Deux courriers^ éloignés Vun de Vautre de a lieues
\ suivent la même route et vont dans le même sens^ le premier
fait par heure b lieues et le second c lieues. On demande après
quel nombre x d'heures de marche , le second courrier sera
encore de d lieues en arrière du premier.
Il est évident qu^en x heures le premier courrier fait bx lieue» et le second ex lieues. Si le second courrier n^avait pas marché, le premier aurait sur lui une avance à^ a-^-bx lieues \ mais en le poursuivant , le second a fait ex lieues \ cette avance se réduit donc ka-\-bx — ex lieues. Or, elle doit se réduire à d : donc
a-A-bx — cxmdi d'*oû x = •
Cette formule déterminera le nombre x d^heures demandées^
tan| qu^on aura a^ d et c^b. Mais on pourrait aussi avoir
a^d et cm/?, azizd et c:=:b^ a^d et c<^6i a:=:d et c<^by
azi^d et c^b^ a <^d et c<C,b. Voyons comment il faut intcr-
'prêter les valeurs de x dans les trois première cas.
1° Si a^rf et cz=:/>, on aura x== 00 et le problème propose sera impossible (i46). C'est ce qu]on vérifie d'ailleurs, en a^
sentant que ^ puisque les detix courriers vont cgalcmcnl vite et dans le même sens, jaipais le second ne s^approdicra du premier pour réduire à J la distance a qui les séparait d^abord.
a*Siû = £fetc = i, il viendra x = J : et comme alors Péquatîon proposée devient identique , il s^ensuit que | représente réellement une quantité indéterminée (14^)1 ^ qu^ainsi x peut être tel nombre d^heurcs qu^on voudra. Effectivement) pfuisque c-=ib^ les deux courriers vont également vite, dans le même sens \ donc la distance a = d qui les séparait d^abord f restera toujours d^ quel que soit le nombre x dlieures de marche.
3* Si a'^ d et c "C. b ^ a^^d sera positif et c — b négatif; donc la valeur de x sera négative , et le problème proposé impossible ( l'a 1). Cela devait nécessairement arriver ; car le second courrier allaut moins vite que le premier, ne saurait s^en approcher, pour réduire à ^2 la distance a qui les séparait d^abord.
liais puisque la valeur de x est négative , elle résout le pro* blême que donne le proposé en y prenant Pînconnue x en sens contraire (iSg),^!! par conséquent en demandant depuis quel nombre x d'heures de marche le second courrier était en ar* rière du premier de d lieues,- On peut voir d^ailleûrç que ce nouveau problème est possible ; car ayant ^ ^ ^2 et c<^by le second courrier va moins vite que le prçmier; donc la distance d qui séparait les deux courriers, il y a x heures, a augmenté pendant ce temps : donc elle a pu devenir a.
Changeons maintenant les acceptions de b eid^ c^est-à-dire , proposons-nous ce nouveau problème : Deux courriers^ ayant t lieues de distance entre eux , suivent la même route , 9oni Tun contre Vautre^ et font par heure ^ le premier b lieues et le second c lieues. On demande après quel nombre x d'heures de marche ces deux courriers se seront dépassés de d lieues.
Puisque les quantités b et d du premier problème sont prises en sens contraire dans le nouveau, on aura sur-Ie- champ la formule de ce nouveau, en changeant éet^en — b et — d dans la formule du proposé (157) ^ il viendra donc, pour le nouveau problème, a-^d
.mm •
comme il serait aisé de le vérifier , en résolvant directement le nouveau problème. Et si Ton fait partout £{=.0, on aura les formules de la, rencontre des courriers.
jàLCEBRE. S
i6i. Ce que nouff venons de dire, dans la discussion prècédente , paraît suflîre pour faire voir aux commcnçans de quelle manière Talgèbre répond à toutes les circonstances d^une question ; mais ib feront bien de s^exercer à la discussion dés problèmes que voici :
Un foudre de a mesures a i\à rempli par deux ouvriers en h heures : le premier y faisait entrer c mesures par lieure \ combien le second j fiusait-il entrer dans le même temps? (On peut avoir une valeur négative, et e peut changer d^acception', ainsi que aC)
Quel nombre x de jours faut-il encore pour qu^un homme, qui voyage depuis a jo;ars, ait marché pendant c fois autant de jours qu^un autre, qui ne doit se mettre en route que dans h jours ? (a et ^ peuvent changer d^acccptioD, ainsi que x; x peut devenir infinie, indéterminée ou négative.)
