Réciproquement, si les tangentes aux extrémités de deux

diamèins A ei d', lêut* tant retpecHvemêtii parallèles, ceê diavùtrêê seront emtjuguèê. Car si à! n'hélait pas le conjugué de d^ soit i' ce conjugué \ les tangentes aux extrémités de d!' seront donc parallèles à i2, et conséqucmment parallèles à la tangente Il une extrémité de ci'; ce qui est absurde (77, II). Donc d et (T sont conjugués Tun de Pautre.

8a. Remarquons encore que deux diam^tret conjuguai 2 A.' et 7,B\ tant toujourê parallhlee à deux cordée euppUmentairee y =2 px -}- b •^ y = p'i^ + b'. Car pour ces cordes , on a A*pp^ + ^* = o (6a) ; et pour les diamètres conjugués aA' et aB', on a pareillement A'aa'-^- B' = o : donc aa'=zpp^. Rien n^empédie de mener la première corde parallèlement à a A', ce qui donne p =- a (i5) ^ alors il viendra /^= a', et la seconde corde sera parallèle à aB'.

83. Etant donc donnés une ellipse et ses deux axes, rien n^est plus faciles que de trouver deux diamètres conjugués, comprenant entre eux un angle donné. Il suffit pour cela , de décrire sur Tun des deux axes , un segment capable de Pangle donné , et de mener des cordes supplémentaires à Tun des points d^intersection de Parc avec Pellipse : les diamètres parallèles à ces cordes, seront les diamètres conjugués demandés.

Bien entendu que cette construction doit être faite sur le grand axe, si Pangle donné est obtus, et sur le petit, si Pangle est aigu. Il faut de plus que Pangle donné soit moindre que le plus grand angle obtus et plus grand que le plus petit angle aigu ( 63 ) : autrement , le problème serait impossible.

84. Cherchons maintenant si Fellipse peut avoir des diamètres conjugués égaux entre eux ; et pour cela, observons d'^abord que dans les expressions (3) de A" et B'*, on a m*=: i +0", W* =1 -f- a'* et B* = — A'oa', Substituant ces valeurs et réduisant, il viendra

Si le^ diamètres conjugués a A' et aB' sont égaux , les valenrs précédentes de A'* et B'* seront égales aussi , et réciproquement.», Egalant donc ces deux valeurs et simplifiant, on aura, pour déterminer les directions des deux diamètres conjugués égaux ,

«'(i+««) = — a(i + a")î d'où (« + a')(aa'+ i) = o.

( 46 ) On ne saurait avoir no' -|- i = o ; il faut donc que a -)- a' = o 5 d'où a' = — o , ou bien a = — (j^\ ce qui fournit toujours les deux mêmes droites. Ainsi , bien que felUpse ait une infiniiê de âianùtreê ègatix deux à deux, elle n*a eependani que deux diamètres conjugués qui soient égaux entre eus : ce sont les diamètres parallèles aux cordes qui joignent Us extrénniés des deux axes.

Efifectlvement^ en faisant a'=: — a, dans la relation AW

+ B'=:o, on en tire a = -ct a'z= — j\ d'où i ; a j; AjB

1* — a'**A*B. Ce qui montre que les diamètres conjugoéi égaux, sont parallèles aux cordes qui joignent les extrémités des deux axes, et sont dirigés conséquemment suivant les diagonales du rectangle que forment les tangentes aux cxtréaiités des mémei axes.

L'ellipse rapportée à ses diamètres conjugués égaux , a pour équation ^> i ^a -— ^

qui est analogue à celle du cercle entre coordonnées rectangnlaires.

85. Ajoutons présentement entre elles les équations (4)i ^ réduisons ; nous aurons

A''+B''i=A*— A*aa', ou A'' + B'' =z A* + B\

Ainsi dans V ellipse, la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques, est égale à la somme des carrée dee deux axes.

