Prenons encore les deux équations du troisième degré

j:' + ^j:'+9x + r=o et x' + A^'-^* + <?'^ + '^ =®- Si on applique la méthode d^Euler, et que pour abréger, on

fasse toujours p — 7?' = e , q — q'^ie^ et t'^^r' =c'', on aura

d^abord les cinq équations

a — flj = e

p'a—'pa'+b — bfzne' q'a — qa' + p'b — pb' == c" r'a — ra' -\- q'b '■^ qVzno i'[b <— rb* =: o.

Prenant les valeurs de af et V dans la première et la dernière de ces équations , puis substituant dans les trois autres *, substituant aussi dans la troisième des équations résultantes, les valeurs de a et & tirées des deux autres , et réduisant , il viendra , pour déterminer^, Féquation

Quant aux valeurs de x, on les aura par la formule

^— eleff — e {rpf -^ prf) '" ^^J'

Lorsqu^on fait r'rz o dans les formules (7) et (8), on retrouve la formule (3) et la seconde formule (4)«

287. Pour appliquer les formules (7) et (8), soient les deux équations

X 2J'X* -^ /^X '\' Sj' ziz o

x^ + Tjrx^'-^jrx — 7j* =: o. '

n est clair quMcî p = — aj-, ^ = — 4i '' = 8^1 p' = V»

+ 8j-, e'—ep=jr — i — 6j'\e"—eq = ijr*—8jr^ f^r-pr* =z \6jr* — 47* 1 9'^* — qr'zzi — 16;^*. Substituant ces valeurs dans (7), et réduisant, on trouvera

i6r*(4/— 33/4-68/ +»7r»-7ar+ 16) = 0.

Les mêmes valeurs substituées dans (8) fournissent

ifyî — 2r4 — Î2j'

L^équation finale en jr étant résolue , donnera

^ = 0, j- = o, ^=1,^ = — 1, ^ = J et^ = 4;

les valeurs correspondantes de x seront :

2, XZZ2, X

4 et

Il n^y a pas plusieurs valeurs de x qui répondent à chacune des valeurs o de^; car lorsque ^ nz o , le plus grand commun diviseur des premiers membres des équations proposées est x, et par conséquent on a seulement j: =z o, quand jrzizo. A Pégard de ^r = 4 1 comme alors le plus grand commun diviseur est x' — 4 1 il y a deux valeurs de x qui répondent à la valeur 4 de jr. De sorte que les équations proposées admettent les 7 solutions que voici :

En résolvant les équations proposées par substitution , Péquation finale en x serait du septième degré. Mais on parvient à résoudre trcs-facilement les mêmes équations , en dierchant à les décomposer en facteurs \ car on trouve sans peine qu^elles se réduisent à celles-ci :

{x—2jr)(x* 4) = «> et (x*—y)(x+2jr)z=:0.

Si donc on combine chacun des facteurs de la 1'', égalés à xéro, avec chacun des facteurs de la seconde, égalés aussi à séro, on retrouvera les sept solutions précédentes»

288. De tout ce qui précède , il est aisé de conclure que les méthodes particulières d'^élimination peuvent remporter en simplicité sur les méthodes générales. Aussi ne doit-on employer ces dernières, que quand les équatiçns à résoudre nVffirent point

de simplifications dont on puisse profiter; ee que lliabitnde du calcul , éclairée par les nombreux exemples que noiis avons considérés , ' peut seule faire connaître. Il convient d^autant mieux de s^exercer à ces procédés particuliers , que la méthode TEuIer^ d^ailleurs quelquefois plus simple que celle du plus grand commun diviseur, exige déjà , pour les équations complètes du troisième degré, des calculs fort longs; et pour les degrés plus élevés , ces calculs deviennent impraticables.

Problèmes résolubles par dés séries dont les sommes

dépendent des progressions.

aSg. On forme une série avec les nombres entiers^ depuis 1 jusqu'au plus grand de m chiffres^ en écrivant chaque nom" bre autant de fois de fuite quil renferme d'unités. On de' mande la valeur de tous les nombres que donnent les termes de cette série^ en ajoutant dans chacun^ les chiffres considérés comme exprimant des unités simples (*).

