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^^ — Pi(p^+py--Pi9+P^^o, ... (i); ^ et les quatre équations p.'Dposéet devleonent

p,S^z=za^ p,S^=zh^ ;?,S^=c, pfi^=id.

Substituant les valeurs de S,, S,, S«^ S^, tirées de ces équations, dans les relations du n" 169, et observant qac^^^zo^ on aura quatre équations qui feront connaître p^^ p^^ p^^ p^. Substituant les valeurs résultantes dans Péquation ( 1 ) , les racines de cette équation seront les valeurs de u , x, jr^ ^.

171. Connaissant les sommes des puissances semblables de n nombres' quelconques ^ trouver la somme ç des puissances vT** de toutes les sommes partielles qu^on obtient en ajoutant ces n nohtbres m à m, un même nombre n'entrant qu une fois dans une même somme partielle^ et la puissance u*^* d*une même somme partielle n'entrant qu'une /ois non plus dans f .

Il me semblait, en me donnant ce problème, quW devait aisément en trouver la solution diaprés la théorie des combinaisons et les relations du n** 167. Mais tous mes efforts n^oot abouti qu'à le résoudre poiu- ii = i, iirza et 11 = 3.

Soient S,, S,, S3, S^, etc., les sommes des puissances i'*, a% 3*, 4*1 ^^^' ^^^ ^ non^bres proposés \ soit A le nombre de tontes les sommes partielles différentes de ra — 1 nombres pns m — i à m — i , B celui des sommes partielles de n — 3 nombres pris m — aàm — 2, etC celui des sommes partielles de n — 3 noipbres ajoutes m — 3 à m — 3 ; d'après la théorie des combinaisons, on aura

Cela posé , lorsque m = 1 , il est clair qifun même nombre a est ajouté à chacune des sommes partielles qu'on obtient en prenant m — là m — 1 les n — 1 autres nombres. Or, le nombre de ces dernières sommes partielles est A ^ donc ^ renferme A fois a : et conune ce qu'on vient de dire de a^ se dira de chacun des n nombres proposés , il s'ensuit que ç contient A fois la somme S, de tous ces nombres. On a par conséquent

f=i:AS,.

( ii3 )

Quand n = a , ^ exprime la somme des carres des sommes de n nombres simples ajoutés mkm'^ ^ ne peut donc renfermer que des termes tels que a' et ab. Or, dans toutes les sommes partielles m à m , un même nombre a est ajouté à chacune de A sommes des n — i autres nombres pris m — i à m — i . Et comme a* ne se trouve qu^une fois dans chacun des carrés des A sommes où a se trouve , il âVusuît que ç contient A fois a*. De même, ^ contient A fois b*^ A fois c*, etc.^ de sorte que ç renferme AS,.

D^un autre côté, dans les sommes partielles m à m, la somme a -{- ^ de deux nombres a et b^ est ajoutée à chacune des B sommes partielles des n — a autres nombres pris m — 2 à m— a; le carré de a ^f- /> , et par conséquent 2ab , se trouve donc pris B fois dans la somme ç des carrés des sommes partielles m km: et comme il en est de même du double de chacun des /?, produits dilTérens des n nombres proposés multipliés a à a, il en résulte que ç est encore composé de B fois a/?,. On- a donc en&a

Mais ap, == ïS* — S, et A zz B : U vient donc

Prenons maintenant ii= 3 ^ alors ç sera la somme des cubes de chacune des sommes partielles obtenues en ajoutant m à m les n nombres proposés. Ainsi ^ ne peut contenir que des termes tels que a , a^b et abc. Or, comme dans les sommes partielles m h m^ un nombre a est ajouté à chacune des A sommes partielles des n — 1 autres nombres pris m — 1 à m — 1, il s^ensuit que a entre dans A sommes mkm^ et que par suite a entre A fois dans ^ : et comme il en est. de même des cubes de chacun des n nombres proposés^ il s'*ensuit que ç contient AS^.

D^un autre côté , 3a* est multiplié par chacun des A sommes partielles qn^on obtient en ajoutant m-^i àm — 1 lesn — i antres nombres : et comme dans ces A sommes , le nombre b est ajouté avec chacune des B sommes partielles des n — a autres nombres pris m— aàm^— a^ il s^enswt que b entre dans B des sommes partielles m *— 1 à m — i qui multiplient 3a'; donc Za*b entre B fois dans ^. Ce que Ton rient de dire pour 5, se dirait pour chacun des n — i nombres différekis de a^ dimc^

( ii4 )

dans f , 3Bâ* est mnltiplié par la somme des n nombres proposés, excepté tf, c'est-à-dire par S^ — a. De sorte que ç renferme 3ha* (S, — a) ou SBa'S, — 3B^. Mais ce qup Ton vient de dire pour a^ se dira pour chacun des n nombres proposés ^ donc f contient 3BS,S, ^ — SBSj.

