HK.KI
^— KN'.KN Donc ces distances sont imaginaires : si on les représente
chacune par B y — * i ^ >^ra connu, et Téquadon de la coarbe pr<^osée deviendra
Ay— BV.-= — AV.
cette courbe est par conséquent une hjperbole (m), dont aA, 2B sont les axes, N et N' les sommets et O le centre.
1 13. Il est aisé maintenant de tirer de Péquation de lliyper bole , les diverses propriétés de cette courbe , lesquelles , comme on a vu (107), sont analogues à celles de Pellipse.
D'abord en résolvant Téquation A^ — BV= — A*B', par rapport à j**, on verra que dans llijrperbole , les carrés des or* données sont entre eux comme les produits des distances des pieds de ces ordonnées aux sommets de la courbe*
Ensuite*, il est fadie de voir que la double ordonnée qui panç
par un foyer, vaut -^. Onlanommejvarom^/trv.- c^est onetroi-
sième proportionnelle aux deux axes aA et aB.
1 14« Toute âroiU m'OM vMnk9 par le centré O est iermmk départ et d'autre à f hyperbole, en ett un diamètre, parce qy^elU e$t divisée par ce centre en deux parties égales (fig. 1 6). En e^et, les équations de la droite m'OM et de Thyperbole , étant
j^ = ax et Ay— BV = — A'B*;
si on élimine^ de ces équations , Téqoation finale donnera lei abscisses des intersections de la droite m'OM et de Phyperbole: on aura AB
|/B« — fl>A>
Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires , si Tune est OP, Tautre sera OP' := OP ^ et les deux triangles rectangles OPM et OPW seront égaux: donc 0M= OmK
11 5. Pour que le diamètre soit réel^ il faut qu'on ait B*^
o*A* : si B* était moindre que a*A', les valeurs de x seraient impossibles, aussi bien que celles de^; le diamètre n^existerait donc pas , ou serait imagmahrê. Enfin , si B* = a' A*, les valeurs de a: et de ^ seront infinies, et le diamètre lui-même aura une longueur infinie.
Dans ce cas, a=:=t=-r, et les droites j"=i:-x,j'=r — -x,
ne rencontrent l^jperbole qu^à une distance infinie : on les appelle asymptoteê de la courbe ; pour les <x>nstruire , il suffit de mener à BB' et par le sommet B , une perpendiculaire , sur laquelle on prendra les longueurs BR et BR', égales chacune au demi-second axe B : OR et OR' seront les directions des deux asymptotes cherchées.
Soient j^ et^ les ordonnées de I^yperbole et d^une asymptote , qui répondent à la même abscisse x \ on aura donc
jr-z=z— B' ety«=— -, tfoùy-^=;
Par ces valeurs , il est clair qu^à mesure que Pabscisse x augmente , les ordonnées jr^ y augmentent aussi , et leur différence diminue ; la courbe approche donc de plus en plus de Fasymptote ; enfin , si x est infinie , il en sera de même dejr^y et la différence^ — jr sera nulle. D^où il suit que les asympioieê de f hyperbole, à partir du centre O , vont continuellement en t^ approchant de cette courbe, eane nèanmoinê pouvoir la rencontrer, autre part qt^à V infini. Et c''est de là que ces droites ont reçu le nom à'^aeymptote.
Il est dair que les asymptotes de l^yperbole séparent ses diamètres réels de ses diamètres imaginaires; et que si une ellipse et une hyperbole ont le même centre et les mêmes axes, les diamètres ^ux de la première formeront, étant prolongés, les asymptotes de la seconde.
1 16. Le premier axe de t hyperbole cet lepluê petit de tous eea diami^tree. Gur soit d un demi-diamètre et (x, j-^ son extrémité \ on aura à la fois
yz=z^—Vtxf=y+x'\à'ohér=^^:^x'—B\
On voit que d sera le moindre possible quand Tabscisse x aura sa moindre valeur A ; ce qui donne i = A. «
n est aisé de voir aussi qn^une ligne droite ne peut couper lliyperbole en plus de deux points*
iî7. Lonquêâêux lîraito* y z= ax + b tt jz^nfx + V nSêê iêê eshimitiê du premier asê, ie eoupeni sur Phyperholê, en a taufcun A*aa' — B* = o ; et rèeiprofuêmeni. Même démonstration qu^aa n* 62. Gda résulte d^aiUeiirs de ce qœ B*, pour Pellipse , devient — B* pour ITiyperbole.
