
Supposons que les nombres donnés soient les n premiers nonrbres entiers, de manière que a^=:v^ et ainsi des autres^ nous aurons donc
ç = h + nV + 3k^ H f- hh''
Retraiichant chacune de ces équations de son produit par h et réduisant, on aura les valeurs de ç et «^', lesquelles substituées dans celles de j'^ et de^r^i après avoir mis partout — r au lieu de h , donneront
La seconde de ces formules devient la première, quand uz=.i ; ce qui doit être.
On peut faire un grand nombre d^autrcs suppositions sur lès Taleurs des n nombres à partager \ par ex. , on peut admettre que ce soit les n premières puissances d^un nombre donné a, de manière que a^ = a^ : on peut supposer aussi que a^ =-. 7'a^ \
quca^=v(v+iy, a^=:i j^5 a^=bv', enfin a^=v
et rzzzi. Chaque fois on déterminera j-^ et r„, par des calcub analogues à ceux où a^ z=:t\
i63. Un rentier a placé une somme x à intérêt composé^ pendant n années^ au taux de r pour i par an. Sur les valeurs de cette somme au hout des années i'*, a", 3', 4'i •••"! ^"*"» ^ a dépensé c, 2C, 3c, 4^1 ••• i ^^' ^'^ demande combien il lui est resté à lafn de la n™* année.
Soient j:^, et x^ ce qui lui est resté à la fm des années (v — i)"*' et v"*. La somme x^^ qui lui est restée au bout de la {v — 1)°** année, a été placée pendant la v"' à r pour i d'intérêt*, elle a donc valu, au bout de celte v"* année, (i +r)x^,,: et comme alors le rentier a dépensé vc sur cette valeur, il s'ensuit qu'à la fin de la v^* année , il lui est resté
Divisant les deux membres par i -}- r et posant a m ,
puis multipliant de part, et d'autre par a"*^*, on aura une équation qui , à cause de x = x, donnera ;
( io5 1 ou bien , en prenant la somme de la série entre parenlhcses ,
Substituant la valeur de a et réduisant, il viendra enfin * x„=(i+r)"x-^[(.+r)"+'-(i+n)r-i].
Cette formule donnerait aussi la valeur de x, ainsi que celle de c, les autres quantités étant données; mais on nejsaurait en tirer ni r, ni n , même en s^aidant des logarithmes.
164. Un père ordonne par son testament que ramé de ses n en/ans prendra une somme a sur Vhéritage^ plus la moitié « du reste j le a* une somme isl sur ce qu'aura laissé le i*', plus les deux tiers du reste ; le 3* une somme 3a sur ce qu'aura ^laissé le a*, plus les 3 quarts du reste ; ainsi de suite , jusqu'au n* enfant , qui reçoit une somme na , plus (n — 1 )fois le n** du reste : alors il reste h pour la mère. Quel est P héritage ?
èoit x^ ce qui reste ^ de Thérilage avant que le v"* enfant prenne sa part, et x^,^ ce qui reste après ; on aura évidemment
x^ — va ^ = x^^„ ou x^ = (v+ 0-2^1;+. + ûv-
Prenant succossivdment v z=z 1 ^ 2^ Z^ /{^ ...^ n^ ei substituant successivement x^^ x^^ x,^ x , ..., x^ dans x,, il viendra, k cause de x^^^^ =: ^1
X, =r i.2.3.4.«.n(n+i)6-tfl[i4-t«2'+ï'^'3'+i.a.3.4*+*"+i.2.3...(n — î)n*].