Queb sont les biens x et^ de deux personnes? On sait que si elles recevaient respectivement a fl. et £ fl. , les biens de Tune vaudraient m, fois ceux de Tautre, et que si la première recevait c il. et la seconde e2 fl., la première aurait y? fois autant que la seconde. (Faire a = 4^, ^=r8, c=:39, d'=,\'k^ m=3 alpzz^i ^ changer les signes des quantités a, 5, r, d^ prises iài,2àa,Sà3, 4à4i ^oir ^^ y ^ des valeurs négatives, infinies on indéterminées.)
162. Nous avons prouvé (i 45) qu'en général \ est le symbole d'une quantité indéterminée \ voyons si cette indétermination a toujours lieu. D'abord, si Fbypotbèsc de £(=. /?, qui anéantit les deux termes de la valeur générale de x, rend md aussi le . premier membre de l'équation proposée, ramenée à la forme M ==10, cette équation sera satisfaite quelque valeur qu'on cionne à l'inconnue x \ donc cette inconnue poiu-ra être prise à volonté et sera indéterminée , à moins que le problème n'ait des conditions particidières, propres à limiter le nombre de solutions (1 28).
Mais si l'bypothèse a = 6, qui donne x =^ , ne rendait pas nul le premier membre de l'équation proposée M = o , cette équation serait toujours du premier degré en jt, et n^admettrait qu'ime seule valeur pour cette inconnue ( i44) • donc \ ne représenterait pas alors ime quantité indéterminée \ et pour avoir la vraie valeur de x, il faudrait d'abord diviser ses deux termes par le facteur a^ — ^, qui doit leur être commun , puisqu'ils deviennent nuls en même temps que lui , quand az=zb,
i63. On voit, par cette discussion, que si la seide hypothèse àe a=:b rend nuls les deux termes de la valeiu- de x, cette inconnue sera ou ne sera pas indéterminée , suivant que la même hypothèse rendra ou ne rendra pas nul le premier membre de
rëquation proposée, ramenée à la forme M=o. Et pour avoir la vérilable valeur de x^ dans le second cas ^ il faudra d^abord diviser ses deux termes par le facteur commun a — b èi faire ensuite a=:b,
104* Quelle somme T/audraii-il donner au commencement de chaque année ^ pçur qu'en donnant aussi ^ à la fin de cette année ^ hjlor, sur chaque c fior. qu'on doit pendant la même année ^ on eût acquitté^ au bout de a ans,^ une somme a qu'on yient d^ emprunter ?
n est aisé de voir que Téquation de ce problème est
bf \ b. \ , b^ r \
* d^où Ton tire
«5» — aadc + ac> X:ZZ
Lorsque b:=zc^ cette formule devient x=:~ : et comme b:=c ' rend nul le premier membre de Péquation proposée , il s^ensuit qae x serait indétcnninée, si le problème n^avait pas une condition particulière, propre à linuter le nombre de solutions. Or cette condition existe; car supposer bz=zc^ c^est supposer qu^au bout de chaqtie année, on paye b û, sur chaque b û, qvCon doit^ on paye donc tout ce qu^on doit pendant cette aqtiée ; la somme X qu^il fallait donner au commencement , doit donc être nulle. Ainsi la condition particulière est que quand 6 r= c, on ait ;i: = o ; et le problème n^a que cette seule solution, dans ce cas.