86. Multipliant l'une par l'autre les valeurs (4) de A'' et B'*, et observant toujours que B* =z — aa'A', il viendra

La figure formée par les demi-diamctres A' et B^, et les tangentes à leurs extrémités , est évidemment un parallélogramme (8o). Si donc s désigne le sinus de l'angle compris entre A' et B', l'aire de ce parallélogramme sera A'B'#. Or, nous avons vu (20) que cette aire a pour valeur le premier membre de la dernière équation précédente ; ainsi on a

A'B'# = AB, ou 4A'B'« = 4AB;

c'est-à-dire que le parallélogramme conslruii sur deux diamk^^

conjuguée, €si équivalent au rtctanyle caniiruU sur les deux ojteê.

87. U est facile de voir que les coordonnée comprenant un angle •, toute équation de la forme My' + Nx*= P, M, N, P,

étant des nombres positifs j représente une ellipse, D^abord si Ton

prend les nombres A' et B' tels qu^on ait A'* = — et B'' = rz ,

cette équation deviendra

Or, on peut toujours trouver une ellipse dont a A' et aB' soient les diamèbres conjugués, comprenant Pangle é ; car en désignant par s le sinus de cet angle, les axes 3 A et 2B seront donnés par les relations A' + B' = A" + B'* et AB = A'B'«, desquelles on tire

A+B=z j/A"+B"+aA'B'« et A— B= J/a'^+B''— aA'B't; les valeurs de A et B seront donc toujours réelles.

Connaissant les axes' a A et aB, on pourra tracer Pellipse ; et cette ellipse, rapportée à ses diamètres conjugués a A' et aB% sera représentée , comme on Ta vu (79) , par Péquation (5) , et conséquemmcnt par Péquation proposée M;^ -f- Nx^ z=: P.

88. Il résulte aussi des valeurs que Ton vient de trouver pour A -f- B et A — B , que si l'on prend sur la perpendiculaire au dianùtre aA', menée d^une extrémité de son conjugué 2B', deux points éloignés chacun de cette extrémité d^une distance égale à A', les deux axes seront respectivement la somme et la différence des droites qui joignent ces deux points au centre.

De là , étant donnés , de longueurs et de positions, deux diamètres conjugués de Pellipse, on en déduira les 'grandeurs des. deux axes ; et on aura ensuite leurs positions , en prenant la va^ leur de a dans la première des équations (3) ; ce qui donnera

B| /A«— A^* B| /(A-f-Ay)(A— AQ

^-^ly A''— B>' ^^ ^'^ ky (A'+B)(A' — B)'

8g. Reprenons maintenant Péquation de Tellipse rapportée à ses diamètres conjugués iA! et aB', savoir :

Cettç équation étant absolument de même forme que celle qui ts% relative aux axes , toutes les propriétés indépendantes de Finclinaison des coordonnées, seront conmiunes aux axes de Pellipse et à ses diamètres conjugués. Ainsi,

1 * Chaque âianùire divise les eord»ê poraHhUê à ton en deux parties égales y et partage conséquemtnent T ellipse en deux parties superposahles. D^où il suit que pour avoir un diamètre et le centre d'une ellipse tracée , il suffit de mener une droite par les milieux de deux cordes parallèles.

3* Les carrés des ordonnées, aux diamètres conjuguas, smd entre eux comme les produits des distances des pieds de ces erdonnées aux points ou taxe des abscisses coupe la courbe.

De sorte que pour ^ccrîre une ellipse dont on connaît deux diamètres conjugués et Tangle qu^ils font entre eux, il ÙluI dV bord tracer une ellipse sur ces diamètres , pris pour axes rectaaguiaires , puis incliner les ordonnées de cette ellipse sous Tangle donné , sans changer leurs longueurs : les points ainsi trouvés, appartiendront à Pcllipse demandée.

