Soient les deux équations, ordonnées par rapport â x

a^ ^ pa^' + qaT-^ -\ [-f = a,

dans lesquelles les coefllcicns p^.q^ r, ..., t^p\ q\ r', ..,, f', sont fonctions de la seconde inconnue jr et de. nombres donnés.

Supposons qpe jr ayant une valeur convenable , les deux équations précédentes soient satisfaites par xziz §i\ alors elles seront divisibles par x — «, et on aura

( ItO )

af' + pix^^^ |-£'==(x— «)(jc«-« + a'*«-»H \'hl), ] vO

a^ b^ c^ ..., A, a\ b'^ d^ ..., h\ sont des indéterminées^ aa nombre de m *— « i dans la première identité et de it •— i dans la seconde. Eliminant x — «, il viendra

Effectuant les multiplications, transposant et réunissant les multiplicateurs d'aune même puissance de x^ on aura une identité V=:o, du m+n — aième degré en x, composée par conséquent de TO + 71 — I termes et ayant tti + n — i coeffidens fonctions de /?, 7, r, ..., f, p', 9', H, ...,£', et des indéterminées a^ b^ c^ ..., hy a\ b\ c', •••, ^'1 ^^^^ ^^ nombre est ' 7n + n — 2.

Cela posé*, puisque les identités n^ont pas été détruites, les valeurs de ;r dans la dernière Y = o , sont les mêmes que dans les proposées (1). Mais dans les identités (1), a: peut avoir telle valeur qu^on voudra^ donc, dans V = o, x peut aussi avoir telle valeur qu'ion voudra \ ce qui exige que tous les cocfBciens de X, dans y==o, soient nuls séparément. Ainsi, en les égalant chacun à zéro < on aura m + /i — 1 équations , évidemment du premier degré entre les indéterminées introduites : le nombre de celles-ci est m -f- n — 2 ; il ne faudra donc que m'\' n^-^2 équations pour les déterminer toutes ; conscquemment, il y aura une équation qui ne sera pas employée, et dans laquelle substituant, pour les indétenninées qui s^y trouvent, leurs valeurs obtenues en fonctions des coefBcicns des équations proposées, on aura une équation ne contenant que j^ et des nombres donnés; ce sera donc Féquation finale cherchée.

Quant aux valeurs de x, elles seront données par x — «ir=ro, lorsqu^on aura déterminé x — a. Or, en divisant le premier membre de la première identité (1), par le multiplicateur de X — «, dans cçtte identité, le quotient x + /? — a est la valeur de X — «; de sorte que les valeurs de x seront données par x+p — tf = o, et seront

x^a^-'P : Elles seraient aussi a: == a' — p'.

a8o. Si ces équations fournissent x = ^, cela annoncera que plusieurs des valeurs de x répondent à la valeur de^ qu^on aura

employée , et ces valeurs seront données par un commun diviseur d^un degré supérieur an premier, lequel se trouvera par la méthode connue , après avoir substitué la valeur de j* dans les équations proposées.

281. Lorsque j^= /S donne x=|, les deux termes de x ont le facteur commun jr — /8. Si donc on avait supprimé d^abord ce facteur commun, dans la vue de simplifier Pexprcssfon générale de x, la valeur j^= /S n'*aurait pas donné x z=f , et rien' n^aurait indiqué que plusieurs valeurs de x répondent \iy=zfi. On serait alors parvenu à une valeur de x qui , avec y=. fi^ n^aurait pas satisfait aux équations proposées , comme cela doit arrivcf ; car puisque plusieurs valeurs de x répondent à j"=/8, il n^ a pas de raison pour que Texpression simplifiée de x^ donne Pune de ces valeurs plutôt que les autres ; elle doit donc les donner toutes ; ce qui est impossible , puisque celte expression est du premier, degré en x. On voit par là que si les deux 'termes de V expression générale de x ont un facteur commun fonction de y, on doit ne pas supprimer ce-facteur commun.

282. La méthode d^élimination que nous venons de faire connaître , est due à Euler : si on TappUque aux équations

ar^ + Z^x'+^x + rzzo et j:'-|-^'x+ç*=z:o ...(a)

on aura d^abord les deux identités

3^ -J- P^ -^qx + rznÇx — «) (x* + ^^^ + *)i

a^ + tPx + ci^z=i{x — «)(x + flOî

d^où éliminant x — « et passant les termes dans le 1*' membre, il viendra , en ordonnant par rapport à x^

{p + û' — p^ — a) x' + {pa! -f- <7 — ^P^ — (f) ^*+ {qa' + r — 9'a — p'6) x + (ra' — q^V) = o.

