KH.KJ ., B« KH.KI
KR.KN ' A*'~KR.KN
Il est clair que B est connu , puisque les droites KH, RI JSA^ RN, sont déterminées par les dimensions du cône et la position du plan coupant , qui sont données. Ainsi Téquation de Tintersection devient ^y% i g»^» -- )^»b' •
cette courbe est donc une ellipse , dont 2A et aB sont les axes , O le centre , et R et N les sommets ( 56 ).
S8. Voyons maintenant comment Téquation de Pellipse conduit aux diverses propriétés de cette courbe. D^abord il est facile de voir que la double ordonnée qui passe par un foyer, vaut
- — • On la nonoune faranùire : c^est une troisième proportion-
mm
nelle aux deux axes.
Ensuite, soient (x,^) eiÇ^x'^jr') deux points quelconques de Tellipse ; on aura
d'où l'on tire^ jy» ; j ( A — x) (A + x) : (A— x* ) ( A+x') ; c^est-à-dîrc , que dans l'ellipse , les carrés des ordonDées sont
entre eux coimne les produits des distances des pieds de ces ordonnées aux extrémités du grand axe.
59. Toute draiie MON menée par ï origine O et terminée de part et Vautre à Vellipee, e$t âivieée en deux partim égales par cette origine ( fig. 9). En effet , les équations de TelUpse et de la droite MON , éunc
A V + B V = A'B* et j- = flx 5
pour les points où ces deux lignes se coupent , leurs équations ^ont satisfaites par les mêmes valeurs de x et les mêmes valeurs * de j*. Si donc on élimine jr entre ces équations , on trouvera pour X deux valeurs égales et de signes contraires \ de sorte que Tune étant OP, Tautre sera OP' \ et les deux triangles rectangles OMP et ONP' seront égaux : donc OM =: ON.
Les droites terminées à Pellipse et menées par Porigine, étant divisées chacune en deux parties égales par cette origine , sont appelées diamhtres de Pellipse (ce qui a fait donner à Porigine le nom de centre de la courbe ).
Il est bien aisé de prouver qu^une droite j- = or -{- ^ ne peut jamais couper Pellipse en plus de deux points.
60. JLet deux axée de Vellipee eant Vun le plue grand et Vautre le plue petit de toue ses diamètres. Car en désignant par d le demidiamètre OM, on aura t^znx* -f-^'* Substituant dans cette équation la valeur de j^', tirée de Péquatîon de Pellipse , il viendra
Comme A^B , il est clair, par cette égalité, que la plus grande et la plus petite valeur de d^ répondent à la plus grande et à la plus petite valeur de a:, c^est-à-dire àj:=:Aetx=:o; la plus grande et la plus petite valeur de dsont donc en effet, J = A elrf=B.
Il suit de là que si du centre de Pellipse et avec des rayons égaux à ses demi-axes, on décrit deux circonférences de cercle, Pellipse comprendra la plus petite et sera comprise dans la plus grande.
61 . Suivant qu^un point est situé sur V ellipse, au- dehors ou au'dedans, le trinôme A*y' -|- BV — A'B' est nul, poei^fou négatif. En effet, on sait déjà que pour tout point sur Pellipse, ce trinôme est nul. Mais Pabscisse x restant la même, si le point
(^1 x) C au-dehon ou au-dedans de Pellipse, Pordonnée j^ sera plus grande ou plus petite que sur Pellipse \ le trinôme sera donc plus grand ou plus petit que zéro \ il sera par conséquent positif ou négatif. La réciproque est vraie.
6a. Longue deux droiteê j = ax -f- b «^ y =^ a'x + b', mê-
nêeê des extrémiUt du grand axe, ee coupent sur VelUpee, on a
ioujourê AW-f-B* = o. D^abord ces droites passant par les
points (A, o)et(— A, o), leurs équations deviennent respec*
•livement ^ = û(x — A),
LVquation de Tellipse est d^ailleurs
Ay + BV=A'B\
Puisque les deux premières lignes se coupent sur la troisième,
il sVnsuit que ^ a les mêmes valeurs dans les trois équations
' précédentes, ainsi que x. Si donc on prend ces valeurs de^ et
de X dans les deux premières équations , et qu^on les substitue
dans la troisième , celle-ci sera satisfaite et deviendra
aa'(A'aa' + B') = o.
Cette équation fournit d^abord aa' = o , qui n^apprend rien \ elle donne ensuite A'^aa' -f- B*=: o. Ce qu^il fallait démontrer.
On aurait encore la même relation si les droites qui se coupent sur TelUpse, partaient des extrémités du petit axe.