3" Pour deux cordes supplémentaires ^=aa:+ ^ eljrziztlx -f- b\ on aura toujours A'^oa' + B'*iz: o ; et réciproquement.

4* La tangente jr=^ff^ + ^i au point {p^\y^y a pour ëqia*

lion B'^^"

A'V-^-" + B'V*" = A"B'* et « = — ^.

Ce qui donne le moyen de calculer les coordonnées du point de contact d'aune tangente à Tellipse, menée par un point donné. LVquation de cette tangente devient aussi A'*a* -f- B'* = i".

5** Si une corde supplémentaire est parallèle au diamètre nom au point de tangence, Poutre corde sera parallèle à la tatigenk. Ainsi on peut , sans connaître les axes , mener une tangente t Pellipse ^ soit par un point donné sur cette courbe , soit parallèlement à une droite donnée.

6*" Enfin , si deux diamètres sont respectivement parallèles à deux cordes supplémentaires , les tangentes aux extrémités de ces diamètres , seront respectivement parallèles k ceux-ci (5*)i ces diamètres seront donc conjugués Tun de Tautre (Si), et comprendront entre eux un angle égal à celui des deux cordo supplémentaires proposées.

De là , si Tellipse est tracée ; en décrivant sor un diamètre quelconque un segment capable de Pangle formé par deux diimètres conjugués demandés, on pourra décrire ces dîamètnsi et si Pangle est droit, les deux diamètres cherchés seront ki deux axes de Tellipse.

. 9^. Xtft paralUlogrammet ayant reMpeciivemeni pour âiagonoies deux âianùtret conjugués de VelUpse et dont les côtés sont, paral&les à deux autres diamhtres conjugués, sontéquwàljsns.

Soient aA, aB deux diamètres conjugués quelconques et oA'^ iB' deux aulres diamètres aussi conjugués. Soit {pc^^ y) une extrémité de aA' et (^x"^ j") une exjtrémité de aB' ^ Téquation de TelCpse rapportée aux diamètres aA et aB , donnera donc

Ay + B'a^ = A'B* et Ay + BV = A*B' ... (i)

L^équation du dltimètre a A' étant ^=c'a:, fournil ^= c'a/

ou a'=:p- La tangente à Pextrémité (a/', j^') de aB', étant

paraUèleàaA'(8o),ilyient

-gl'=-^;, ou Ayy + BVx" = o ... (a)

Cette équation et la première (i) donnent

B* = ^,(yx"-x'y) et A'=-^(yx"-:cy')...(3)

Avec ces valeurs , la seconde équation (i) se réduit à x^ = — x"y. Multipliant de part et d^autre par le sinus s de Tangle compris entre A et B, et supprimant le signe -— , qui est inutile pour la propriété à démontrer, on aura x'ys=zx"ys. Or, s étant le sinus de Tangle entre j/ et j^ et entre a/' ei^'^ les pro« duits x^ys et V^'« expriment les aires respectives deç parallélogrammes construits sur les coordonnées a/, y et x", y\ et ajant pour diagonale, le premier a A' et le second aB': donc, etc.

91. Remarquons que comme x'y=i — x"y'^ les deux équations (3) deviennent

B* z=y -t- y* et A' = a^' + x"\

Diaprés ces deux relations remarquables, si A et B sont les demi-axes de Tellipse , ce qui donne A'* = x'^ +^* «t B" = x"* + J^'*! on trouvera

A'^-t-B'-rzA^ + B',

comme au n* 85. De plus, si s désigne le sinus de Pangle des deux diamètres conjugués aA' et aB', la multiplication des équa« tions (3) donnera

AB =ya^ -r- ^y = A'B't (ao),

relation trouvée an n* 86.