Si donc on pose, pour abréger, p-^p^zzie et f — -f'sie'iX on aura les équations

a^^cSzne

p^a — pa^ + fr = c' if a — qJ^p^h-zur ffh — ra' = o.

Prenant la valeur de a dans la première^ et substituant dans les deux équations suivantes , puis la valeur de h dans la première équation résultante, et substituant dans la seconde, ainsi

que dans (fh — ra!z=io^ rëliminadon de a! entre lei deux /□Louvelles équations , donnera Péquation finale

qui revient à

(e^ — rpf) (e'—ep') + (r— eqj = o ... (3).

Substituant les valeurs de a et a' dans xz=a-^p Hxzizaf — /?', on trouvera

L^équation (3) faisant connaître les valeurs de jr^ Tune des formules (4) déterminera les valeurs correspondantes de x.

a83. Par exemple , prenons les deux équations

X — Zax* + 2a*x — 6ajr^ z=z o X* — naj- =1 o.

Ces équations se résolvent aisément par substitution ; maà sî on les compare aux équations (2), on verra que

pz=: — 3a, qznia^ r = — 6ay, p' = o^ 9'=— mj-, e = — 3a et c'^: aa^+a^T-,

Substituant ces valeurs dans Péquation (3) et dans la première formule (4)i on trouvera, en décomposant en facteurs,

4«>('»+r)'(9J-»«) = o et x = ^g^.

La première de ces équations donne

^r=:gû, j- = — a et j' = o\ la seconde devient alors

xzr^a, xz=| et x = j.

Puisque ^ = — a donne xzn J, il y a plusieurs valeurs de X qui répondent à la valeur — a de jr (280). Faisant donc j* iz: — a dans les équations proposées, puis cherchant le plus grand commun diviseur entre les polynômes résultans x — 3flx*+2a*x — 6a et x*-f-2fl', on verra que ce plus grand commun diviseur est x' + 2a', et qu^ainsi les deux équations proposées sont satisfaites par j^iz: — a et x'+2a' = o, c'est-àdire par les deux couples de valeurs ^=z — a^ ^"zzay — a el j" = — fl, xzz. — a y — 2. Si on avait supprime le facteur

a -^jr ooipmun aax deux termes de x , rien o^aurait indiqué Texistence de ces deiux couples de valeurs.

La valeur j'zzo donnant aussi j:=| , il semblerait que plusieurs valeurs de x correspondent à la valeur o àejr\ mais cela n^est pas , car après avoir fait ^ == o dans les deux équations proposées, on trouve que le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes résultans est x, et que par conséquent j*=o ne donne que la seule valeur ar= o.

Cela vient de ce qu^au fond x n'est pas f , lorsque ^=r o ; car si Ton substituait les valeurs de e, e', p\ q\ r dans la a™*

formule r4) i elle deviendrait x =: -~;^ ~ , formule qui se

réduit à j: = o, quand jr:=.o.

Si Ton avait supprimé les facteurs communs, on aurait en ou X znZjr OM X '=i\a pour toutes les valeurs de^; ce qui est absiurde , comme on vient de le voir , et comme on Ta. d'ailleurs démontré (381).

264* Considérons actuellement les deux équations générales du second degré

j:*+fix + 9 = o et x*+p'x + 9'i=:o, ... (5)

Pour avoir les formules qui résolvent ces équations , il suffit de faire r= o dans les équations (3) et (4) : on trouvera alors

«'' + c(p</'— W') = «>i ^ = — 7 et xzz^^;^... (6)

La première de ces formules est PéqualîcAi finale en jr ; elle

, fera donc connaître les valeurs de cette inconnue ; et chacune

des 2 autres équations donnera les valeurs correspondantes de x.

a85. Par exemple, qu'on ait les deux équations

Dans ce cas, p=: — 4-^^(27-— 3), qz=: — ^x,p^ = —

(V-3), <f-^Sr, e = 4.'(2r-3)(a-j) et 6' = ^

(4 — y*)' Substituant ces valeurs dans les deux premières formules (6), on trouvera aisément

^(«-ry(^+3) = o et x = -^5=^^>.

La première de ces équaiàco» donne

la seconde fournit, en rendant rationnels les dénominateurs,

x = o,x=:j,x~ — 3etx== — 3,

On voit qu^'l y a plusieurs valeurs de x qui répondent a j^=: 2.. Or, cette valeur a dc^ réduisant chacune des équations proposées à x^-f"-^ — i2=:o, (d^où xzzzi et x=z — 3), il y* a deux valeurs de x qui correspondent à^ = a.

Les deux équations proppsées pourraient aussi se résoudre par substitution (6o).