Voici quelques théorèmes à démontrer

t. Si la droite j'= ox 4-^ est tangente à Phyperbolc, on aura toijoan A«a»— B» = 5*.

n* Les tangentes aux extrémiub d^un même diamètre de rhjjpedMie, sont parallèles entre elles ; et réciproquement , si deux tangentes à 1^perbok, sont parallèles, la droite qui Joint les deux points de oommI| passe par le centre.

U soit de là que trois tangentes à Phyperbole ne peuyent jamais eue parallèles entre eUes.

m. La plus courte distance entre Phyperbole et un point du proloogement du premier axe , est la normale qui passe par ce point.

IV • L^origine étant au sommet ( — A , o ) et les coordonnées paralUks aux axes aA et a6, Thyperbole est représentée par A^ — B*x*=:— aAB'x, et sa tangente an point (ac",^' >, par Ayf' — B»x*"s=— AB»

V. Dans Thyperbole , le demi-second axe B est moyen proportiooDcl, 1® entre les distances des deux foyers à la tangente; !»** ent^ les ordoanées de la tangente qui ont leurs pieds aux sommets de la courbe; 3* entre les distances d^un foyer -aux deux sommets ; 4^ enfin entre la botmaie et la perpendiculaire menée du centre sur la tangente.

VL Le sommet d^un angle droit mobile , dont les c6tds sont coolinuellement tangens à Thyperbole, décrit une circonférence de mène centre et ayant t^A' — B« pour rayon.

Vn. La portbn d^une tangente à Phyperbole, comprise enin iei perpendiculaires aux extrémités du premier axe , est le diamètre dHne circonférence qui passe par les deux foyers.

Tous CCS théorèmes sont analogues à ceux énoncés pour Pdlipst (77) et s^en déduisent en y changeant B* en -^B*.

YIII. Les droites qui vont d^un mèaae point quelconque de Phypct^ bole équilatère aux extrémités dW même diamètre réel (on Croiuverjc), font des angles égaux avec Tune quelconque des deux asymptotes. (Oa démontrera d^abord que pour les droites proposées , les a et a' sont idi, qu^on a toujours ao^ = i , elc. )

127- On appelle dUMÙtret conjuguée de lliyperbole, deax diamètres tels , qaVn les prenant pour axes des coordonnées , Péqaation de la courbe conserve la même forme que pour ses axes rectangulaires.

Pour trouver ces diamètres , prenons les formules qui servent à passer d^un système d^axes rectangulaires à un autre système de même origine (45) , savoir :

x — ^^^ et y-^ + fZ!

formules dans lesquelles m*=z i -f- a* et m"= i -}-a". Substi-* tuant ces valeurs de x et de 7* dans Téquation A^* — B'x* =s — * Â*B*, qui est celle de Phyperbole rapportée à ses axes et au ceotre, on trouvera

Pour que cette équation soit de même forme que celle qui est relative aux axes lA et 2B , il faut qu^elle ne contienne pas \û produit 3^y des nouvelles coordonnées \ il faut donc profiter de rindétermination de a et J pour faire disparaître ce terme , ^eiï .rendant son coefficient nul ; ce qui donne la cotidltion

et Téquation de là courbe devient , en y supprimaq# les aocens des coordonnées obliques x' e\jr%^

La condition (t) qui existe entre les inconnues a et af étant du premier degré , admet une infinité de Valeurs réelles pour ces inconnues ; il 7 a donc une infinité de systèmes d^axes de coordonnées, pouf lesquels Téquation de l^jperbole ne contient que les carrés ^, x* des variables , avet un terme constant. Mais pas un seul de ces systèmes, autre que celui des axes, ùe sera rectangulaire , puisqu^alors on devrait avoir aa!^ 1=0 ; ce qui réduit la relation (1) à A* -f- B'=: o , chose évidemment impossible.

128. Nous avons vu (1 15) que lés diamètres dirigés suivant les droites ^=00: eijr=za'x ne sont réels, c^est-à-dire ne^ rencontrent liyperbole , qu^autant que B' > A V et B* > ii^'A*^ «Ml B ^ Aa et B ^ o^A. Mais ces inégalités ne sauraient exister en même temps, pour les diamètres conjugués \ car diaprés la

relation (i), si B ^ aà, on aura B ^ a'A, et rédproqaemcnt. L^hyperbole ne rencontre donc jamais à la fois ses diamètres conjugués.