Il est facile de voir que réciproquement, si deux droites ^=: ax-^-h et j^=a'j:-f- ^1 partant des extrémités de Pun des axes, ont leurs a et a' tels, quî^on ait A'aa'-f-B*=o, ces deux droite» se couperont sur Pellipse.
63. On appelle cordée euppUmentairei d^une elb'pse, les droites qui , partant des extrémités d^un même diamètre, se coupent sur la courbe.
Soit V Pangle compris par deux cordes supplémentaires menées des extrémités du grand axe, du côté des j^ positifs, et i/ Pangle des cordes supplémentaires tirées des extrémités du petit axe, du c&té des x positifs; on aura donc à la fois, pour les deux premières cordes,
^=a(x — A),^ = o'(ar + A) et tangt;=^^.
Substituant dans la dernière équation , les valeurs de • et «^^
( 36 ) lirée$ des deux autres, puis ayant égard à inéquation de rdlipse, on trouvera
^«^ = (SÏIIB^- Deméme,tang^/ = ^^j^-..
Puisque tang v est négative et tang v^ positive , Pangle v est ^/ obtus et i^aagle v' aigu. De plus, dès que ^ aura sa plus grande
^ valeur B et j: sa plus grande valeur A , Tangle v sera le plus
grand possible et Tangle v* le moindre possible. D^où il suit, 1* que f angle compris entre les cordes supplémentaires menèti* des extrémités du grand axe, est toujours obtus, et atteint son maximum, lorsque son somtnet tombe à V extrémité du petit axe ; 3° que l'angle des deux cordes supplémentaires, qui partent iet extrémités du petit axe, est toujours aigu, et parvient à son minimum, lorsque son sommet arrive à V extrémité du grand axe; 3" enfin que V angle obtus maximum et V angle aigu minimum, valent ensemble deux angles droits; car ayant alors tang i/ = — tang V, il vient v + v' = 1 8o".
64* Pour une même abscisse, les ordonnées de V ellipse et âe la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre^ sent entre elles comme le petit axe est au grand. Car soient j- et y les ordonnées de Pellipse et de la circonférence, pour une même abscisse x ; les équations de ces deux courbes seront respectivement Ay + B V = A'B" cl y^+x* = A\
On lire de ces équations
De là résulte j- : y : : B ; A ; ; 2B : aA.
65. Cette propriété donne le moyen de décrire une ellipse par points , lorsqu'^on connaît ses deux axes. On trace d^abord deux circonférences ayant ces deux axes pour diamètres: on mène ensuite , d^un point de la plus grande , une ordonnée sur le grand axe et une droite au centre ; enfin , on tire, par le point oïli cette droite coupe la petite circonférence , une parallèle à Taxe des x : celle parallèle rencontre Tordonnée précédente, en un point de Pcllipse chercliée.
66. On peut aussi tracer, d^un mouvement continu , Fellipse dont on connaît les axes. Pour cela, on prend une règle dont la ioi^eur RM= A, et sur laquelle on marque la distance MI=
( «7 ) B (fig. Il); faisant ensuite mouvoir cette règle, de manière que R soit toujours sur GG' et I toujours sur BB', Textrémité M décrira Tellipse demandée.
Gar soient x et ^ les coordonnées OP, PM du point M, et menons RQ parallèle à OB ; nous aurons
B:A:.v:MQ = Ç et MQ' + :c* = A';
d'où il vient ky + B V = A'B* :
le point M est donc en effet sur Pellipse cherchée.
Gc moyen est le plus ordinairement employé pour décrire une ellipse sur le papier ; et dans ce cas , une petite bande de papier remplace la règle.
67. Si les extrémités d'une droite donnée gui se meut y sont assujcties à rester respectivement sur deux droites perpendiculaires entre ellcs^ un point quelconque donné sur la droite mobile ^ décrira une ellipse,
Gc thcoréme, que nous laissons à démontrer, a pu suggérer la constniction suivante d^un instrument très-simple , pour décrire d''un mouvement continu, VeUipse dont les axes aA et aB sont donnes. On compose cet instrument de trois régies ( fig. la ) : la plus grande FF':z= a A -f- aB, et les deux autres OM, MC, sont égales chacune à ^( A 4* B). La régie £F a son milieu O sur le centre et son arête £'F' sur le grand axe de IV'lIipse. Une cheville ronde passe dans les trous percés au milieu, O de £F et à Textrémité O de OM. Les règles OIVT'el MG sont réunies par une articulation en M à leur extrémité commune. La régie OM est placée au-dessus des deux autres. Enfin, sur MG est un trou N qui reçoit la pointe à tracer et qui est tel qu^on ait MN:=:4(A — B)*
Rien n'*est plus facile que Fusage de cet instrument , appelé triangle variable (voyez page a6 de la Géométrie des courbes, par M. Bergery) : on fait glisser la pointe G, placée d''abord en F, le long de F'O, et pendant ce mouvement , la pointe N décrit un quart de Pellipse. Pour tracer un second quart , on fera passer MG sous OM, de manière que le point G bc meuve de O en £'. Elnfin , la grande règle étant retournée bout à bout et appliquée de nouveau sur le grand axe, on tracera de même la seconde moitié de Tellipse.