Les deux droites précédentes sont des cordeM tuppUmantaim de lliyperbole, parce qu^on appelle ainsi deux droitesqui, partant des extrémités d^un même diamètre , se coupent sur la courbe.
1 18. Suidant qu^un point (x, y) e$t sur f hyperbole, au-éehors ou au'dedane, le trinôme A^" — B*x* + A.*B* eet nul,pe' eUifou négatif; et réciproquement. On sait déjà que ce trinôme est nul pour tout point {pc^jr) sur Phyperbole. Mais Tabscissex restant la même , si le point {x^jr) est au-debors oa ao-deda» de Phyperbole , Tordonnée y sera plus grande ou plus petite que sur la courbe \ le trinôme sera donc plus grand ou plus petit que zéro \ il sera par conséquent positif ou négatif.
1 19. La tangente à lliyperbole n^étant qu^une sécante , dont les deux points d^intersection avec la courbe, se réunissent en on seul , il est clair qu^en opérant comme pour Pellipse , on trouvera que la tangente j- = or -{- ^ 1 à Tbyperbole, au point (x'\y^)i a pour équation
Ayy — B»xx" = — A'B% ... (1)
et que la direction de cette tangente est donnée par la valeur
Tout cela résulte encore de ce que B', pour Pellipse, devient — B*, pour l^jperbolc. Mais on ne peut plus vérifier, comme dans Pellipse, que la droite représentée par Péquation (1), n^a que le seul point (x", y) de commun avec ITiyperbolc. Void alors comment il faut procéder :
Prenons la valeur àejr dans Pcquation (1) et substituons cqtte valeur dans le trinôme A*j^ — Ë'x' + A*B* ; en réduisant an même dénominateur A*jr"^^ puis en remettant au numérateur, au lieu de Ay% sa valeur BV — A'B% tirée de Péquation de Pbypérbole , nous aurons
Le second membre de cette égalité sera toujours positif ^ il en
sera donc de même da trinôme A.*^* — B*x* + A.*B", jponr tous les points (x, jr) de la droite (i) ; tons ces points, à Pexception du point {x"^j")^ sont par conséquent hors de rhjperbole (118). Ainsi la droite ( 1) n^a que le seul point (rr^^ y) de commun avec l^jperbole ; donc elle lui est tangente en ce point.
130. La valeur de a, qui détermine la direction de la tan* gente, étant unique, il sVnsuît que par un point (x"^ y)^ donné sur llijperboie, on ne peut mener qu^une seule tangente à cette courbe.
Cest ce qu^on vérifie d^ailleurs en cherchant le point de contact (x"y jr") d^une tangente à llijperbole, menée par ud point (x'fj^ donné. Dans ce cas, les équations de Phyperbole et de la tangente, sont:
Ay — BV = — A'B",
Kyy — B Vx" = — A'B".
Eliminant j^ de ces équations, on trouvera, pour x"^
^ A'B'x^ db Ay KAy » -- B«x^* 4- A^ ~ BV— Ay*
Par cette formule et le principe du n* 1 1 8, il est visible que, suivant que le point (^x^^y)esl hors de l^jperbole, sur cette courbe ou dans Pintérieur, rr'' tlj" ont deux valeurs réelles, une seule, ou deux valeurs imaginaires \ donc il 7 a deux tangentes, une seule ou aucune.
121. La valeur précédente de x", peut aussi sMcrire comme il suit : '
*^ ~BV» — Ay»\ '\r y 'T ^aga J
Cela posé, 1* lorsque le point (x', y) sera entre la courbe et une asymptote, dont Péquation est Aj-=zBx (11 5), on aura Ay <^'Rx'\ la fiaction sous le radical sera négative; donc la quantité affectée du double signe =t= sera moindre que A;^, et à plus forte raison, moindre que Bx'; donc, puisque Ay << B'x'*, les deux valeurs de x" seront positives. De sorte que par un point prié ênire t hyperbole ei une asymptote j on peut toujoure mener deux tangentee à une même branche,
a* Si le pomt (x', ^ ) est entre les asymptotes , on aura A^ > Bx' ; le numérateur de x" aura donc deux valeurs de si^es
( 64 ) opposés : et comme alors le âénominateor est D^tif , il s^ensmt que 3^^ aura une valeur positive et une négative. Donc il y aura une tangente à une branche et une à Fautre.