Divisant les deux termes de la valeur générale de x par 6 — c^
puis Causant b=^c dans la nouvelle formule x=i=-; , il vicn-
■ b — ac
dra x=o, comme cela doit être. On aurait aussi cette nouvelle fonnule , *soit en supprimant i facteur du premier membre
de Téquation proposée, soit en observant que la somme a — t
ax (a — jr), due pendant la seconde année, doit être nulle,
.poisqu'^après en avoir retranché les — , c^est-à dire quelques-unes de ses parties , le reste est o.
i65. Nous terminerons la discussion des problèmes du premier degré , en observant que quand les deux membres d^unc équation ont un facteur commun , indépendant de Finconniie , il Êiut, avant de supprimer ce facteur commun, voir s^il ne devient pas nul par des valeurs particulières des lettres qui le
i Ç8 ) • composent; car s^il devenait nul , le problème serait indéterminé pour ces valeurs particulières; et la suppression du facteur n^au* rait -d'autre efieC que de conduire à une ou plusieurs des solu* tions. Le problème précédent ofire un exemple de cette circon-stance. GÛ* Péquation proposée pouvant se mettre sous la forme
[^ — MT— -(a — x)](i— J = o;
des qu^on aiira 6 = c , cette équation sera satisfaite. Mais si b
n^est pas égal à c, on pourra supprimer le facteur connu i — -,
et Téquation restante donnera la seule valeur de x qui convient alors au problème proposé.
On tire les — d'huit toimeftii de vin et on y remet h litrons de ce vin ;
on fait deux fois de suite ces deux ope'rations successives, et alors il reste
dans 1^ tonneau 36 litrons de vin. Gimbîen y en avait-il d'^abord
dans le tonneau ? (On verra aisément pourquoi ce problème est indéterminé, lorsque cz=za,) ^
Formules pour la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues.
i66. Lorsqu^où chasse les dénominateurs et qu^on transpose les termes , on ne détruit pas Tégalité des deux membres dWe équation. Diaprés cela, on pourra toujours représenter deux équations du premier degré à deux inconnues , par
tf x + t^j- = c , a'x + b'j- = c',
a^byC^a\b\ d^ désignant des nombres entiers, positifs on négatifs.
Multipliant la première de ces équations par a\ et la seconde par a, puis retranchant la première des nouvelles équations de la seconde, on aura
(a// — fctf')j'=:flc' — ca!\ d'où X'=^'^\I^Ti*
Muldpliant la première des équations proposées par b^ et la seconde par^, pius retranchant la seconde des nouvelles équa* tions de la première , il viendra
,( 69 ) {aV—ba')x-=icy — bd', d'où a-=**'~^
167. En examinant atlentivement, les deux valeurs générales de X et de jr^ on voit que , pour former le dénominateur qui leur est commun , il faut écrire les deux arrangemens ab et ba^ des deux lettres a et 6 ^ donner le signe — au second arrangement ba , et (aire porter un accent & chaque seconde lettre : oe qui donnera effectivement ^-—^a'.
A Pégard des numérateurs , on les déduira du dénominateur commun ab^'-^baf^ en j changeant les a en c, pour x^ et les b en c, pour^, et en laissant d^ailleurs les accens tels qu^ils sont^ de cette manière, on aura dans le premier cas, cb^ — bd^ c^està-dire le numérateiu* de Sc^ et dans le. second, ac' — ca'^ c'*est-àdire le niunératcur de^.
168. Pour montrer Fusage qu^on peutf^re dçs formules pu 'des règlte précédentes , soient les deux équations
JEn les comparant aux 4eux équations générales , il vient tf = 5, fc = — 7, c=34iû'=3, //= — i3 cl d = — 6\ ainsi le dénominateur conimun ab^'-^ba! deviciidra, 5x — 13 *— ( — 7) X 3, ou — 65 +.21 , ou enfin — 44 î ^^ numérateur de x, savoir cb^ — bd^ vaudra 34 X — i3 — ( — 7) x r— 6^ ou — 44^ — 4^ 1 ^^ encore — 4^4 \ donc on aura x c= — 4^4
On trouverait semblablcmcnt^ £= 3. On voit que si Ton ne soumettait pas au calcul, les quantités négatives isolées, les for» mules du premier degré ne pourraient pas être appliquées à u>ut exemple particulier, et la plus importante de leurs propriétés n'existerait pas.
169. Trois équations quelconques du prvfuiier degré à trois inconnues , peuvent toujours , en chassant les dénominateurs et en transportant , être représentées par
ax -}- bjr -(- cz =r a , . /2'.r + ^y .+ dz:=z d\ a"x+Vfj' + ç"z=.d!f.