Substituant la valeur de la série (137)1 et réduisant, il vient
X, =z a. 3. 4.5 ... n(n-}" 0(^ + ^) — ^• On peut yarier de sept manières VéDonci du problème do testament : 1** Les parts sont successivement a, aa, 3a, ^a^ ..., mx, plus la moitié,
le tien, le quart, le cinquième, ..., le (n-f~^)™* du reste correspoqdant^
le dernier étant toujours 6 \
a® Les parts sont successivement a, 3a, 5a, 7a, ..., (3/1 — i)a, dimi« nuÀ respectivemfint de la moitié, du quart, du sixième, du huitième, •.. , du a/i ième du reste correspondant, le dernier étant à ;
3^ Les parts successives, sont a, 3a, 5a, 7a, ..., (ait — i)a, diminnés respectivement du unième^ du tiers, du cinquième, du septième, ...^ (an— i}ième du reste correapandant, le denoder étant 5) '
( îo6 ) •
4* Les pArts sont aa, 4^, 6a, 8a, ..., ana-; diminaës respectivemenC de la moitié, du quart, du sixième, du huitième, ..., du anième du reste correspondant , le dernier étant B \
5^ Les parts sont aa, 4^i ^^i ^^i "*i ^'^t diminua respectivement du unième^ du tiers, du cinquième, du septième, ..., (a/t— i)ième du reste correspondant, le dernier étant d;
6° Les parts sont le nombre a diminué successivement de la moitié, ( du quart^ du sixième, ..., du anième du reste correspondant;
7^ Enfin , les parts sont le nombre a diminué successivement du tiers, du cinquième, du septième, ..., du (an+i)™* du reste oorrespondanL
1 65. On distribue à n pauvres une certaine somme d'argent:
on donne au \*^ Sijlorins^ pîus^ le c""* de ce qui reste ,• au a*
aayZ., plus le c"* de ce qui reste ; au 3* 3a^., plus le c*' de
.ce qui reste ^ ainsi de suite : alors il reste hjl. Quelle somme
a-t-on distribuée?
Soit x^ ce qui reste de la somme avant que le v"* pauvre ' reçoive sa part, et ^^ . i ce qui reste après \ il est clair qu^oo aura
x^ — av —
av
Cette équation est résoluble par addition (i49)i ^ donne, toutes réductions faites ,
x. = a(c— .7+[A + ûn(c-i)-a(c-i)'](^)'.
11 est facile de résoudre le même problème ,
1* Lorsque les premières portions des parts des pauvres successifs étant a, 3a, 5a, ..., (a/i — i) a, les secondes portions sont le c** des restes, eu encore i fois le (ac-|-i)°**;
1** Lorsque les premières portions des [^arls étant aa, 4^) 6a, •••, ana, les secondes portions sont le c"*" des restes ;
a" Lorsque les premières portions étant la, 4«, 7<'i •••» (î'» — i)<«i les secondes portions sont 3 fois le (3c -|- 1 )"• des restes \
4° Enfin, lorsque les premières portions étant i .aa, a .Sa, 3.4a,—*, n{n'\-\)a^\cs secondes portions sont le c™* des restes.
i66. Voici encore plusieurs problèmes à résoudre par les équations à indices :
Les nombres à soustraire croissent comme les nombres pairs 'a, 4i ^9 8, etc.^ les nombres dont on soustrait, sont : «3 fois un nombre donné «, 5 fois le i"" reste, 7 fois le a*, g fois- le 3*, ..., (an+i) fois le («— i)**, et le n™" reste vaut b. Trouver le premier nombre z à soustraire.
On ajoute constamment le nombre donné a à un nombre inconnu; a»^ tiers de la somme, aux 3 cinquièmes de la a* somme, aui 5 septième»
dé la 3*, ainsi de suite, et il Tient, après la n"** ope'ration, le n"** rësullat qu^on obtient en ajoutant a au nombre inconnu cherché, aux a quarts de la somme, aux 4 sixièmes de la 3* somme, aux 6 huitièmes de la 3*, ainsi de suite. Quel est ce nombre inconnu ?
Une personne gagne, au bout de cliaque année, la moitié de ses biens pendant cette année, et dépense à la fin a francs. Apjés n années, elle possède autant qu^elle aurait eu au bout de n années, si elle avait dépensé à la fin de charpie année a francs de moins que la moitié de son bien pendant cette année. Combien avait-elle* d^abord?
Quel nombre x fautril retrancher constamment d^un nombre donné a, des 4 demies du premier reste , dés 5 tiers du second , des 6 quarts du troisième, ..., de (n + a) fois le /!"■• du (/i-^i)™* reste, pour que U dernier vaille b ?
