La géométrie élémentaire ne fournit aucun moyen de

mesurer la longueur de Pellipse^ ni celle d^un arc de cette

courbe. Il faul se résoudre à envelopper dW fil Parc ou PeK-

llpse el à prendre la longueur du fil pour Celle qu^il s^agît de

déterminer. Ce procédé n^est pas exact; mais il su£Bra dans

bien des circonstances.

ioo. Nous dirons que deux lignes brisées sont semblahUi^ lorqu^elles ont on même nombre de droites homologues proportionnelles , comprenant nn même nombre d^angles homologues ^ux. Et par courbes semblables , nous entendrons deux courbes telles , qu^en inscrivant dan^ Tune une ligne brisée quelconque , on pourra inscrire dans Pautre une ligne brisée semblable.

101. D&ix ellipses sont semblables , dès çu'eQes ont les axes propot' tionnels. Car il est ûcile de voir qu^en inscrivant dans Pune un poljgone formé dWe série de trapèzes , ajant chacun deux côt^ perpendiculaires au grand axe, on pourra toujours inscrire dans Pautre un polygone sembbble au précédent; de sorte qu^il sera toujours possible d^inscrire des lignes brisées semblables, dans les deux ellipses proposées; ces deux ellipses sont donc semblables (loo).

De là résulte que les longueurs des ellipses semblables , sont entro elles comme leurs grands ou leurs petits axes. D est clair aussi que leurs aires sont proportionnelles aux carrés des mêmes axes (96).

10a. Dans deux ellipses semblables, on appelle points homologues^ deux points dont les coordonnées rectangulaires sont proportionnelles, et arcs homologues , deux arcs terminés à des points homologues chacun à chacun. D^où il est aisé de démontrer que dans deux ellipses semblables, 1^ les arcs homologues sont semblables et proportionnels aux deux grands axes on aux deux petits ; 9? les segmens compris entre dfiva, arcs homologuer et leurs cordes , sont semblables et entre eux comme les carrés des deux ^ands axes.

10 i. Voici encore quelques problèmes et théorèmes, faciles à trai. er ^ diaprés ce qui précède :

I. Tracer une tangente à Pellipse , de manière que le point de contact divise en deux parties ^ales la portion de cette tangente, entre les deux axes.

II. Trouver le plus grand et le plus petit des angles compris par deux rayons vecteurs , menés À dififérens points de Pellipse*

in. Soient S et S' les segmens de deux tangentes paraUéles, compris entre les points de contact et une troisième tangente à Pellipse , et soit aB' le diamètre qui joint les deux premiers points de contact ; je dis qu'on aura toujours SS'^B'*.

IV. Si Pon divise en trois parties égales chacune des cordes paraOèles à Pun des axes d^une ellipse , les points de division appartiendront à une ellipse concentrique à la proBCÛére et dont Paire sera le tiers de Paire de cette prenuere*

V. Si Ton fixe en un point Pan det sommets da losange formé pir quatre r^es , mobiles autour de leurs extrémités , et qu^on &sse mouirair le sommet de Pangle opposé suivant une droite invariable , passant par le

r»int fixe \ deux points pris sur les cotés de Fangle mobile et à la ^Wlairr du soomiet , décriront une ellipse ayant aB pour petit axe el le point fixe pour centre.

VI. Construire une ellipse semblable à une ellipse donnëe et dont l'aire soit à celle de cette dernière dans un rapport coiinn. Goostniire une ellipse semblable à deux ellipses données, et dont Paire yalBe la i ou la difierence des aires de ces ellipses.

Vn. Le point du cercle qui roule intérieurement sur la cii d^on autre cercle de rayon double , décrit une ellipse dont les sont la plus grande et la plus petite distance de oe point à la circonféieaue du cercle auquel il appartient ; et suivant que ce point est i la ciroonfi»» rence ou au centre , il décrit une droite ou un cercle ^al an cercle mobile.

yill. Si deux droitesjr=ax-|-& et jr=a'x-|-5', tottcbant oonih puellement une même ellipse, se meuvent de manière que le prodoît «f soit constamment égal à — p'^^ le point d^intersection des deux tangenls décrira une seconde ellipse. Si Ton conçoit deux tangentes k la srôooée ellipse , mobiles comme les deux premières et donnant encore continvdlement aafz=. — ^*, Pintersection de ces dernières décrira une troisiéac ellipse, de laquelle, diaprés les mêmes procédés , on déduira une oottrième eUipse, et ainsi de suite. Gela posé, i° toutes les ellipses constmilef sur la première seront semblables entre elles , lui seront concentriques tf leurs axes auront les mêmes directions que les siens ; a® \es aires de es ellipses formeront une progression par quotient , dont la raison sera 3.