Les calculs, seraient irès-longs si Ton voulait appliquer à la résolution de «ces é(|uations , Tune quelconque .des piéthode»
d^clînunati'on que nous avons exposées. Mais voici un moyen d^abréviation : on multipliera la première équation par une quantité indéterminée m, la seconde par une quantité indétermi* née p\on ajoutera les deux nouvelles équations , et Ton retran* chera de la somme, la troisième des équations proposées. L^équation résultante aura lieu pour toutes les valeurs de m et de /7 , puisque poiu* toutes ces valeurs, les trois trinômes du premier mend>re seront respectivement égaux aux trois monômes du second. Réunissant en un seul, tous les multiplicateurs d'aune même inconnue , dans cette nouvelle équation , elle deviendra :
z=:dm'\-d!p — d".
Cette équation ayant lieu pour toutes les valeurs de m et de p, il est évident qu^on pourra disposer de ces deux indéterminées pour jGadre évanouir deux quelconques des coefBciens, et par conséquent, pour éliminer deux inconnues (*). Veut-on faire disparaître a: et ^ ? Il sufBra de poser
am + a!p m a!\ cm'\-dp'=zd'\
et alors il viendra y z^ •
(*) Cette méthode dVliminatioii par introduction d'indéterminées , n^abre'ge les calculs que dans les équations générales, comme on peut sVn convaincre en résolvant, diaprés cette méthode, les équations
lox -^-gjr — ia« = 72
£n effet, ces équations donnent d^abord
a(5m-|-i4/? — 2)af H-oC"» — 7;> — 3).7*H-6(3 — am — 3yo)»=:
.' 6(iam — 7^— la) •••(!)
Egalant à zéro les coefBciens de x et dc^, on aura deux équations qui, résolues par Tintroduction d^une nouvelle indéterminée h^ donneront m=:S et^ = — ^^ d''où 5=7. Substituant 7 au lieu de z dansTcquatioh (1), on aura ' '
a(5m-J-i4;> — a)x-f 9(m— 7;> — 3)y=:ia(i3m4-7/7~i3). Posant m — 7;» — 3 = o,oum==7y!?-|-3,jr disparaîtra et il viendra
(98;> + a6)x=:ia(98/> + a6)-, d'où x=ia. Prenant 5m4- i4/''*^^=<>) <>u aura de même^=r4«
( 7» ) Si Ton résout les équations en m et en /?, comme au n* 167, on obtiendra :
c'a" — a'c'f acff — ca"
acf — ca' ' acf — eaf
Substituant ces valeurs dans celle de^, réduisant au même dénominateur ad — ca' tous les termes du numérateur et du dénominateur de j-^ et négligeant d^écrîre le dénominateur commun ac^ — ca\ ce ^i multipliera les deux termes àejr par ad — ca'^ il viendra :
0|i trouverait x et ;s d^une manière absolument semblable.
Mais on peut encore abréger les calculs , en observant que , changer les ^ en a et réciproquement, dans les équations proposées , et par conséquent dans toutes celles qui s^cn déduisent , c'est changer y en x et réciproquement , dans ces équations , et par conséquent , dans Téquation finale en y. Donc , par ces changemens de & en â et réciproquement , Téquation finale en y^ c'est-à-dire , la valeur de y^ devient Péquation finale en x^ c'est-à-dire, la valeur de x. On verra dé même qu'en changeant & en c et rédproquement, la valeur de^ deviendra celle de z. Effectuant donc ^ daits la valeur de y^ les changen^ens dont il s'agit , et changeant ensuite les signes du numérateur et du dénominateur de cliacune des valeui-s résultantes , on trouvera :
^ ab'c'f — acfbff 4- ca^bff — ùa^cff -|- bcfaff — cb'aff '
170. En examinant les valeurs précédentes de x, j-, z, on verra que, pour avoir le dénominateur qui leur est commun, il faut piendre les arrangcmens ab ^ — ba\ introduire la lettre c successivement dans la troisième, la seconde et la première place de chacun de cco airangcmens i et changer le signe chaque fois qn^on déplace la lettre c, dans un même arrangement : de cette manière , ab donnera , abc — acb + cab \ — ba donnera , — * bac-^-bca — cba. Réunissant tous les résultats, et faisant porter un accent à chaque seconde lettre , et deux accens à chaque troisième , on aura :
ce qui est efTeclivemeut le dénominateur commun aux valeurs des trois inconnues x^ y y z.