Supposons quelle coupe Taxe des x ; alors on anm B ^ ^ et B << afk. Faisant ^ = o et x = o, dans Téquation (a), on aura les distances de Porigine aux points où lljperbole rencootre les axes des a: et des ^ obliques : en désignant ces distances p» Â' et D , la première étant comptée sur Taxe des abscisses et la seconde ^ur Taxe des ordonnées, on trouvera

^^^ = 5 zTz et D* = -r— - — =-.

B» — «'A» A«af* — B»

Comme B ^ «A et B *< Aof , on voit que la distance A' al réelle et la distance D imaginaire, comme cela doit être, pois^ la courbe ne rencontre pas Paxe des^. Cependant on a oontoM de prendre, sur Taxe des^, deux points C et C éloignés chacan de Torigine d^une distance B' telle, qu^on ait B^=z: — D*. Alon 2Â,' et ^B' sont appelés les dianùires eor^fuguis de llijpCTlxik, bien que le premier 3 A' soit le seul terminé à la courir : aA'ert le premier diamètre conjugué et iB' le second,

lag. On voit d^ailleurs que, pour déterminer les longnenn

A' et B', on a

, A«B»m« ^^ A«BW«

Prenant dans ces équations , les valeurs des dénomnaateoR, et substituant dans Péquation (i) de Fhjperbole , on obtieot

équation qui se déduit de Téquation analogue de rellîp6e,eD changeant B'* en — B^ dans celte dernière.

i3o. Soit ê le sinus de Tangle compris par les diamètres conjugués lA' et aB'; il est clair qu^en raisonnant comme pour TeUipsCf les équations (i) et (3) donneront

A'" — B'' = A'-.B' et A'B's = AB,

relations fournies par celles analogues de Pellipse, en changeant dans œs dernières B' et B^, respectivement en — B* et — B''. La seconde de ces relations nous apprend que le pwf^Mhgramme eoksiruit eur deux diamètres conjuguée qudeonquee ir f hyperbole, cet équivalent au rectangle construit sur les deux axes.

Qpanl'à Fégalilé A'' — B'' = A' — • B% elle montre que la différence des carrés de deux dianùtree conjuguée de ThyperhoUs paui la différence dee carrée des deux axée.

Il n^ a donc que Phyperbole équilatère qai ail ses diamètres conjugués égaux ; et tous les siens le sont deux à deux.

i3i. L^équation de l^yperbole, rapportée à ses diamètres conjugués aA' et aB', étant hTj^ — B^x» = — A^'B'», on tire de cette équation et de la relation (i), les théorèmes que yoid à démontrer, et qui sont analogues à ceux énoncés (89) pour TeUipse :

]* Guiquê dianùtre diviee lee cordée foralûlêê à eon eonfugui en deux fortiee égalée. D^où il suit que pour avoir us diamètre et le centre dWe hyperbole tracée, il suÎDKt de mener une droite {MUT les milieux de deux cordes parallèles et de répéter cette opération pour deux autres cordes parallèles.

3* Lee carrée dee ordonnéee aux diamhtree conjuguée, eoni mUrê eux comme lee produOe dee dieianeee dee piede de cee or~ êonnêee aux pointé eu Taxe dee ahecieeee coupe la courbe.

De sorte que pour décrire une hyperbole dont on connatl deux diamètres conjugués et Pangle qu^ font entre eux, il faut d^abord tracer une hyperbole sur ces diamètres , pris pour axes rectangulaires, puis indiner les ordonnées de cette hyperbole sous Pangle donné, sans changer letHS longoeucs : ies points ainsi obtenus appartiendront à l^yperbole demandée.

3^ Lee tangentee aux extrémiiée é^un. diamètre réel de f hyperbole j eont paraUblee à eon confugué; ei réciproquement.

4* JDeux dianùtree conjuguée de f hyperbole, eont toujours pflrallblee à deux cordes supplémeuiaires menées des extrémiiée du premier axe.

Ce qui donne le moyen , connaissant une hyperbole et ses deux axes, de trouver deux diamètres conjugués, comprenant entre eux un angle donné.