Pour bien comprendre la solution de ce problème, considérons d^abord les nombres de trois chiffres, et soient a^ ^, c, les chiffres de Fun quelconque de ces nombres, lequel vaut par conséquent looa+iob + c.

Gomme ce nombre est écrit autant de fois qu'il a d'unité» pour former un terme de la série proposée , la somme des chiffres de ce terme sera a-\- b'\'C pris autant de fois que le nombre est éciit ; cette somme sera doue

( 1 ooa + 1 oi + c) (<2 + i + c), ou bien 1 ooa' -f- 1 1 oab -f- i o^' + i o i^c + 1 1 Ac + c*.

(*} Voici un problème qui a de Fanalogie a\ec celui qu^on vient de lire, mais qui est fort loin de pouvoir se résoudre de la même manière :

On forme une série avec les nombres entiers, depuis i jusqu^au plus grand de m chiffres , en écrivant chaque nombre à la suite de tons les inférieurs , place's les uns à la droite des autres. On demande la somme des nomftn-es fournis par les termes de cette se'ric , en ajoutant dans chacun , les chiâires considérés comme exprimant des unités simples.

J^ai vainement cherché la solution générale de ce problème ; et je ne le rapporte ici que parce qu'il effre de Tintérét et que probablement beaucoup de lecteurs sauront éluder ou vaincre les diflicultcs qui m'ont arrêté.

C 1*7 ) Or, li dans cette expression , Ton prend successivement c = o, 1,3, 3, 4i ••* 1 9 ^^ <pi^on ajoute entre eux les lo résultats \ que dans la somme on donne à b les valeurs successives o, i, a, 3, ..., 9, et qu^on réunisse les lo résultats entre eux ; qu^eafin, dans la dernière, somme, on prenne successivement a= i, a , 3, 4i ••• 1 9i et qu^on fasse la sonmie des 9 résultats, il est visible que cette somme sera la valeur t^ de toutes les sonunes obtenues en additionnant les chiffres, comme exprimant des mutés simples, dans chacun des termes de la série, qui sont donnés par tous les nombres depuis 100 jusqu^à 999 inclusive* ment. Si donc on pose , pour abréger

ft=:i*+2»+3'+... + 9'= 15.19,

on trouvera, en opérant comme il vient d^étre dit,

t^ zz 1 0990^ + 2209^'.

Les calculs précédens donneront successivement les valeurs

^,1 'si '31 '41 '51 ^61 ^t^* 1 ^e toutes les sommes fournies par les tf^es de la série proposée ^i sont donnés par tous les nombres de i,-2, 3, 4i 5, 6, etc. chifires : on obtiendra

t^ = io9A:*f' 11^'

'5 = »o9999o<>o* + ^i^o'jooh^

f ^ := 1 o99999ooooAi -f- 55 1 1 1 06000A* ,

etc

La loi des premiers termes de ces expressions est facile à saisir ; mais il n^en est pas de même de celle des derniers : heureusement , les valeurs précédentes en fournissent d^autres , qui conduisent aisément à la solution cherchée. En effet, soient x,, x,, X3, x^, X5, Xg, etc., les sommes des nombres fournis par les* termes de la série, depuis le premier 1 jusqu^à celui donné par le plus grand nombre de 1, 2, 3, 4 1 ^1 6, etc. chifires \ diaprés les valeurs précédentc^i, il est dair qu^on aura

X^ = 110^+ iiA* - ''

X3 = 1 1 \ook -ï|- aiao^*

JT^ = 1 1 1 loooA: + 3333ooi"

X5 1= mil ooooA + 44444^^^^*

x^zzL 1 1 1 1 1 loooooA: + 555555ooooft*

etc

Xa loi de ces valeurs est évidente ; et si Ton désigne par i (m) fois le nombre composé de m chifires 1, on aura, diaprés rinduction,

x^=i {m)fois X io'^*Ar+(m— i)X 1 (m)/ow X 1 o'"—A*,

Mais i(m)fois=:i+io+io'H l-io/"-'=^(io'"— 1).