A regard des numérateurs , on les déduira du dénominateur commun, en y changeant le coefficient de Tinconnue cherchée en la lettre des seconds memhres, et en conservant d^ailleurs les >liccens tels qu'ils sont.
, 1^1. L'analogie montre que, si Ton résolvait quatre équations à quatre inconnues , le dénominateur commun s'obtiendrait en formant les six arrangemcns , abc — acb + cab — bac -|- bca — « cba ; eu introduisant la lettre d successivement dans toutes les places , comme dans le cas de trois inconnues , et en faisant porter un accent à chaque seconde lettre, deux à chaque trosième et trois à chaque quatrième.* On aurait ainsi un dénominateur commun composé de ^4 termes , et. duquel on déduirait les numérateurs comme dans le cas de trois inconnues.
i^a. Mais nous n'en dirons pas davantage sur cet objet, parce que les cas où l'on est appelé à traiter un grand nombre d'équations à plusieurs inconnues , arrivent très-rarcment ; et que les cas particuliers qui peuvent se présenter , se développent ordinairement d'une manière plus abrégée que par .l'application des formules générales. Il y a même plus, c'est que l'emploi des formula générales peut conduire à des valeurs qui ne conviennent pas aux équations proposées. Par exemple, soient les deux systèmes d'équations
4r — ^ojr + 1 5-5 = 1 5.
Dans chacun de ces systèmes , les formules donneraient
Cependant en opérant directement sur les équations, on trouvera, dans le premier système , xz=. i,j- = 2, ^r=J, et dans le second, orrz 5, ^=r od et z = oo. EfTectivemcnt, en prenant xzr 1, dans le i" système et x=z:5 dans le second, il viendra
D^où Ton voit tpe lés inconnues jr et s sont indéterminées dans le i*' système, et impossibles ou infinies dans le second.
173. Quoique la discnsnon des équations du premier degré soit la Blême que celle des problèmes du même degré, dont on s^est d^à occupé, nous allons cependant encore discuter les valeurs générales dans deux équations du premier degré, à deux inconnues. Il est clsir d^abord que ces équations générales sont la même chose que
ax -^ bjr — c=: o, «'* + è^jr — c/ =3 o.
Or, si Ton divise la seconde de ces équations par la première, le 'quo« • a' 1
tient sera — , ei le reste deviendra - [(a^ — ^)x — ('^ — ^)] î
donc on aura cette identité :
a' ^ tf'a^+ b'jr — d=z^ (ax + bx — c) +
n est évident, par cette identité, que tous les couples de valeurs de r et de jr, qui satisferont aux équations proposées, satisferont aussi à rëquation {«y- Aaf)jr(ac' — i»') = 0,
laqùefle est par conséquent IVquation finale en^.
Diaprés cela, 1** si Péquation finale donne^=^, c^est4-dire, si I^on a en même temps, ab^ — Ao' == o et oc' — • €«'= o, Téquation (1) deviendra j
a^x-^-h'jr — dz=L— {ax-^-bjr — c)\
donc tous les couples de valeurs de x et de j^, qui satisferont à TéquatÂon Vx -f- Vy — c* = o , satisferont aussi à ^équation ax *\-hr — c = o : et comme il y a unc'infinité de couples de valeurs de x et de j^ qui peuvent satisfaire à Téquation ^x -f- Vy — c' =: o , et par conséquent à Téqnation ox -|~ ty '^— « = o , c''cst-â^re , aux deux équations proposées \ fl s^ensuit que x et j^ auront une infinité de valeurs différentes, et «eroot par conséquent indéterminée,
haf ctif
Cda devait arriver \ car ayant alors £' = — et c' = — , la seconde
équation proposée se réduit à b première, et les deux équations n'^en ibïit qn^nne (i49)-
. Réciproquement, si x et j^ sont indéterminée^ c^est-à-dire , si les deux équations proposées sont satisfaites par toutes les valeurs qu^on voudra donner à x et ày ; on verra , par Pidéntité ( 1 ) , ique Téquation finale en y aura anssi lieu pour toutes tes valeurs de j^ et donnera par conséquent
3* Si Tequation finale en y donne ^==-, c^^-à-dirt , %v Ton a aV — baf^=^ oetacf — ca^^xn^ Vëquation ( i) deviendra
al
a'x + l/jr — cf:=.^{ax + bjr — c)
Donc il v^j aura aocun couple de valeurs de x et de y capable de tiflfaire aux deux équations proposées; car si cela e'tait^ on aurait nécessairement /i=:o; ce qui est contre Thypothése. Ainsi, les deux équations proposées ne peuvent avoir lieu en même temps et sont impossibles. Et en effet, il n^est pas difEcile de voir que, puisque x tiy ont respectivement inéme valeur dans les deux équations proposées, ces deux équations •ont une même quantité égalée à deux quantités difierentes, lorgne ah^ — baf = o , et acf — caf = n.