Quel nombre x faut-il ajouter au tiers d^un nombre donné a , aux a quarts de la i'* somme, aux 3 cinquièmes de la a*, aux 4 sixièmes de la 3*, aux 5 septièmes de la 4*, ••• , à n fois le (n -|- a)"** de la (n — !)■•• sommé, pour que la dernière vaille ù T [Même problème, lorsque les dénominateurs des fractions successives, sont : m, m-^-iy m-^a, r/i-|-3, ..., m-f-n — 1.3
Une personne dépense, pendant chaque année, a fois ce quVlle a dépensé Tannée immédiatement précédente, et gagne a fois ce qu^elle a' gagné et dépensé cette même année précédente. Combien possédera-t- . elle au bout de la n"^ année f On sait que n^ayant rien au commencement de la première année , elle gagne 6 flor. et dépense c flor. pendant cette année.
Une personne gagne, pendant chaque année, une partie de son bien marquée par le rang de cette année, et dépense à la fin de cette méma asnée, le produit de a fl. par le rang de Vannée suivante. Quels seront les biens de cette personne à Is fin de la ra"* année, sachant qu^elle pot^ té Jait b florins au commencement de la première f
Dans des additions de chp^cunc deux nombres, les nombres à ajouter croissent comme les nomb.es naturels i, a, 3, 4i ^1 "-1 'i i ^^ nombres^ auxquels on ajoute ^nt : a fois un nombre donné a, 3 fois la 1''* somme,. 4 fois la a*, 5 fois la 3% ... , (« -f 1) fois la (n — i)"»*, et k n"* somma vaut b» Quel est le pf emlcr nombre x à ajouter T
On prend successivement le double d^un nombre inconnu et le double de a, les 4 tiecs du résultat et les 4 ^^^ de a, les 6 cinquièmes du second résultat et les 6 cinquièmes de a, ..., an fois le (an — i)"* du (/t — !)•• résultat et ara fois le (ara — 1)°** de a : alors le dernier résultat vaut b. Quel est le nombre inconnw ?
On retranche constamment le nombre a, de la moitié d^un nombre inconnu, plus la moitié de a\ du quart du premier reste, plus le quart de«; du sixième du second reste, plus le sixième de a\ ...; du an™* du (ra— >])'"* reste, plus le ara ième de a : alors il reste b. Quel est ce nom-
bre idconnuf [Même problème, lorsque les d^ominatenri des parUet •uccessives, sont : 3, 5, 7, 9, ••., (afn+i)].
Une marchande , à qui il ne reste plus que b pommes , en a vendu à ^ personnes, de maitiére que chacune a eu A pommes, plus (m — a) fois le quotient de ce qui restait avant de lui donner ce k pommes, divise par la somme de m joint à c fois le rang de cette personne. Combien la marchande avait-elle d^abord de pommes ?
On retranche constamment le nombre a, du (c 4- d)^* d^un nombre inconnu augmeuté de a, du (c-|-a^)™^dtt premier reste aoçmeiité de «, du (c'\'3dy^* du second reste augmenté de a, ..., du (c-\~nd)^* reste augmenté de à, et le dernier reste vaut b. Quel est ce nombre ioconnaf [Même problème,' lorsque les parties successives sont prises d fois cha* cunc3«
Problèmes qui dépendent des combinaisons.
167. Trouver les relations qui existent entre les sommes des puissances semblables de n quantités quelconques a, b, c, d, .. ., k, e/ ^5 sommes des produits differens de ces quantités
multipliées aài,3^3,4^4i ^'^n ^^^^ même quantité né* tant /acteur qu'une fois dans un même produit.
Désignons par S^ la somme des puissances m ièmes des n quantités proposées , et par p^^ la somme des produits dîiFéreoj de ces quanlitcs combinées m à m. Soit d^ailleurs a^ la somme de tous les produits difTérens m à m où a se trouve, b^ la somme de tous les produits m k m qui contiennent /?, et ainsi de suite. Il s''agit d^abord de trouver la somme.