5* Pour deux cordes supplémentaires ^=:iix+ 5 eijrz=a^x J^ b\ menées des extrémités de ^A\ on aura toujours A!*aaf — B'*= o ; et réciproquement.

6* La tangente ^=aj: + * à Hyperbole, au point (x", y')^ a pour équation

i^iyyf w*xx" = — A^B»», ou A' V — B'» = b\

la valeur de a étant

7"* Si une corde suppUmeniaire est paralliU au âianAlre nmà au pomi de iangence, f autre corde eera paraUhU à la tamyetUe.

On peut donc , sans connaître les axes , mener une langeme à rhyperbole, soit par un point donné sur cette courbe, soit parallèlement à une droite donnée.

S"" Si un diamètre réel de l^yperbole est parallèle à mie coide supplémentaire, son conjugué sera parallèle à Pantre œnk, comme étant tous les deux parallèles à la tangente à une eitiémité du premier diamètre ( 3*" et 7'' ) ^ Tanglè entre ces diaaètres conjugués sera donc le même que celui des deux oordo supplémentaires.

De là, si lliyperbole est tracée, on trouvera aisément den diamètres conjugués, comprenant un angle donné, lesqadi seront les axes , quand Tangle sera droit.

i3a. Dans P hyperbole rapportée à ses mxes^ les rectangles conitnà» sur les coordonnées d€s extrémàés positives de deux diamètres eesj^ gués^ sont équivaUn* entre eux. Soient (x, jr) et {xf^y) ks caLtrénléi positives des diamètres conjugués aA'et aB'^ les équations de ccsdianè-

1res donneront évidemment a =s ~ et a' ='^. Substituam ces fikai»

dans la relation A>aa'= B' et dans la seconde relation (3) , pois obio- ▼ant que x(*-|-jf'*=B'*, on trouvera

Ay»— BV' = A»B».

Pe plus, comme Textrémité (x, jr) appartient à PhjrperitMle, m a

Ay— BV = — A*B'.

Substituant dans cette équation , les valeurs de A* et B^, tirées des deu équations précédentes, et réduisant, on obtiendra sy:=:^ji» Ceqo^ Oïdlait démontrer.

Au moyen de xy'=:zx^y\ les valeurs que Ton vient de trouver pov A'

et B% deviennent a» = x' — x'' cl B' =y' —y,

relations fort remarquables.

i33. Ze produit des distances du point de tangenee à ceux oit le UBh gente rencontre les axes de V hyperbole y est égal au carré du demdiamètre B' parallèle à cette tangente (fig. 18 )• Car la tangente HTO rencontrant les axes en T et U, et le diamètre ON=:B% ooi^ague <k OM=A', étant parallèle à MT (i3i, 3°); si Ton mène MR parmOèkà PP, les triangles MRU et MTP, semblables à QMQ, donneront

«:»'::BllU:B^

Mullifliant par ordre, et obserrant que a^'s^^y^ on trouvera MU XMT = B'».

i34* Bëcrivant sur TU comme diamètre, une circonférence rencontrant OM en O et en I, on aura OM X IM =: MU X MT, ou A'xIM

=:B'', on encore EM[=r-Y-.*

De }k fésulte le moyen de construire les axes de Pfyperbole^ eonnai»» sont deux diamètres conjugués a A' et aB', ainsi que V angle MON qu^ds font entre eux. Pour cela, sur le premier diamètre 0M=: A', on prendra MI = -^^ par le milieu de 01, on élèvera une perpendiculaire, qui

eoiq>era enV la parallèle MU à ON=:B'; du centre V et du rayon VO, on décrira me circonférence, qui coupera MU aux points Tet U où cette parallèle rencontre les axes chmliès : menant alors les droites OT et OU, puis MP perpendiculaire à OT; le premier axe aA se construira par la formule A* == OP X OT. On aurait de même B' = MP X OU.

l35. Let coordonnée^ comprenant un angle I, toute équation de laformo Vtf — Nx* = — P, ( M, N e^ P étant dêtnomhret

poiitifi') représentB une hyperbole. D^abord si Ton prend les

nombres A' et B' tels qu'on ait A'* = =j et B'* = ^^ , celle équation deviendra

A'>jr» B'*x* = — A"B'» ... (4)

Or, on peut toujours trouver une hyperbole dont a A' et 2V soient les diamètres conjugués, comprenant Pangle I; car en désignant par e le sinus de cet angle , les axes lA et aB seront donnés par les relation* A* — B* = A'^ — B'* et AB = A'B'*, desquelles on lire

d'où il est visible que les valeurs de aA et aB seront toujours réelles.

