Toute équation de la forme My* — Nx* = — P, M, N et

P étant des nombres posttifs, et les coordonnées étant rectanp^

lairesj représente une hyperbole. D^abord en multipliant les deux

membres de cette équation par =rr=^, puis posant A* = =^ et B*

= :jr;=- , on dura

M Ay — B'x* = — A'B* ... (1)

Dans cette équation A et B sont connus. Prenant sur Taxe des X, de part et d^autre de Torigine O, deux points F et F, tels que OF = OF' =z c ( fig. 16) et qu'on ait e* = A» + B* \

dësignani par deiéPleB distances FM et F^M da point M ou (x, y) de la courbe (i ) aux deux F et P; on aura évidemment

tPrrj^ + Cc-x)' et d'^nz^ + (c + x)\

Développant et observant que jr* =: —r^ B* et c' = A' +

B*, on verra , en opérant comme pour Pellipse (56) , que

d:=z^ — jL et i' = ^+Ai tfoù i' — i=aA.

Ainsi la courbe représentée par Péquation (i) et conséquemmeut par Péquation proposée M^* — Nx' z= — P, est telle que la difiërence des distances de chacun de ses points aux deux F et F', est constamment égale à aA ; donc cette courbe est une hjrperbole (io4)) dont sA et 2B sont les axes et F, F' les foyers.

Diaprés cela , si on avait Ij-* — ^ — ax -f- ^ — fx* =z o , rien ne serait plus facile que de tracer la courbe représentée par cette équation, après en avoir chassé les premières puissances de X et de j", en y faisant xznh^x'etj'zzik •\- y •

lia. Si Von coupe lê$ deux nappée opposêee Xvn cène droit, par un plan perpendiculaire au plan HCIN' conduit euivanttaxe VCV, finiereeetion FNMT eera une hyperbole (fig. 17).

Les deux surfaces convexes pouvant être prolongées à Tinfinf , il est clair que le plan coupant rencontre HIGN' suivant la droite KNN' et les surfaces convexes suivant une courbe composée de deux branches infinies, telles que FNT. Plaçons Porigine au milieu O de la droite NT9' z= 1 A , et Taxe des x suivant cette droite. Soit M un point quelconque de la courbe , et MP zrj^ , OP = X , les coordonnées rectangulaires de ce point \ nous aurons NP z= X — A et N'P = X -|- A. Menons suivant la droite MP, perpendiculaire au plan HIC , un plan perpendiculaire à Taxe CV \ ce plan coupera le cône suivant un cercle , ayant DS pour diamètre. Mais M étant un point de la circonférence de ce cercle \ et MP, perpendiculaire au plan HIC , étant aussi perpendiculaire au diamètre DS, il vîent^'zz: PSxPD. D^aillcurs, les triangles HN'K et DN'P sont semblables , de même que KIN et PNS ; on a donc

kn';x+a::kh:dp et kn:x— a::ki:ps.

Substituant les valeurs de DP et PS , tirées de ces proportions, dans Pexpression de j*', on aura , pour tous les points de la courbe ,

Pour avoir les dhtanoes de rorigîne aux points où la courbe coupe Taxe des coordonnées , il faut faire x=: o dans son équation ; ce qui donnera