Pour démontrer que le point N du triangle variable est constamment sur Tellipse dont les axes ont fourni les dimensions de Tinstrument, désignons par X etjr les coordonnées OPet PN du point N, et menons NR parallèle à OM; à cause de OM=:MG, nous aurons RN=:NG et PR = PG. £n outre, comme GM=^(A-f-B) et GN=:B, il estdair qu^on m
j^> = B«^PG» et B:i(A + B)::aPG:*— PG.
Bx De là on déduit PG=:— et Ay -f B'«' = A»B% équation de VeV
Upse proposée; donc le point N est constamment sor cette ellipse et h décrit.
68. Cherchons actaellemcnt Téquatlon d^une tangente à Tellipse représentée par Péquation A'^' -}- B'j:' = A*B*.
Pour cela , considérons d^ahord une sécante rencontrant Tellipse aux deux points (x'^y) ei (^x'^y): Téquation de cette lécante sera donc (i4)
jr—y' — a(^x — x") et aziz^^r
Les deux points (x'^y) et (a;", y) se trouvant sur Pellipse, on doit avoir ^y> ^ b V = A'B%
Ay'* + BV=A'B*.
Retranchant la seconde de ces écjuations hors de Tautrc, il viendra a> (y> yn ) + B' (x'' — x"*) = o ;
d'où y(y+y')^E$,+v(a:'+x")=o,
et A'a(/ + /') + B'(x'+x")=:o.
Si les deux points d^intersection (x',^) et Cx"^y'^ se réunissent en un seul , la sécante n^aura que ce seul point de commun avec Tcllipse ; elle lui sera donc tangente. Alors , comme
x^ zzzx^' et y =y't on aura
B*x" 2 A'aj^' + ^^'^' = o 1 ou a=: — Trrr
Substituant cette valeur de a dans Téquation j- — y znn (x — x"^^ qui représente maintenant la tangente à Tellipse au point (^"i J"") \ chassant le dénominateur et réduisant, diaprés Ay + B'x"* = A'B', on trouvera , pour Téquation cherchée de la tangente à Tellipse en {x'\y')^
S.yy' + B'xx" = A'B*.
Il est facile de vérifier qu^en effet, la droite (D) reprcsenlce par cette équation , est tout entière hors de Teilipse. Car si on retranche le double de la même équation hors de Ay *-J-B"a;''* = A'B*, il viendra
A> (/" — î^y ) + B' ( j:"* — axx" ) =: — A*B^ ; d^où en complétant les carrés , on déduit
^* (r— /')• + B* (a: - x")* = kY + B'x'— A"B\ Cette équation représente toujours la même drpitc (D). Qr,
on voit que le trinôme A*j^' -f-B*x' — A'B* est positif pour tous les points de cette droite, excepté pour le point (x", jr^') ; donc tous les points de (D), excepté (ar", j^'), sont hors de Pellipse (6i); donc la droite, (D) n'^a que le seul point (x", j^') de commun avec Tellipse ; donc elle lui est tangente en ce point.
69. Comme le coefficient a, qui détermine la direction de la tangente (12), n^a qu^une seule valeur, il sVnsuit que par un point {x'^y) donné sur Fellipse, on ne peut mener quWe seule tangente à cette courbe.
Cesl ce qu^on vérifie d^ailleurs en cherchant le point de contact (x"^y) d'aune tangente à Tellipse , menée par un point donné (x'^y). Dans ce cas, les équations de Pellipse et de la tangente , sont : ^y f» ^ ^.^f. -.. ^.ga^
Ayy + BV;c" = A'B\ Eliminant j^' de ces équations, on trouvera, pour x'\
„ __ A'B'x^ =±: Ay 1/ Ay -^ B^xf^ — A'B»
Ay» + B*x'»
Si le point (^1^) est hors de Fellipse, le trinôme sous le radical sera positif (61); x" et y auront donc deux valeurs réelles, et il y aura deux tangentes. Mais si le point (a^^ jr*) est sur Tellipse, le trinôme sous le radical sera nul ; x" et y n^au< ront alors qu^une seule valeur réelle chacune, et il n^y aura qu'aune tangente. Enfin , si le point (j:', y) est dans Pinlérieur de la courbe, le trinôme sous le radical sera négatif; donc x^^ et y seront imaginaires, et il n^ siura pas de tangentes. Ce qui est d^ailleurs évident.