Enfin dans les sommes partielles m à m, a -f- 6 est ajouté k chacune des B sonmies partielles des n — a autres nombres pris m^--^ km — 2^^ ainsi dans ^^ 3 (a -f- by est multiplie par diacune des B sommes m — a à m-— a. Or, dans ces B sommes, le nombre c est ajouté avec chacune des C sommes partielles qu'on trouve en prenant m — 3àm — 31esn — 3 autres nombres ; il en résulte donc que ç contient C fois 3 (a -|- />)"c, et par conséquent C fois 6a 5c. £t comme il en sera de même de 6 fois chacun ies p^ produits dififérens des n nombres proposés multipliés 3 à 3, il s'ensuit que SÇpj se trouve dans ç.

On voit donc que ç renferme les trois quantités AS,, 3BS^S, •— 3BS3 et 6Cpy Par conséquent

Ç) 1= AS3 + 3BS,S, — 3BS3 + 6Cpy

Maïs B — ^—^C et 6/73 = 8? — 35,8,4.283(169): donc

On entrevoit bien ce qu'il faudrait faire pour m = 4 î ™aij alors les raisonnemens paraissent devoir être si longs, que noos n'entreprendrons pas de les développer.

273. La valeur qu'on vient de trouver pour ^ est en déhni dès que m = 2 ; mais il est aisé de s'assurer qu^alors

Lorsque les n nombres proposés sont les n premiers nombres •entiers, les valeurs de ^, pour m = 1, 2 et 3, deviennent respectivement

274* ^* combien de manières peut'-on faire n parts ^ a^ec m choses^ toutes différentes les unes des autres^ avec la faculté défaire des parts aussi inégales qu'on voudra / mais

SOUS la condition éCddmettte au moins une those dans chaque part^ et d'empîqjrer la totalité des choses dans chaque système de répartition ?

Voici de ce problème très>remarqaable ^ une solution analogue à celle qu^on trouve dans le tome XI de Annales de Mathématiques ; mais qui est beaucoup moins longue :

Considérons d^abord conmie systèmes difîcrens de répartitions, ceux-là même où les mêmes parts sont disposées dans un autre ordre. Soity(n, m) le nombre total de manières de faire n parts avec m choses. Il est clair que si Ton forme d^abord la première part de h choses ^ on pourra chobir celte part d^un nombre de manières représenté par

m{tn — i)(m — a)"«(m — A:-|-i) A "^ i • a • 3 ••• k

il restera à faire n — i parts avec les m — k choses restantes; et le nombre de manières difTércntcs de choisir ces n— i parts sera f(n — 1 , m — A). Or, puisque pour une paît de k choses , le nombre de manières différentes de former n — t parts des m — k choses'restantes €si/(n — i , m — ^ Ar), il sVnsuit que pour les c. parts de k choses, ce nombre de manières dlfierentcs sera

c^/(n-ri>m — A).

Prenant successivement Arz i, a, 3, 4t •••» w»— a, wi— i,' on aura successivement les nombres de manières différentes de faire n parts avec m choses, lorsque la première part est formée de 1, ^1 3, 4i •^^^^m — 2, m — 1 de ces choses \ la somme de tous ces nombres de manières difTércntcs sera par conséquent le nombre /(n, m) de toutes ks rq)artition9 possibles de m choses en n parts ; ainsi on aura

/•/ > J mr(«— I , nt-i ) + c^(/t— 1 , m— a) + e^/in-^i , m— 3)

LorsquMl^ a deux parts, ou que n = i, chaque fonction du second membre de (A), exprime qu^il faut former une part avec un certain nombre de cl^oses ; ce qui n^est possible que d^une seule manière, en prenant toutes ces choses ^ ainsi chaque fonction du second membre vaut 1, et il 'vient

Or, diaprés la formule du binôme , cette valeur se rédut k

/(a,iji) = (i + i)"-^a, ouà/(3,m) = a"»--a.