93* Xe diamhtre de la baie Sun eyUnêre droit étant égal au second axe iB éPune ellipse donnée, en peut ùnç'oure couper et eyUndre par un plan, de manûre que la section résuUamte soU égale à telUpse proposée. Pour cela, menons le plan LKIH suivant Taxe CY du cylindre (fig. i4); prenons OR= A, aA étant le grand axe , et tirons RON \ nous aurons KN = aA. Snhrant RN menons sur le plan HK, un plan perpendiculaire, dont Pîntersection avec la surface convexe du cylindre sera la coatl>e fermée NMRG. Soit M un point quelconque.de cette courbe, et x^jr Ifs coordonnées rectangulaires OP, PM, de ce point \ on aura PB = A — :r et PN = A -f- ^* Par l^i droite MP, perpendicnlaire au plan HK , soit mené le plan DMS perpendiculaire à Paie CY; ce plan coupera le cylindre suivant un cercle ayant DS=: lH=:aB pour diamètre, et il viendra PS = 3 — PQ et PD= B -|- PQ. Gomme M est un point de la circonférence du cerde précédent et que MP ou jr est perpendiculaire au diamètre DS, on a^* = PS X PD = B»— PQ\ D'aiUeurs, dans le trian^ PNB, DQ : NO :: PQ : OP ou B : A :: PQ: x; donc PQ=:

— ,' et il vient , pour tous les points de la courbe NMRG,

j-» = B* -^ ou Ay + B»x* = A»B» :

donc cette courbe est Fellipse proposée. Ce qu^il fallait démontrer.

On voit que les sections faites dans un cylindre droit, par des plans , ne sauraient être que des rectangles , des cercles ou des ellipses.

93. Remarquons d^aiileurs que les deux plans HTI et NMA, étant perpendiculaires au plan HK, leur intersection commune est perpendiculaire au même plan , ainsi qu^aux deux droites IH et NR ; Pangle de ces deux droites, ou son égal ISOF, mesure donc le coin des deux plans HTI et NMR. Et comme la base ^B^ du cylindre est évidemment la projection de Paire E terminée par Pcllipse NMRG, il sVnsuit que «-B* = E X cos NOF (G. 258). Mais le triangle rectangle NOF donne ces NOF=i

-r ; il vient donc E =: «-AB , valeur que nous trouverons plus

bas , d^une autre manière.

g4. II résulte de ce qui précède (92) c^une ellipse donnée peut toujours être disposée à Regard Sun plan , de tnamèro pie

sa projection sur ce plan soit vn eerele, ayant le ioeond axe pour âianùtro; ce qui permet de démontrer, pour Pellipse, plusîeiirs propriétés analogues à celle dont jouit le cercle. En yoid une :

De tous les éptadrilatères qu*on peut inscrire dans une même ettipse^ le plus grand est un parallélogramme dont les sommets sont aux extra* mkés de deux diamètres conjugués. Pour démontrer oô théorème^ soit M on quadrilatère inscrit dans Tellipse proposée et N la projection de M sur le plan du cercle qui est la projection de Pellipse \ N sera un quadrilatère inscrit dans le cercle, et on aura, en daignant par v Fangle det deux pbns, N=^Mcosi; (G. a58).

Puisque cos v est constant, tandis que M et N sont variables, il est olaif que quand N sera un maximum , ce qui arrive dés que N est un carré, M sera aussi un maximum. Les diagonales deidf à\i quadrilatère ma^imtim M ayant pour projections les diagonales D et D' du carré N, et celles-<n se coupant au centre du cercle, il s^ ensuit que dtidf se coupent au centre de IVllipse. De plus , dans Tellipse, toute corde c parallèle à <l, a pour projection dans le cercle , la corde C parallèle à D ^ et puisque D' divise évidemment C en deux parties égales, de même df divisera c en deux parties ^ales* Ainsi les diagonales deidJ au. quadrOatère maicifnnnn M, sont telles que chacune divise en deux parties ^Ics toute corde parallèle à Tautre^ donc ces diagonales sont deux diamètres conjugués (89, 1°) et le quadrilatère maximum M , un parallélogramme.