70. Remarquons en passant, que si des équations Ay -^ BV'*= A'B' et A'ay= — BV^ on tire les valeurs dey et x^\ quVnsuite on substitue ces valeurs dans Téquation jr"=: ax^^ -f- 5, qui est celle de la tangente au point (x^\ y), celte équation deviendra ^»^« 4- B* =: 5*.
D^où il est aisé de voir que la tangente ne peut être parallèle à Pun des deux axes , que quand le point de tangence est à une extrémité de Pautre axe.
7 1 . Si dans Péquation de la tangente MX à Pellipse (fig. 1 3),
on fait ^ = o , on aura Pabscisse x ou OT du point T où cette
A* tangente coupe Paxe des x, et il viendra OT = -y^- Mais OF *
( 40 ) z=OF=e, FM = A — ^' (53) et FM = A + ^^ donc
TF = OT^OF = g-c=A(A-ff') = AxFM,
TF'=OT + OF=:^, + e = A(A + ^') = ^^XFM.
Prenant ME= FM, on aura TF' ; TF : : F'M ; FM ou ME; d'où il suit que F£ est parallèle à TM, et qu'ainsi Tangle GMF = MEF = EFM = FMT. De sorte que dans f ellipse. Ut rayons vecteurs FM, F'M, menis au point de tangence M, femt avec la tangente MX et é^un même côté de cette ligne, deux sutgles égaux.
Diaprés cette propriété importante, on démontre en Physique, qae tous les rayons calorifiques émana du point F, se réflédiissent sur Tdlipsc et vont se réunir au point F'; et réciproquement. C^est de là que les points F et F' ont reçu leur nom àt foyer*
7a. Nous avons résolu plus haut (69), par Tanaljse, le problème de mener une tangente à Pellipse , par un point donné. Voici la solution graphique de ce problème ( fîg. 1 3 ) :
1* Supposons que le point donné soit sur Pellipsc, par exemple en M. Menant alors les rayons vecteurs FM et FHVI, prolongeant Tun d'eux F'M de la longueur MK=^MF et tirant h droite MIT perpendiculaire à FK, cette perpendiculaire sera h tangente demandée. Car les deux triangles rectangles MIF e( MIR étant égaux, on a Tangle FMT= IMK= F'MG ; les deux rayons vecteurs FM et F'M font donc avec la droite MT et d^an même coté, deux angles égaux ; cette droite MT coïncide donc avec la tangente en M (71). Il serait d^ailleurs facile de démontrer que tous les points de la droite GMT sont hors de l'elh'pse, à l'exception du point M.
2° Supposons actuellement le point donné hors de l'ellipse, et soit G ce point. Du foyer F' comme centre et avec le grand axe 2A pour rayon , on décrira un arc de cercle ; du point G comme centre et avec le rayon GF, on décrira un second arc, coupant le premier en K et K' ; on mènera les droites FR et F'R' : CCS deux droites couperont l'ellipse aux deux points H et M' de tangence, et GM, GM', seront les tangentes demandées. En effet, par construction, F'MR=aA. Mais le point M étant sur Tellipse , on a aussi F'MF = a A \ donc MR = MF. D'ail-
( 41 ) leurs , par consCrucdon , GF = GK ; donc la droite GMT ^t perpendiculaire au milieu de FK \ cette droite est donc tangente au point M (i^). On démontrera de même que GM' est tangente en M'.
73. Il résulte de la construction (i*") de la tangente MX, que l éunt le milieu de FK et O le milieu de FF, la droite OI est la moitié de F'K. Mais Flfi=:=zF'M + MF:= aA ; donc Ol = A. Donc Ut piêdi des perpendiculaires menées d^ un foyer sur les tangentes à Vellipse, appartiennent à la circonférence ayant le grand axe pour diamètre,
'j/^. On appelle normale d^une courbe, la perpendiculaire à sa tangente au point de contact. Ainsi dans F ellipse, la normale MN divise en deux parties égales f angle FMF', formé par les rayons vecteurs menés au point de tangence.
75. Si Ton veut trouver Téquation d^une normale à Telb'pse, il suffira d^observer d^abord que cette droite passe par le point de tangence ( J:'^ y)-, et que par suite son équation est de la forme ^ — y' = a' (x — jr").
De plus, cette droite étant perpendiculaire à la tangente, pour
laquelle a = *~Trir ^ ^ ^^"' qu^on ait la relation aa' -{' 1 = 0^