Connaissant les axes lA et iB, on pourra tracer l'hyperbole ; et cette hyperbole, rapportée à ses diamètres conjugués a A' et aB', sera représentée, comme on Ta vu (lag), par l'équation (4) et conséquemment par l'équation prop<Mée Jâj^ — Nx*=: — F.

i36. Lorsque les deux diamètres conjugués aA' et aB' sont donnés, ainsi que Tangle compris 0, on peut calcider les longueurs des deux axes, par les formules que Ton vient dVbtenir; mais ces formules sont com-

pliquëes et difficiles à conslruire ; il impofte ^onc de déterminer ii poii. tion des axes, sans faire usage de kmrs valeius. Or, m, étant Pan^e compris entre A et A', Paogle entre A et Basera 0 -f~ * ) ainsi dans les ibmuila (3), on a tang «=:a et tang (â-f-«)=a'. Divisant donc ces cenx fermaies Tune par Tautre, après y avoir substitué K^aaf au liet de 6*; réduisant d^ailleurs, au moyen des principes de la trigononetrie, on obtiendra B'» sin a9

""^^^^A''— B'*cosaô' formule qui s*appliquera à Pdlipse, en y diangeaitt B'* en — V*.

iZ']. L^équalion de Phyperbole prend une forme irèhsîmple, lorsqu^on choisit ses asymptotes pour axes des coordosnées. Eo efTct, comme alors les a et J^ qui déterminent les aouveanx axes des sf et des y^ à Tégard du premier axe ^ A de k combe,

pDt respectivement pour valeurs az=i — -r-eta'^^O i,5) ; d^oa

m*= 1 + «' = — j; — = m'*; Téquation (•) élu n* 1^7, quiot

celle de Fhyperbole rapportée aux nouveaux axes , se réduit à

xy = — J (if)

Dans cette forme nouvelle de Féquatiou de llijrperbole, 00 reconnaît aisément la propriété caractéristique des asymptotes de s^approcher sans cesse de la cofurbe; càr jr* devient nul dès que x' est infini , et réciproquement.

1 38. IjO paralUlogrammê comiruU sur les cocrdonnSes im point quelconque de Vhyperhole, rapportée à ses asympiotes, td équivalent au losange ayant pour dimgonalss Us ieux dsnd-ûsu de la courbe (fig. 19).

Soient OX' et OY* les asymptotes , c^e«t-à-dirc les nooTetn axes des x^ et des^; soient B et B' les sommets de la courbe; afi^y les coordonnées du point M et OFMQ le parallëlogranme construit sur ces coordonnées. Par les sommets B et B' menooi des parallèles aux asymptotes \ diaprés la construction de ces lignes, la perpendiculaire BH = le demi-second .axe B = OC; la figure OBIiC est donc un rectangle. De plus^ comme Faillie BOH = BOD'= OBD, le côté OD=:BD et le paraUëlogranme ODBD'cst%m losange, dans lequel les diagonales OB=:A DD'= BH = B ^ de sorte qu'on a 40D*= A* + B\

Cela posé , soit s le sinus de Tangle QOP ; nous aveas vu ^20) que les aires des parallélogrammes OPIIIQ cl ODBD' qm

( 73 ) ont Pangle commun QOP, sont respectivement :xfy*È et OD*

OD' • 9 = OD* • f = — î — • #. Ainsi d^apris Téquation ( f ) de

I^hjperbole, ces deux aires sont équivalentes. Mais il est visible d^ailleurs que Paire du losange ODBiy est \^\ donc

ayf=^AB.

iSg^ Divisant cette équation par celle de Thyperbolc) on aura ^ aAB

formule que Ton obtiendrait d^ailleurs en substituant les valeurs précédentes de a et d dans Pexpression de #, trouvée au n* 17.

