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qui donne a' = ^rTt' ^^ Téqualion de la normale devient
Pour le point N où celte rtormale rencontre Taxe des abscisse», on a^"= o ^ ce qui donne
On voit que la distance ON sera toujours plus petite que OF ou e. Retranchant cette valeur hors de OP ou x"^ on aura la distance du pied de Pordonnée au pied de la normale. G?ttc distance se nomme sounormale \ sa valeur est donc
Elle est par conséquent de même signe que Pabscisse du point de tangence et moindre que cette abscisse.
^6. Quant à la tangente, pour avoir le point où elle rencontre
Taxe des x , on fera ^ = o dans son éqaadoD , qui donnera alors, comme on Ta vu (7 5)
a:oaOT = ^.
Si de cette valeur on retranche OP ou x^\ il restera la distance PT du pied de Pordonnée au point où la tangente rencontre Taxe des x. Cette distance se nomme 9outangent8 ; son
expression est a* x'''
Cette valeur étant indépendante du second axe ^B, convient aussi à la circonférence décrite sur le grand axe comme diami^ tre. Si donc on trace cette circonférence et qu'ion lui mèpe une tangente au point où elle est rencontrée par le prolongement de Pordonnée PM de Pellipse , cette tangente coupera Taxe des x au poiut T \ et TM sera tangente à Pellipse au point M.
77* On peut aisément démonter les théorèmes que voici :
I. Si on prend sur les prolongemcns des axes de Tellipse, qaatre points dont les distances au centre soient égales chacnne à la corde qui joint lei eitrémités des mêmes axes, on aura les sommets d^un ca^né circonscrit à la courbe.
II. Les tangentes aux extrémités dW même diamètre, sont paralldes entre elles; et réciproquement, si deux tangentes à. Pellipse sont parallèles , la droite qui joint les deux points de contact, passe par le «rentre.
De là il suit que trois tangentes a Pellipse ne peuvent jamais être parallèles entre elles.
m. La plus courte distance d''un point du grand axe à Pellipse, est la normale menée par ce point.
IV. L^origine étant au sommet ( — A, o) et les coordonnées parallèles aux axes aA et aB , Pellipse est représentée par A'jr* -^ B*x* = aAB*x, et sa tangente au point (*",y )? P*r A'jr/'+B'«*''=rAB* (x-|-^').
y. Le demi-petit axe B est moyen proportionnel, 1° entre les distances des deux foyers à la tangente \ ^° entre les deux ordonnées de la tangente qui ont leurs pieds aux extrémités du grand axe \ y* entre 1^ distances d^un foyer aux deux sommets; 4° enfin, entre la normale et la perpendiculaire menée du centre sur la tangente. En outre , si ^ et r sont les distances d^un foyer à la tangente et au point de contact, r* d(»ignant la distance de ce point à Pautre foyer, on aura f>* ! B* I • r ; r'.
VI. Si le sommet dW angle droit est à Pun des foyers de PcUipse et que l^un des côtés de cet angle passe par le point de tangence , Pautre côté rencontrera la tangente sur une perpendiculaire au grand axe , qui sera la même pour toutes les tangentes, et qu^on noomoie la directrice de
IVUipse. De plus, les distances dW point de TtUipse au foyer et à la directrice voisine sont entre elles comme c l A.. '
yU. Le sommet d^un angle droit mobile, dont les côtés sont contt* nuellement tangens à Tellipse, décrit une circonférence de même centre que cette courbe et d^un rayon égal à la droite qui joint les extrémités des deux axes.
Vin. Lorsque la portion d^unélangente à Tellipse, comprise entre les perpendiculaires aux extrémités da grand axe, est le diamètre d^une circonférence, .cette circonférence passe par les deux foyers.
^8. On appelle diamhtres conjuguai de Pellipse, deux diamètres tels , qu^en les prenant pour axes des coordonnées , Pëquation de la courbe conserve la même forme que pour ses axes rectangulaires.
Cherchons ces diamètres, et prenons, à cet effet, les formules pour passer d^un système d^axes rectangulaires à un autre système de même origine (45) , savoir :
^ = -+'S et r = f--4-i
formules dans lesquelles m* = i -f- û* et m" = i -f- a". Substituant ces valeurs de a: et de j^ dans Téquation A'^* -|" ^'-^ = A*B*, qui est celle de Tellipse rapportée à ses axes et au centre, on trouvera
Pour que celte équation soit de même forme que celle qui est relative aux axes ^A et 2B , il faut qu^elle ne contienne pas le produit x^T^'des nouvelles coordonnées \ il faut donc profiter de rindéterroination de a et a' pour faire disparaître ce ternie , en rendant son coefficient nul , ce qui donne la condition
A'aa' + B' = o,...(i)
et Tëquation de la courbe devient , en y supprimant les accens des coordonnées, dont on n^a plus besoin, pourvu qu^on se rappelle que ces coordonnées sont en général obliques ,
La condition (1) qui existe entre a et a\ étant du premier degré par rapport à chacune de ces quantités, déterminera Tune dVlIes quand Tautre sera connue, et en ne prenant pour a', par exemple, que des valeurs réelles, il est clair qu^on n^en aura non
plus que de réelles pour a et les coefficiens de y* et x^. Il existe donc une lufinité de S3rstèines d^axes des coordonnées, poor lesquels Tcquation de Pellipse ne contient que les carrés j^^ a/* des variables , avec un terme constant. Mais pas un seul de ces systèmes ne sera rectangulaire, puisqu^alors on devrait avoir aa' -f" 1 = o î ce qui réduit la relation ( i ) à A*= B*, chose impossible dans Pellipse.
A la vérité, en prenant a' = oo et a == o, les relations (i) et aa' '{' 1 = 0 seraient bien satisfaites ; mais alors on retomberait sur Péqualion aux axes 2 A et aB.
79. Actuellement, si Ton fait successivement j^=o et Jtzro, dans Péquation (2), on aura les distances de Porigine aux points où Pellipse coupe les axes des x et des j- obliques : en désignant CCS distances par A' et B', la première étant comptée sur Paie des abscisses et la seconde sur Paxe des ordonnées , on trouvera
Prenant dans ces équations les valeurs des dénominateurs, et substituant dans Péquation (2) de Pellipse , elle devient
Dans cette équation, 2\' et 2B' sont les diamhtreê conjuguai auxquels Pellipse est rapportée. En prenant à volonté un diamètre pour 2 A', ce qui fera connaîti^e a, la relation (1) donnera a' et la seconde valeur (3) déterminera 2B', conjugué de 2A'. De sorte que tout diamètre de Vellipne a ion conjugué,
80. Remarquons présentement que si deux diamètres 2 A' et 2B' gont conjugués, les tangentes aux extrémités de fun, Meront parallhles à Vautre, Soit en effet, (j^', ^') une extrémité du diamètre 2A'', Péquation de ce diamètre sera^ = ajr et la condition de passer par le point ( x", ^" ) donnera y = ajc"^ ou
a =*^,' Mais pour la tangente j-rzia^x*-^ 5, au point {x"^r")^
on a a" = — -rr-r. i 3>"si oa" = — -r-- D'un autre côté, la rela-
Ayf . B* ^
tion ( I ) donne aussi aa' = — — : donc aa" = aa' et e^' = a'.
La tangente à Pextrémilé de 2 A', est donc parallèle h 2B'(i5). On verra de même que la tangente à Pextrémité de 2B' est parallèle à 2A'.