(Pour la démonstration il faudra d^abord observer que la premiàt tangente est représentée à la fois par les deux équations yz=zax^h el A'a^ -|- B' = &', puis on éliminera h. On procédera de même poork seconde tangente ; et alors on verra que a et af sont racines d^une méoK équation du second degré ; ce qui fournira Péquation de la seconde ^pst: et de même pour la troisième , etc. On pourra aussi examiner les deu

Lypothèses oof-zz. — i et aiâ -=: — -— y

IX. Si un augle droit se meut autour de son sommet placé au ceaiie d^unc ellipse , les cordes qui joindront les intersections de ses <:ôtés aicc a courbe , seront continuellement tangentes au cercle du même centit que Pellipsc et ayant pour rayon la perpendiculaire abaissée du centre stf la corde qui joint les extrémités de deux demi^axes.

De V Hyperbole.

io4- Li'^hyperbole est une courbe plane telle , que la difTéreoce des distances de chacun de ses points à deux points fixes F et F'i est constamment égale à une droite donnée 2A. Ces dem

points F et F', sont dits, les/ayen de Thyperbole , et les droites menées des fojers à un point quelconque de la courbe, sont les rayonê vecieurê de cette courbe.

io5. Pour construire l^yperbole, on prend une règle F'D, ayant une extrémité percée d^un trou dont le centre soit sur le prolongement de Tune des longues arêtes (fig. 16 )• On engage dans ce trou, une pointe plantée au foyer F', par exemple. A Pautre foyer F est plantée une pointe, autour de laquelle peut tourner Pextrémité d^un fil , dont Fautre extrémité est attachée au point D de la règle. La longueur du fil doit être telle, qu^en Ja retranchant de F'D, il reste 3 A. Faisant glisser une pointe à tracer M le long du fil , on le force à s^appliquer toujours contre la règle qui tourne autour de F'; et alors, par ce mouvement, la pointe M décrit une portion de Phyperbole demandée. Il est visible , en effet , que dans le mouvement de la règle , on aura toujours FM— FM=F'MD— FMD=2A ; la pointe M sera donc toujours sur Phyperbole cherchée , et en tracera une portion d^autant plus grande , que Ja règle F'D sera plus longue.

Faisant tourner de même la règle autour de F et le fil autour de F', on décrira ime autre branche de la même hyperbole. De sorte que cette courbe se compose de deux branches égales et opposées, MBM' et mBW, qui sVtendent indéfiniment dans les deux sens , au-dessus et au-dessous de la droite FF'.

Cette construction montre d^aîUeurs que FB == F'B', et que quand le point M est en B , on a 2 A r= F'B — FB = F'B — F'B' = BB'.

n est dair, diaprés cela, que aA<^FF'. Ccst ce qn^on peut voir autrement *, car appelant M un point quelconque de l^hjperbole , on aura , diaprés la définition , F'M — FM zz a A. Mais dans le triangle F'MF, on a F'M — FM < FF' ^ donc aA<FF'.

106. On peut aussi décrire l%yperbole par points, comme il suit : soit O le milieu de la droite FF, et soient prises les distances OB et OB' égales chacune à A : les points B et B' appartiendront d^abord à la courbe cherchée. Car ayant FB = FO — A et F'B = FO + A, U vient F'B — FB z= aA. De même, FB' — F'B' = aA.

Pour avoir d^autres points , prenons sur le prolangenwnt de OF, un point quelconque I \ puis des foyers F et F', comme

centres, avec des rayons respectivement ëganx à IB et IB% décrivons deux arcs se conpknt en M et M'; des mêmes centres F, F' et avec les rayons IB', IB, décrivons deux nouveaux aro se coupant en m et m'; les points M, M' appartiendront à une branche de la courbe, et les points m , W à Pautre brandie. Car pui^pie FM=: IB et FTtf = IB', on a FM — FM=:BB' ^= ^k ; donc le point M est à Phyperbole demandée ; et il en est de même des points M', m et m!.

En répétant ces constructions avec des points sur le prolongement de FT; mais de plus en plus éloignés de F, qn obtiendra autant de points qu^il sera nécessaire pour tracer, à la main, k courbe avec quelqu^exactitude.

107« Maintenant que nous savons tracer Iliyperbole et que nous avons une idée exacte de la forme quelle affecte, cherchoiis son équation. A cet effet, plaçons Porigine des coordonnées rectangulaires au milieu O de la droite IT', que nous représenterons par 30, et dirigeons Taxe des x suivant cette droite (fig. 16). Soit M un point quelconque de la courbe ; soient x, jr les coordonnées OP, PM du point M ; enfin, soient r et r' les rayons vecteurs FM et F'M, dont la différence, diaprés la définitioa, est constamment égale à la droite donnée aA : on aura d^abord f^ — rzzaA.