i4o. , Lorsque Phyperbole est équilatëre, #= 1 : le losange ODBD' devient un carré , et reste toujours équivalent au rectangle des coordonnées. Le grand losange. BCB'C\ quadruple de ODBD', se nomme làfvÙÈaneê de Iliyperbole : c^est le demirectangle des axes aA et aB.

i4i. Pour plus de simplicité, nous supprimerons les accens des variables jf et^, en nous rappelant qu^étant comptées sur les asymptotes , elles sont en général obliques. De plus , nous poserons A' -|- fi* = ^ \ ^^ ^l^rs , Téquatioo de Thyperbole , rapportée à ses asymptotes , sera xj = H*.

i4a- Réciproqaement, iouU équaUên de la formé xyzrH*, réprèê9nt9 une hyperbole, rapportée à eee aeympiotee. Car soit I Pangle des coordonnées proposées ^ il -est clair qu^on peut toujours trouver une hyperbole dont Tangle des asymptotes étant égal à I et son sinus désigné par #| ce sinus et les axes a A et aB satbfassent aux relations

A- + B- = 4H*el. = ^.

Ces équations , en efTct , fournissent

A + B=:;aH[/r+7et A»-B:;=aHj/i— #,

fonnules qui donneroot toujours poqr A et B des valeurs réelles.

Connaissant ainsi les deux axes aA et aB , on connaîtra aussi leurs directions , car le premier aA divise en deux parties égales Tangle des asymptotes , c^est-à-dire Pangle I des axes des coor^ données; l^yperbole pourra donc être construite (io5). Or, si Ton rapporte cette hyperbole à ses asymptotes , on trouvera , comme on Ta vu (187), r^=: J(A* + B*) ou ay=:H% c'est-

( 74 ) ifdke réquation proposée, P^ngle des asymptotes étant I. Cette équation représente donc une hyperboki rapportée à ses asymptotes; ce qu^il fallait démontrer.

143. Pour avoir Péquation'de la tangente à llijperbole xjr :=H*, nous considérerons cette tangente, connue une sécante dont les points d^intersection ( x'^y ) et ( :c'^ y ) avec la courbe se réunissent en un seul. L^équation de cette sécante sera

On a 'd'ailleurs xy=H' et z'y = H'5 d'oùyz=^'.

Substituant cette valeur et réduisant, on aura, pour Téquation de la sécante,

^-y'=-Ç (x-x^) et «=-^'.

Maintenant, si le second point d'intersection (x',^) coïncide avec le premier, ce qui donne j^' z=:j^" et x':zzx"^ la sécante proposée sera tangente au point {p^'^y) et aura pour équation ^ y*'. «v r^

i44« ^ faisant ^=0 dans cette équation, on aura Tabsosse X du point T où la tangente rencontre Taxe des abscisses , et x — x" sera là valeur de la soutangente PT ; il viendra donc PT = x" = OP ; c'est-à-dire que , lorsque f hyperbole eei rapporUe à Met asymptote», la soutangente, pour chaque point, eet égalée f abscisse qui lui correspond.

Si donc par le point M de l'hyperbole , on veut lui mener une tangente , il faudra prendre sur l'asymptote OX', et à partir du pied de l'ordonnée PM , la distance PT =: OP ) et TBIR sera la tangente demandée.

145. Les triangles TOR et TPM étant semblables ^ il en résulte TMzzMR. La portion de la tangente, entre les asymptotes, est donc divisée en deux parties égales par le point de eoniaei.

146. Soit une droite IF coupant l'hyperbole en G et & et les asymptotes en I et F; je dis que IG = PG'. D'abord on peut toujours mener une tangente RHT parallèle à la droite IF (1 3i, 7''). Et puisque le point de cofatact M est le milieu de RT, la droite OMMl' divise la parallèle IF à RT, en deux partiea égales au point M'* D'ailleurs le conjugué du diamètre OH est parai-

lèle k RT (i3i , 3*); il est donc aussi parallèle à la corde GG' ; celle-d>e8t dooc divisée en deux parties égales, en M', par le diamètre OM ( 1 3 1 , i* ). De sorte qu^ayant à la fois M'I= Ml' et M'G=M'&, 0 vient lGz=:V&. Donc , si une âroiU coupé f hyperbole et sês oifmptotee, 2ee parties de eetie droiie eompriseê entre le» aeymptotei et la courbe, sont égales entre elles»