Réciproquement, si les deux équations proposées sont impossibles, les valeurs de jc et'de^ qui satisferont à Tune, ne satisferont pas à Pantre, et par conséquent, on n^aura jamais (oA' •^ba^)jr — (ac'— ca') = o ;
ce qui exigje quon ait jr =— •
3^ Supposons que^ puisse avoir deux valeurs m et p, qui, avec des valeurs de x, satisfassent aux deut équations proposées; Tidentité (i) montre que ces mêmes valeurs satisferont aussi à Téquation finale (ab^ — bJ)y — (ac' — ca'}=:o; ce qui est impossible, puisque cette équation est du premier degré eu^ (^44)* Doncj^ n^aura qu^une valeur dans les équations proposées; et cette valeur devant satLs&ire à Téquation finale, sera donnée par la résolution de cette équation. Si on éliminait j^, on verrait de même que, dans les équations proposées, x n^a qu^une seule valeur donnée par Péquation finale en x.
174* I^^ propositions précédentes ont lieu aussi pour trois équations du premier degré à trois inconnues, puisque, par rélimination dWe inconnue, ces trois équations se réduisent à deux, ne contenant que deux inconnues. Mais il serait très-long d''arriver aux propositions dont il ft^agit, par la discussion des valeurs générales des inconnues. Nous examinerons seulement le cas où les trois tenues connus sont nuls à4arfois. Dans ce cas, les trois numérateurs seront évidemment nuls; donc^ si le dénominateur commun n^e&t pas nul, on aura x=:o,^ = o et z=:o. Mais si le dénominateur commun est nul, les inconnues deviendront S- et seront indéterminées.
C^est ce qu^on peut voir d^ailleurs , car les équations proposées étant alors
ax '\- by -^ cz r=z o \ l ox' -|- by^ =: — ^ c *
a'x + 5(y- 4- c'z =r o ( d'où I a'x' -f A'y = — <^' a"x 4- ^';r -I- e", = o ) ( a»x* -f- Vy ^ — c"^
en posant x =r x'z et y z=iyfz» Les deux premières donnent
g j hé — c&' , ____ ea^ — ^ aé
et 0 faut <{ue ces vadenrs satis&asent à la troisième équation (1 1 4) î ce qui arrive, puisqu''elles b réduisent au dénominateur commun égalé à séro, lequel est efièctivement nul, par hypothèse. Donc dans ce cas, les trois équations se réduisent aux deux premières , lesquelles ne peuvent déterminer que les rapports a^ t\.y des deux premières inconnues x etjr à la troisième a. Ces trois inconnues sont donc réellement indéterminées.
Des inégalités:
175. Lorsqu^on n^a égard qu^aux valeurs absolues des quantités , on peut traiter les inégalités diaprés les principes établis pour les équations ; car en effectuant les mêmes opérations sur deux quantité inégales ^ le plus grand résultat doit corresponr dre à la plus grande quantité. Mais si Ton a égard aux signes des quantités , ce principe présente des exceptions, que nous ferons connaître après avoir établi deux propositions, dont on fait un grand usage en algèbre. '