Substituant cette valeur, ainsi que celles de ^ et X: , on tnmvera , réductions faites,

2^90. Les nombres étant écrits avec u chiffres désignés ^ on demande^ 1" Ze nombre p^ de tous les nombres de m de ces u chiffres ; a** la somme x^ de tous les nombres de m chijp*es; 3" la somme y,^ de tous les nombres^ depi^is le plus petit de 1 chiffre jusqu au plus grand de m chiffres.

1^ Si à la droite de chacun des p^ nombres de v chifires, on écrit successivement chacun des u chiffres, on aura up^ nombres de v-\- 1 chiffres ; et ce sera tous ceux que Ton peut former avec les u cliiffres donnes \ car chaque nouveau nombre de 2/ -]- i chiffres , que Ton Voudrait écrire avec les u chiffres proposés , serait nécessairement un nombre de v chiffres, suivi de Tun des u chiffres ; il serait par conséquent Tun des nombres Aev^x chiffres, déjà formés. Ainsi on a, pour le nombre ^^+1 ^® *•****• les nombres de v + 1 chiffres ,

Prenant successivement f^^m, 2, 3*, 4i •••1 ^ — 1« puis mnltipliant entre elles les m — 1 équations résultantes, on aura, réductions faites , „ „ .jn-\

Pm — r>"

2* La sonmie de tous les nombres de v chifires étànl- dMgnée par x^ , soit A un de ces nombres de v chiftres : en écrivant à

la droite de h le chiiTre 1 ^ par exemple , le nombre de v--^ i chifires qui en proviendra, vaudra loft + 2. De sorte que si à la droite de chacun des Z?,'*^^* nombres de v chiffres (1"), on écrit le chiflrc 1 , la somme des nombres resultans de v -}" * cliiffres, aura pour valeur lox^ + ^.p^u'''''

On aurait une expression semblable pour chacun des u ohif* fires proposés ; si donc on désigne par a la somme de ces u chif- , fres, il viendrîf , pour la somme J^^,^ de tous les nombres de . î; 4" 1 ^es mêmes chiffres ,

Préparant cette équation poar la résoudre par addition , elle deviendra

Viou/ ^+» \iou/ ^ loa*

Faisant successivement t;=r 1, 2, 3, 4i •••<) ''^ — M ajoutant entre elles les équations résultantes , "réduisant et observant que j:, = /7 , on aura

Y— 'i'^^m— — = ^(ïo-+io^+io-5+... + io-'"+0î d'où x„ = J[(9u+r,)(.o«)'»--p.«'»-].

3* Prenant dans cette formule, successivement m= 1, 2, 3, 4, ..., m^ ajoutant et faisant la somme des nombres en progression géométrique , on trouvera , pour la somme j"^ de tous les nombres entiers depuis o jusqu^au plus grand de m chiffres , écrits avec les u chiffres^ proposé? ,

Les valeurs générales de /7,^, x^ et jr^ fomniront aisément celles qui répondent aux cas 011 Ton prend les dix cliifires ordinaires, les 9 cliiffres significatifs, les 5 chiffres impaii-s, les 4 chiffres pairs ^ les 3 chiffres 2^ 4i ^ 9 c^^* ^^^ exemple, pour Icb dix diitfres ordinaires, m= 10, ^^ = 9, a=45 i d'où résultent '

x^ = 45.io'»-(ii.io'»--i) et^-^=^(io'»— i).

291. Considérant les nombres écrits avec u des chiffres > ordinaires ; soit pris un de ces nombres de m chiffres^ et soit

posée, une addition^ en écrivant les uns sous les autres et en avançant chaque /bis d*un rang vers la droite^ fc i" chiffre à gauche du nombre de m chiffres^ la somme des deux premiers^ celles des 3, dés 4> •••i des m — i premiers^ y fois successives la somme des tn chiffres^ puis la somme des m — i derniers^ Celles des m — 2 , ... , des 3, des 2 derniers et le dernier lui" même. La somme de tous les nombres ainsi disposes sera divisible par le nombre propose^ et donnera un quotient de m + V — 1 chiffres 1 • Ajrantjbrmé avec chacun des nombres de m chiffres^ les n-^i sommes qui répondent successivement ûîv = o^i, 2, 3, 4i •••'»n, on demande^ 1" la valeur P de toutes les sommes fourmes de cette manière par tous les nom» hres de m des u chiffres désignés^ 2* la valeur Q de toutes les . sommes que Von peut ainsi produire avec tous les nombres entiers , depuis le plu^ petit d'un chiffre jusqu'au plus grand de m^des chiffres proposés; 3° le nombre R d'additions à faire et le nombre S de tous les nombres à écrire pour avoir toutes les sommes qui entrent dans la valeur rfe Q.