i47* Cette propriété fournit un moyen bien simple de construire l^hyperbole, connaissant un de ses points et ses deux asjrmptotes. On mènera par ce point G une droite quelconque IGF, terminée en I et F aux asymptotes OX' et OY' ; on prendra l'& = IG , et le point & appartiendra à Thyperbole. On trouvera donc ainsi autant de points qu^on voudra de la courbe. Pour éviter la confusion d^un grand nombre de droites , tirées d^un même point , on pourra faire servir quelques-uns des points déjà déterminés , à en trouver d^autres.

Et comme Tangle des asymptotes peut se construire, dès que Ton connaît le rapport des axes (ii5), il réfulte encore de la. propriété précédente , le moyen de tracer t hyperbole, dont on coimaSt deux points, une asymptote et le rapport des axes principaux,

i48* La portion de la tangente, comprise entre les deux asymptotes, est égale en kmgueurau conjugué du diamètre mené au point de tangence. D^abord TR étant tangente en M , Paire du triangle TRO est double de celle du parallélogramme OPMQ, et vaut par conséquent AB (i38). Soit la demi-tangente MT=zm et le demi-diamètre OM = A' ^ Pangle OBIR est évidemment égal à celui que le diamètre lA' fait avec son conjugué 2B'. Si donc on désigne par s le sinus de cet angle, Paire du parallélogramme construit sur les demi-diamètres conjugués A' et B', sera A'B'f = AB ( 1 3o), et l^aire du parallélogramme construit sur A' et m, vaudra A!ms, Ce parallélogramme , double du triangle OMT, vaut le triangle OTR ou AB ^ donc A'B's= A'mt , et par suite B'=m.

i49* On voit de plus , quW menant du centre de P hyperbole, une paraUkle à la tangente à une extrémité tun dianùtre aA', la portion de cette paralUU entre Us parallèles aux asymptotes tirées de la même extrémité, exprime en grandeur et en direction le confugué^oW du dianùtre proposé.

De là résulte le moyen de trouver le conjugué d W diamètre

( 76 ) donné , connaissant les asjrmptotes ; et aussi de tracer les asymptotes , connaissant deux diamètres conjugués, en longuenrs et en directions.

1 5o. Uhfpêrbêle ètmU rapporih à $ê$ oêytnpioieâ, OX 9t O Y^ trouver Paire S du eegmeni BCPM , eon^niê entre la eaurèe, une aeymfiete et Uê deux ordonnée BC et MP (fig. ao).

L^éqoation de Phyperbole rapportée à ses asjrmptotes étant de ia forme a^=m*, les coordonnées du sommet B seront BG=:: OC =:= m. Soient x €Ajr les coordonnées du point M , de manière que OP =: X et PH z^jr. Appelons e la valeur que Ton trouve

en supposant n infini , dans le développement de f i -f- ~ 7 î ^° aura donc / i\* « i

Le nombre infini n étant supposé entier, la formule de Newton donnera, pour le développement de la valeur de «,

Le nombre n étant infini , il est clair que le quotient ~ est infiniment petit , et doit être considéré comme nul ; il vient donc

' a ■ a. 3 a. 3. 4 a. 3.4*5 ' ' ce qui donne , à moins dW dibillionième près ,

0 = a,7i8a8i8a845^ d^où Ton a trouvé pour le logarithme ordinaire de 0 ,

lezr, 0,434^944^ 1 9^' Cela pose, prenons sur GP n points (en y comprenant G et P ) tels , que leurs distances au point O forment une progression géométrique croissante, dont m soit le premier terme et Ç^e = r la raison , n étant toujours infini. Les ordonnées menées par ces n points divisent le segment BCPM en n — 1 trapèzes mixtilignes. Soit QRIN le v"** de ces trapèzes, à partir du point C ; à cause de n infini , il est clair que la raison r diffère infiniment peu de Punité , et que par conséquent les abscisses OC et OR sont presquVgales , ainsi que tes ordonnées QNetRI;laiSgttre QRIN est donc un parallélogramme. Si donc on désigne par s

C 77 ) le sinus de Tangle YOP, on aura , pour Taire du parallâogramme , QRIN =f X QR X QN.