Ensuite , à cause de FP = «r — x et de FT =: e -}- x, les triangles FMP, F'MP fournissent

f^=y + (^o-xy et f^^z=y + (c + xy.

Prenant successivement la somme et la différence de ces équations, et réduisant, il viendra

r^'-f f^ = 2r' + ax' + ac' et f^' — r» = 4cx.

Or, f^ — r^ étant la même chose que (r' — r) (r'-f- r), si dans ce produit, on substitue

W — rmaA,

on en déduira f^ -|- r z= -r- •

Ces deux équations donnent

j ex . , ex .

Substituant ces valeurs dans r'^ '\' r*z=i ^j* + ^^* + a^'i

( 67 ) d'où Ay + (A'— c-)x* = A*(A*— c*).

Mais ona va(io5)qae 2A< ac oa A<^e; donc e* — A* esl positif. Posons ^^-^ A* == B', B sera une quantité donnée et réelle, et nous aurons A* — c* = — B' ; d'où Ton tire

A>*— BV = — A»B*5 et telle est Péquation la plus simple de llijperbole.

Cette équation se déduit de celle de Fellipse, en changeant, dans cette dernière, B* en — B* ou B en B y — i. Ce changement dans les propriétés de Pellipse , conduira donc à celles de Phjperbole. Ainsi ces deux courbes jouissent de propriétés analogues , bien que leurs formes soient très-différentes.

108. Prenant la valeur de jr dans Péquation précédente de l'hyperbole , on aura

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires, il s'ensuit que pour une même abscisse OP, il j a deux ordonnées égales PM et PM'; la coui4>e est donc divisée en deux parties égales par l'axe des x.

Fraisant a: :^ o , pour avoir les points où la courbe rencontre l'axe des jr^ on aura ^ = =t: B [/ — 1 \ ces deux valeurs étant imaginaires ou impossibles , l'hyperbole ne rencontre pas l'axe des ordonnées. Tant qu'on aura x<^ A, les valeurs de ^seront imaginaires et il n'y aura pas de courbe : si l'on prend x==±= A, ou X = OB et X = — OB', il viendra j- = =1= o ; l'hyperbole rencontre donc l'axe des absdsses aux deux points B et B\ qui donnent BB' =: 2 A. De plus, x z=: A représentant une parallèle à l'axe des ordonnées, et les deux valeurs de jr étant alors nulles, les deux points où cette parallèle rencontre l'hyperbole , se réunissent en un seul en B \ donc cette parallèle BU' est tangente à la courbe an point B. On verra de même que la parallèle x= — A ou SS', à l'axe dcs^, est tangente à l'hyperbole au point B'.

Si l'on prend l'abscisse x positive ou négative, mais numériquement plus grande que A, les deux valeurs de^ seront chaque fois réelles, et d'autant plus grande, que x sera plus grande ellejnéme ; la courbe s'étend donc indéfiniment à la droite du point B et à la gaudie du point B'.

Enfin on voit que l%yperboIe est composée de deux brandies égales, opposées et indéfinies, dont la plus petite distance est BB' ou sA (car la plus petite abscisse est x= A ou xzzi — A); et en pliant la figure soit suivant Taxe des x, soit suivant Taxe des^, les quatre parties de la courbe se couvriront par&itement, et sont égales. Cela résulte aussi de la construction donnée plus baut (io5).

log. Les quantités a A et iB sont dites les axes principaux^ ou simplement les ase$ de Pbjperbole , bien qu^elle ne détermine que le premier , égal à BB', par sa rencontre avec Taxe des abscisses ; a A est le premier axe , aB le teeond et Porigine O le centre de la courbe. Les extrémités B et B' du premier axe , sont les eommête de Tbjrperbole ; et quand elle est représentée par Péquation A'j** — B*x'=:— A*B*, on dit qu^elle est rappariée à êe$ axe$ et au centre.

Lorsque les deux axes sont égaux, Phyperbole est dite êqui' îaAre \ son équation est alors

^ar' = -A^

l%}rperbole équilatère est donc entre les hyperboles , ce que le cercle est entre les ellipses.

110. Connaissant le premier axe BB' et les foyers F, F', rien n^est plus facile que de construire le second axe sB ; car ayant B* = c* — A' =: OF' — OB*, si du sommet B comme centre et d^un rayon égal à OF, on décrit un arc coupant Taxe des ordonnées aux points C et C^ on aura 2B z= CC^

Si Ton veut trouver les deux foyers, connaissant les deux axes BB' et ce, on observera que c» z= A* + B*z= OB* + OC% et alors décrivant du centre O et avec le rayon CB , un arc , cet arc coupera Taxe des x aux deux foyers F et F'.