A cet effet , prenons un produit de m fictcurs , par exemple dbe/.,. h : puisque a^ est la somme de tous les pcoduits difTérens de m facteurs où' a se trouve , il sVnsuit que a^ renferme seulement une fois abc/.., A 5 d'où il suit que le produit abef ... /t ne se trouve qu'une fois dans chaame des m quantités a^^ bmf '^m'^fm'» ""^ ^m'^ il est par conséquent contenu seulement une fois dans la somme x qui renferme ces m quantités. On voit par là \|ue diacun des produits difTérens des n quantités a^ b^ c^d^ ««H ^1 combinées m à m, n'est contenu que m fois dans x\ donc la somme p^ de tous ces produits m km n'jr est contenu non plus que m fois : et comme x ne renferme pas d'autres quantités que ces produits m à m, il en résulte j:^r= mp^^ ou bien
Il reste maintenantà détcnniner ^^, 6^, c,„, etc. Or, comme a est la somme de tous les produits où a se trouve , il faut en conclure que a^ vaut a multiplié par la somme ;?„,, des psoduits des n quantités proposées combinées m — i à m — i, à Texception de la somme ^|„. de ceux de ces produits m-^— i à m ^- 1 où a se trouve \ on a donc
Posant u = — -3- , Téquation précédente devient , en maltî* pliant $tB deux membres par 1/'^^ ,
Prenant successivement m = a,3,4YSY«*M''>^ ajoutant et réduisant, en observant que a^ = a et que ua^z=. — 1 , on aura^ en transposant — 1 ,
l +«//>. + ">. + "Vj + - + '*'"">m-. = — tt^^m- Multipliant les deux membres par a^ et observant que u zzs — 7 1 on trouvera , réductions faites ,
Ajoutant cette formule avec les résultats quMle fournit en y changeant successivement a en b^ c^ d^ ...^ ki^ ti réduisant diaprés ( 1 ) , il viendra
HhS.A;^,±m/;^=iO...(3)
Il est impossible dé fbfihér un produit de n-f v facteurs avec n quantités n^y entrant qu'aune fois chacune ; donc chacun des produits de plus de n facteurs doit être irgardé comm^ nul ; on doit donc avoir tf^^^=o et p^ =0. Diaprés cela, il est clair que Téquation (2) est encore vraie pour my^n^ il en est /jonc de même de la série (3), pourvu qu^on Farréte au terme affecté de Pf^ , car lorsque m ]> n , on a pj^ z=. o. Faisant donc , dans cette série, successivement m = 3, 3, 4^ ^i 6, ..., it et m^/t^ elle donnera successivement
S4 — /'.Sa + ;i,S,^PjS. + 4;f^ = o
^a—P.^i, + P^^i—P^^. + PK^^ — V5 = o ^--pS + P^%—P%^^ + P^t — Pi^t +^6=0
( no^)
Sm — P.S^-i +f'a^m-^ — Ps^^-J + '" ± Pii^m^n=0' Telles sont les relations qui résolvent le problème proposé*
168. Prenant dans ces formules, les valeurs de S,, S,, S|, S^, etc. et observant que S, ^z^^, on aura successivemenl
S4 = pî — 4^>. + ip^Pi + VΗ 4/^4 ' S,=:p', — 5p]p, + 5p]py + Sp,p\— 5p.Pf^— ^pj>^ + ip,
ctc
Ces valeurs feront donc trouver les sommes des puissances semblables de n quantités quelconques , dès que Pou conn^tn les sonunes des produits difTérens de ces quantités combinée lài, aàa, 3à3, 4^4^ ^^^*
169. Les relations trouvées plus haut, donnent encore, en j prenant successivement les valeurs de ^.1 ^,1 p^^ p^^ etc.,
6/7, = SÎ-3S.S, + aS, ii4;7^ = SÎ.-6S:S. + 8S.S, + 3S:-6S4 inopj^ = S\~ loSjS, -I- aoStSj + iSS.S;— aoS.S,
içtC
Ces formules résolvent le problème où, étant domfkécs lei sommes des puissances semblables de n quantités inconnues, on demande les sommes des produits difTérens de ces quantités, combinées iài,!2àa, 3à3, 4^4^ ^^^*
170. Le problème proposé plus haut (167) a été résolu par M. Gebgomkk^ dans le tome III des Annales de Mathématiques. ^ La solution que Ton vient de lire, est analogue à la sienne-, mais paraît plus simple et plus directe. M. Bbet, dans le tome IV des mêmes Annales, s^cst aussi occupé du même problème^ et il en déduit la formule du binôme , par un procédé très-sim' pie , que nous allons modifier comme il suit :
Supposons que les n quantités proposées â, 6, c, d^ ..., A, soient égales entre elles et à ^ ^ Pcquation (3) prendra alors la Ibrme