1° Sbîent conservées les dénominations du problème du précédent n"*, et soient A, B, C, D^, E, etc. , les nombres de m chiflres, écrits avec les u chiffres désignés ; on aura évidemment

x^mA + B + C + D-f-E-^

Représentons par 1 {v^fois^ le nombre composé de v chiffres 1 , de manière, par exemple, que 1111 = 1 {^^fois \ d'happés renoncé précédent, le nombre A de m chiffres, donne n + 1 sommes toutes divisibles par A , et dont les quotiens respectifs sont :

1 (m — i)/ôiV, 1 (m) fois ^ 1 {m-\'i)fois^ ...^, i(m-|-n — i)fois\

de sorte que la valeur de toutes les sommes fournies par A , est

A [1 (m — i)fois + 1 (m) fois + » ('?» + i)fois -}--..

+ 1 (m -|- n — i)ybiV].

Pour avoir la valeur du multiplicateur de A, on observe que

1 (7;)/o/5=: 1 + 10+ 10'+ 10'+ ... + io^-» = â-(ioV i).

Prenant successivement v=zm — 1, m, m+i, m+îi^ •••> m-{- n — 1 , et ajoutant, la somime sera le multiplicateur m de A; on aura donc , réductions faites,

Cela posé , puisque la valeur de toutes les sommes fournies par A , est Aa^ ; de même , les valeurs des sommes foumies respectivement par A, B, C>D, ..., sont B^r, C«, D«, etc. On a par conséquent

P=:*(A + B + C + D + ...), ou V = 0X^, la valeur de x^ étant celle du numéro précédent.

3"* Faisant successivement m==i,2,3,4i***i'''i ^^^^ 1^ valeur de P; ajoutant et opérant comme au n" 290, 3°, on verra que la valeur Q de toutes les sommes foumies par tous les nombres entiers, depuis le plus petit dW diifire jusqu^au plus grand de m des u chillres, se réduit à

J'm ^7^^^ ^^ valeur calculée au n° 290.

3** Il est clair que chaque nombre d^un chiffre fournit n — 1 additions, et qif ainsi les p^ nombres dW cliiffre fournissent/? (n— i) additions. Quant à ceux de plusieurs chiffres, comme chaque nombre de m diiffres fournit n -{- 1 additions, les PjU"^* en fourniront (n + 1) /^^u"*"*. Prenant successivement m = 2, 3, 4i 5, ..., m, et ajoutant avec p^ (n — 1), on aura

d'où R=;j,(n— i) + (n+i);?,— ^.

D'un autre côté, il est aisé de voir que pour obtenir les sommes foumies par chaque nombre d'un chiffre, il faut écrire

1 +3 + 4 + 5 + «-+(n+i)i ou-;w(n-(-3) — i nombres;

donc, pour avoir toutes les sommes foumies par tous les nombres d'un cliiffre, il faudra écrire ip^n (n + 3) — p^ nombres.

A l'égard des nombres de m chiffres, il est clair que pour faire l'addition où la somme des m diiffres est placée v fois , il faut écrire

m — i+v + m — i + ii ou 2111 — i^-*' nombres.

Prenant successivement t; = o, 1, 2, 3, ..., n, et ajoutant, on verra que pour former toutes les sonunes fournies par ua nombre de m chiffres, il faut écrire (2111 — 1)(«+ 0+î''(''+ 1)» ou 2(n -{- 1 ) m — i (n -J- 1 ) (n— 2) nombres ; donc, pour former toutes les sonunes fournies par tous les nombres de m chiffirct , il faudra écrire

3^, (n + 1) m/*'^* •-- K« + 0 ('»— 2)/»,'*'^' nombres.