3* Enfin , si le point (jxf^ y) est sur une asymptote, on aura A.y = B'x^ et les deux valeurs de x^' deviendront j:'' ^ 2- et x^'izi 00. Opérant pour &ire disparaître le facteur commun aux deux termes de a;'', la première valeur de cette abacisse deviott
a;''=:-=-j(j^*4*®*)' Qoant à la seconde valeur, die reste
toujours infinie. Ainsi , par un point pris sur une asymptote, on ne peut mener qu\me seule tangente à Phyperbole.
n y a bien, si Ton veut, une seconde tangente; mais son point de contact avec la courbé est infiniment éloigné. Effectivement , ce point étant sur Phyperbole et son abscisse x'^ étant
infinie, son ordonnée^' est aussi infinie et se réduit à^zz-^*
Et comme la valeur de a , qui convient à la tangente , est az=
j;-^, en y substituant la valeur qu^on vient de trouver pour j*,
on aura a = t* Or, cette valeur détermine la direction dVine
asymptote \ donc la seconde tangente qui nous occupe, coïndde avec cette asymptote.
122. Si dans Péquation de la tangente MT an point M, on fait j^ =r o , on aura Tabscisse x ou OT du point T où cette
droite rencontre Taxe des x (fig. 17), et il viendra OT =— ;
ce qui montre que la tangente ne passe par le centre que quand le point de tangence est à Tinfini. Mais F et F' étant les foyers,
on a OFz=OF'z=:c, FM = ^' — A et FM == — + A (107); donc
tf=of-.ot=c-^=^(^^'a)=^,xfm,
1T'=OF + OT=c + ^, = A(^' + a)=^,XFM.
De là résulte TF ; TF' : ; FM : FTVI ; ce qui montre que BIT divise Pangle FMF' en deux parties égales. Ainsi âanê ThypêrboUj le» droite» menieê dê$foy9r$ au point de tangoneojfini la tangente et de part et £ autre de cette Hgne, deux angUa égi
D^où il est visible que la normale MN dirnse en deux parUte
Àgaîes le suppUmênt FBIK ds PanglefornU par les rayons r«cieun menée au point de tangence.
iiS. Proposons-nous maintenant de construire une tangente à riijperbole , par un point donné. Supposons d^abord ce point sur la courbe , en M ; menons les rayons vecteurs FM et F'M ; prenons MH = MF et tirons MT perpendiculaire à FH; cette perpendiculaire sera la tangente demandée. Car les deux triangles rectangles MIF et MIH étant égaux ^ k droite MT divise en deux parties égales Pangle FMF' des deux rayons vecteurs FM et F'M ; donc MT coïncide avec la tangente au point M (lia). Il serait d^ailleurs facile de démontrer que tous les points de la droite MT sont hors de l^yperbole , excepté le point M.
Supposons maintenant que le point donné soit hors de PhypeAde , par exemple en G : de ce point G comme centre et du rayon GF , décrivons un arc ; du foyer F' comme centre et avec le premier axe a A pour rayon , décrivons un second arc qui coupera le premier en H et H^ : les droites F'H , F^H', iront couper lliyperbole aux points de contact des deux tangentes que l'on peut mener à la courbe , par le point G ; de sorte que M étant Tun de ces points , GMT sera tangente en M. En effet , par construction, FM— HM=F'H=:!2il. Mais H étant sur lliyperbole , on a aussi F'M — FM = 2 A ; donc MH = MF. D^ailleurs GF ^z GH ; donc la droite GMT est perpendiculaire au milieu de FH; ainsi, diaprés le premier cas, elle est tangente ea M.
124. Le point I étant le milieu de FH et le point O le milieu de FF^ il est clair que la droite OI est la moitié de F'H ou de 3 A. Ainsi les piedê des perpendiculaires menées d^unjbyer sur les tangentes à f hyperbole, appartiennent à la circonférence ayant le premier axe pour diamètre.
Menant Ox parallèle à MT, on verra que la figure OIMs est un parallélogramme, et qu^ainsi Mz=OI= A. D^où il suit que dans fhyperèole {comme dans t ellipse), la partie «Fun rayon recteur comprise entre la tangente, et sa parallèle menée par le centre, est égale à la moitié du premier axe.
Cette propriété et la précédente donnent le moyen de construire f hyperbole (ou Tellipse) dont on connaît le centre O, la longueur du premier axe 2A, une tangente et son point de contaei M. Car les perpendiculaires à la tangente, aux points I et V où elle est coupée par la' circonférence décrite du centre O et
^ ( 06 ) du rayon A, passent par les foyers, ainsi que les parallèles menées par M aux droites 01 et Of'.
1 15. n est facile de voir que Péqnation de la normale h Hiy-
Les valeurs de la souiangenie et de la »aunarmale , sont respectivement ^f^^lL- ^