S^il y a 3 parts, ou si n = 3, la formule quW vient de trouver donnera les valeurs des fonctions dans le second membre de (A) \ substituant ces valeurs et réunissant les termes positifs, ainsi que les termes négatif, on aura

réduisant cette formule^ diaprés celle du binôme, il viendra

/(3,m) = (2 + ir— 2'"— i — 2[(i + ir— a], cm

Supposons qu^il y ait 4' parts , ou que n = 4 ) ^^ valeur que nous venons d^obtenir, fera cpnnaître ^celles des fonctions, dans le second membre de (A) \ substituant ces valeurs et réunissant les multiplicateurs de — 3 et + 3, il viendra

d^où Ton tire, en réduisant, d'^après la formule du binôme,

Continuant cette manière d^opércr, on vciTa que pour 5 parts, la formule précédente et la formule (A) donnent

/(5,m)=z:5'^— 5.4'^+io.3''»— io.2"»4-5.

Pour 6 parts on trouvera

En général , on voit que le nombre total de manières différentes de choisir n parts avec m clioses, esty(n, m) ou

„".„(„^\y»+îi(2=L) („,)". "("-');;-') („3r

Dans -cette formule, on regarde comme systèmes difierens de répartitions , ceux où les parts ne sont simplement que transposées. Mais le problème, au contraire, n^admet comme systèmes différens, que ceux qui ne sont pas en totalité coinposiés des

mêmes parts.. Dans ce cas, on observe que, pour n par^, un seul système pris au hasard, peut, par la simple permutation des parts dont il est formé, en fournir un nombre

lesquelles ne doivent plus compter que pour nne part unique ; d'oii il suit que le nombre de sjsltèmcs de répartitions réellement différens, s^obtient en divisant la valeur précédente dey*(rt, m) par i.2.3.4***n; ce qui résout le problème proposé.

2^5. Il est essentiel de remarquer que, comme il est impos^ sible de faire n parts eiTectives avec un nombre de choses inféri'eur à n ; et que comme, d^un autre coté, les diverses manières de faire n parts avec n choses, ne sont que les diverses manières de permuter ces choses entre elles; il sVnsuit, i**^que pour toutes les valeurs de m moindres que n, la formule (B) eit nulle ; o!* que quand m = n , la formule (6) ^e réduit à

Ces deux tliéorèmes servent à résoudre n équations du i*' degré , de même forme que celles que nous avons considérées au n° 3o.

376. Soit p un nombre premier et n un nombre entier queU conque^ non divible par pi je dû que le nombre n^* — 1 % sera divisible par p.

En cITet, soit x un nombre entier quelconque, on aura

Or, je dis que tous les termes du second membre ont leurs coefficiens divisibles par p, excepté le premier et le dernier. Car prenons lé coefficient du terme général en x"; il est néceâ^ saii:ement entier : et comme p est premier et que n-^;?, il s^easuit que le facteur p du numérateur, ne peut détruire aucun des facteurs du dénominateur; ceux-ci sont donc détnuts par les* facteurs ;? — 1, p — a, ..., p — n -»]- 1 ; et par conséquent p restera facteur du quotient. On voit donc que(i4'^y— 1— ^J^ est divisible par p, quel que soit Tentier x.

Posons maintenant i-]-x=:7t; on aura alors nF — (n — 1)^ — t

gui devra être divisible par p. Soit q„\e quotient; il viendra

Prenant successivement n= i^ i^ 3^, 4^ •••i ^i ajontant et faisant, pour abréger, A: = 9^r|-9,+93+'"- + ^/ii on trouvera nP — nzzzkp^ ou n(n^* — i)z=ihp.

On voit que p divise le produit n (nF^^ — i) ; et puisque p est supposé premier avec n , il faut que p divise l^autre facteur 7ï/^* — 1 . Ce qu'ail fallait démontrer.

277. »y/p est un nombre premier^ le produit 1 . a . 3 . . . (p— 1 ), . augmenté de Vunité^ sera divisible par-p; et réciproquement^ tout nombre qui satisfera à cette condition , sera premier.

En effet, on a vu (2^5) que quand m = n, |a formule (B) se réduit à i.a.3...n=:n'» — (n— î)'* + c,(n — a)**— Cj(n— 3)*

Soit n=p — 1, ovLp'=.n'\- \\ n sera un nombre pair,- et il est clair que p ne divise ni n , ni les nombres au-dessous de n \ p doit donc diviser n^'— 1 (276). Soit q^ le quotient \ on aura

nA^» — 1 = pq^ ; d'où nf^' = i +pqn.

Prenant successivement n=i,2,3,4i"*i'<i remplaçant Texposant p — 1 par sa valeur n ; puis substituant dans la formule (i) et désignant par k Pensemble des multiplicateurs de^, il viendra