Posant successivement m=r2^ 3, 4i ^i "m ''^^ ^^ ajoutant avec î^Pjfi(/i + 3) — p,, il viendra

i2p („ + ,) [2a + 3m' + 4w*H h muT'-'']

d^où Ton tire aisément

agi. ro£i5 fe5 nombres entiers consécutifs , exprimés avec les 1 o chiffres ordinaires , eV^/ir ^m/5 fc^ mwx à la suite des autres^ de cette manière :

1234567891011 I2i3i4i5i6i7 18 1920 21 22 23 24 etc.;

on demande d'assigner le chiffre z qui occupe le rang R dans la suite résultante , sans être obligé d'écrire ceux qui le pré' cèdent,

Puîsqii^il y a 9. lo^""' nombres de v chiffres (290), il est clair que poui' écrire tous ces nombres, il faudra qv, 10^"** chiffres. Prenant successivement v=.iy 2, 3, 4i ••••» ^-i et ajoutant, la somme sera le nombre t cTe cliiflrcs qu'il faut pour écrire la suite^ des nombres entiers, depuis 1 jusqu^au plus grand de m chifires; il viendra donc, après les réductions faites,

De là , si Ton fait m = i, 2, 3, 4i 5, 6, 7, 8, etc., on aiira

/ z= 9 , 1 89 , 2889 , 38889 , 488889 , 5888889 , etc.

Par ces valeurs on voit que pour écrire , par exemple ^ tous les nombres entiers, depuis 1 jusqu'au plus grand de 5 chiures, il faut employer 488889 chiiï'res.

Il est maintenant facile de résoudre le problème proposé; car si le rang R du chiffre cherché z est , par exemple, 5o64o ; alors , comme pour écrire tous les nombres de 4 ou 5 chiffres , il faut 38889 o^'48^^ cliiffies, on voit que le chiffre demande x appartient à un nombre de 5 diiffres. £t puisque 5o64o —

38889 = 11751, il est clair que z est le 11751"* dans les nombres de 5 chiffres, Or, 11751 chiffres contiennent 5 chiflres, 235o fois , avec le reste i ; ce qui fait voir que js est le premier à gauche du 235 1"* nombre de 5 chiffres. Mais les nombres de 5 chiffres forment la progression arithmétique 10000^ loooi, 10002, loooS, ..., dont le 235i"* terme est 10000 -f- 235o ou i235o. Ainsi le 235 1"* nombre de 5 chiffres est i235o, et par conséquent ^ r= 1 .

Il résulte de ces calculs, que pour av^ir le chiffre z qui occupe le rang R dans la suite proposée , il faut recourir aux valeurs successives du nombre t de chiflres employés pour écrire tous les nombres entiers, depuis 1 jusqu^au plus grand de m chiflres inclusivement ; prendre la valeur /' de / , immédiatement infcrieure à. H, ainsi que la valeur m' de m, qui correspond à t'^ retrancher i' de R ,, et diviser la différence par m' -J- i , ce qui donnera un quotient q et un reste H ; ajouter q à 1 suwî de m' ' zéros ^ et le r'ièmc cliiffre à gauche de la sommç résultante^ sera le chiffre demandé z. Si r^ était nul, le pi mier chiffre de la somme q — 1 + > 5«iVt de m' ze'ros^ serait le chiffre z.

Pe cette manière, si R=:6i92, on aura ^=12 ; si R=:3i57, il vieiidra Z'=z&\ et si Rm 59439, on trouvera zz=q.

293. Trouver le nombre x de chiffres 'qu^ il faut pour écrire la série formée ,en plaçant les uns à la droite des autres le premier nombre entier^ les 2 premiers , les 3 premiers , les 4 premiers^ ..., ef enfin , tous les nombres entiers^ jusqu'au plus grand de m chiffres.

Soient /^ et t^,^ les nombres de diiffics qu'il faut pour 'écrire les deux termes de la série, qui sont terminés par les plus grands nombres de «; et de v + 1 cliiffrcs ; il est aisé de voir que le nombre total de chiffres employés à écrire les termes terminés par les 9.10^ nombres de v + 1 diiffres, est

OU bien encore , en réduisant ,