On voit en outre, que comme il y a une infinité de quadrilatères maximums égaux, inscrits dans le cercle, il y a aussi une infinité de quadrilatères maximums équivalens, inscrits dans Tellipse : tous sont des parallélogrammes, dont un seul rectangle , ayant pour diagonales les deux diamètres conjugués égaux , et un seul losange , ayant pour diagonales les deux axes.

95* Par des raisonnemens analogues aux précédens , on démontrera aisément les théorèmes que voici :

I. De Ions les quadrilatères circonscrits à la même ellipse , le plus petit est un parallélogramme , dont les points de tangencc sont aux extrémités de deux diamètres conjugués ; et il y a une infinité de quadrilatères cir* conscrits, de même surface minimum, dont un seul rectangle, touchant Pellipse aux extrémités des deux axes , et un seul losange , ayant les points de contact aux extrémité des diamètres conjugués égaux.

n. De tous les triangles inscrits dans Fellipsc, le plus grand renferme les trois cpiarts du diamètre mené par son sommet , sa base étant parallèle an conjugué de ce diamètre.

ni* De tons les triangles circonscrits à la même ellipse , le plus petiK a la base parallèle à un diamètre et le sommet sur le prolongement do conjugué de ce diamètre, à une distance du centre égale à ce conjugué.

IV. La droite qui joint le centre d^une ellipse au sommet de Fangle drcoMcrit, divise la oosdc de contact en deux parties i^les.

( 52 ) g6. Oq appelle otr» on iuffaee de Pellipse la portion plane terminée par cette courbe. Pour mesurer cette surface, décrivons une circonférence sur le grand axe comme diamètre : le cercle n^étant quW polygone régulier d^une infinité de c6tés, infiniment petits; si de deux sommets voisins D et ly de ce polygone (fig. i5), on mène les ordonnées DP et jyP*^ elles couperont Pellipse aux points M et M'; et comme les cordes do arcs infiniment petits DD' et MM'f coïncident nécessairement avec ces arcs, les deux figures PPI^D et PP'M'M, sont deux trapèzes de même hauteur PP'; donc PD' ; PM' 1 1 PD + W l PM -{- VW. Mais aA et 2B désignant les deux axes de Peili^ proposée , on a vu (64) que PD : PM : : PD' : PTM' : I A : B; d'où Ton tire PD + PD'rPM + P'M';: A :B. Ainsi, à came du rapport commun , il vient

pd':pm'::a:b.

On voit, par cette proportion, que chacun des trapèzes qd composent Paire du cercle est au trapèze correspondant de Paire de Pellipse , comme A * B ; donc la somme des trapèzes qia composent Paire du cercle est à la somme des trapèzes qui forment Paire de Pellipse ! I A * B ; c^est-à-dîre que Faire «-A* da cercle est à Paire E de l'ellipse * * A * B. Cette proportion donne £ = frAB. Donc , Vaire de feUipêe e$t égalé au nombre w mal- UpUâ par le produit de$ deux demi-axe$.

Soit 0 Pangle de deux diamètres conjugués iél' et aB'; on aura aussi £ = ^rA'B' sin 0.

97. On voit d'ailleurs que le secteur elliptique ABM ett n eecteur circulaire ABD , comme le second axe est au premier. Car en raisonnant comme on vient de le faire, on trouvera qoc le segment elliptique PBM est au segment circulaire PBD, comme B * A. Mais il est de plus visible que APM * APD ** B ; A :; PBM ; PBD; donc enfin ABM : ABD :; B ; A.

98. Soit ê Pangle des deux diamètres conjugués aA' et aB', s un segment d'ellipse entre une portion de aA' et deux ordonnées parallèles à aB', s' un segment du cercle décrit sur le ditmètre aA^ compris entre la portion précédente de 2A' et les perpendiculaires élevées sur aA', aux extrémités de cette portion \ on trouvera « =: p s' sin ^