p — i) = A:yE>+ 1 — n + c, — c^-^ '±,c^^n

Ce qui suit Ar/?, dans le second membre, vaut (1 — 1)'* — i ou — 1 ^ on a donc i.2.3...(/? — \)-=.hp — i; d'où

i.2.3...(/; — i)-\' \-=zhp»

Ce qui démontre le théorème proposé.

Réciproquement^ il n^ a qu'un nombre premier p qui puisse diviser i.2.3...(/9 — i)+i- Car si p était composé de deux facteurs inégaux, ils seraient compris tous Içs deux dans la suite 1,2,3,..., P""* ^ ^' P2^r conséquent le produit 1 . 2 • 3 . . . (p-— 1 ) serait divisible par p^ eipne diviserait pas ce produit augmenté de 1 : si /? était le produit de deux facteurs égaux à a, on aurait a <î(/?— 1); donc la suite 1, 2, 3, ... (p— 1), renfermerait a et 2a , et le produit serait encore divisible par a* ou par p.

( "9 ) Donc enfin, la quantité i .a. 3 ... (jp — 1)+ i n^eft divis3>le par p que quand p est premier.

11 résulte de là que pour s^assurer si un nombre p est premier, il sufGra de voir si le produit des nombres naturels au-dessous de /7, plus Tunité , donne ime somme divisible par p. Mais quand';? a une valeur un peu élevée, ce -produit devient si grand , que ce moyen de vérification est réellement impratica* ble , et bien moins prompt que ]^essai par la division , même malgré les abréviations dont il est susceptible.

^78. Tout nombre de la forme ( 1 -f- jLay ' *^-— 1 est tou" jours divisible par a'*"**'.

On peut voir la démonstratidn de ceUe proposition , dans le tome IX ^es Annales de Mathématiques. On trouve aussi, dans la théorie des nombres de M. Legendre, plusieurs beaux théorèmes sur les nombres, dont nous citerons ceux que voici :

Un nombre quelconque est toujours un carré, on la somme de deux carrés, ou celle de trois, ou enfin celle de quatre au plus.

Tout nombre premier de la forme 4'>-{'i ^t la somme de deux carrés.

Tout nombre premier de la forme 8/t-f-3 est la sonmie de trois carrés, dont deux sont égaux.

Tout nombre impair, non comprb dans 8/1-}- 7, est la somme dte trois carrés.

Tout nombre double dW>impair est la somme de trois carr^, au plus.

Tout nombre est ou triangulaire, ou composé de deux ou trois nombres triangulaires.

Elimination entre deux équations de degrés quelconques, à deux inconnues.