Or, par consiruction OQ = m.r^"* el OR:=iii.f^; done

QR = mr^-"(r— i), QN=^=iitr-^+\ et par suite QRIN = m'#(r— i). ^

Cette valeur étant indépendante de v^ il s^ensuit que les n — i trapèzes qui composent le segment S sont tous équivalons , et qu'ainsi ona S = m»f (n — i )(r— i ).

Mais OP ou xssfitr^"'', parce que x est le n** terme dé la

progression : prenant de part et d'autre les logarithmes ordi-

naires, on trouvera, a cause de 1 r= —

Substituant cette valeur dans celle de S , puis observant que r — I zr ^ê — 1 =r -, on obtiendra définitivement

le \my

n est aisé de voir que Terreur commise en prenant QRNI

pour un parallélogramme , est moindre que — ^ ; ainsi Terreur

qui en résulte sur la mesure du segment S , est moindre que — , ou qu'une quantité infiniment petite , puisque n est infini.

1 5i . Si Ton veut calculer Taire du segment BMM', formé par Thjperbole, le prolongement de son premier axe et Tordonnée MM' parallèle au second , on remarquera que Taire du triangle OPM ou de son équivalent OCB , est ^mU. Et comme Tcspacc

BOM=BOC + BCPM— OPM=BCPM=2!î.|Ci['\^ on

en déduit

segment BMM' = ^OM' X MM' — ^^^ 1 (^) •

i5i. D'après les valeurs précédentes , si Thjperbole est équi-

latère , il sera bien facOe de calculer le volume décrit autour de

l'asymptote OX, par le segment BCPN ou S. En effet, le v""

parallélognukime QRIM devenant alors un rectangle, le volume

décrit par ce rectangle , autour de OX , aura pour mesure

^QN'xQRou , ,

in»V(r— i)Xj^-

Prenant sacoessivenientvzri, i,3,4i •••i»— i % onanra successivement les volumes produits autour de OX par les ii — i rectangles qui composent le segment proposé S ; la somme de tous ces volumes sera donc celui engendré par ce segment^ de sorte qu^on aura

vol.S=*iiiV(r— O^i + p + ^H 1-;:^)^

ou bien vol. Sz=:xm r f i — -^^n )•

Mais à cause de OP ou x =1119^ ""'^ il vient

vol. S^zzflrmVf 1 y

« Enfin , r= ^e donne r=r e^ : et puisque n est infini , on a

- =: o , puis r:r *• =z i ; d'*où résulte le volume cherché

vol. S = mn^ C * "^ " J '

Lorsque Pabscisse x est infinie , Paire du segment S est aussi infinie (i5o), tandis que le volume décrit par ce segment a la valeur finie xm •

Quelque singulier que paraisse ce résultat, il n^en est pas moins exact ; mais pour mieux concevoir comment il peut se £ure que Tespace ZBGX , qui est infini en étendue et en surface , engendre néanmoins un corps dont le volume est fini , prenons sur Tasjmptote OX et à partir de G, des longueurs égales respectivement aux termes de la suite infinie m, am, ^m^ 6m , i6m, ••• ^ et concevons sur ces longueurs , des rectangles extérieurs à Pespace ZBGX. Ges rectangles engendreront des cylindres dont les hauteurs croîtront en raison double , tandis que les bases décroîtront en raison quadruple ; ainsi ces cylindres décroftront seulement en raison double. Or, le premier z= wn^ \ donc la somme de tous ces cylindres est

îrm'(i -|-l-f.J-f-|-j-etc. , à Pinfini)=:airm^

Il est évident que le solide engendré par Pespace infini ZBGX est moindre que tous les cylindres extérieurs, c^est-à-dlre moindre que 'Xirm \ ce solide a par conséquent un volume fini. (Voyez les Mélanges d^analysc et de géométrie, page 664 ; par M. de Stainville. Paris, i8i5).

i53. Deux hyperboles 9onl temhîahUs^ lorsqu^elleê orU ieuts axes

homologues proportionnels. Soient M et N deux points qnekonipies de la premiëre, M' et N' deux points homologues de la seconde, c^est-à-dire deux points dont les coordonnées rectangulaires soient respectiTcntent proportionnelles à cdles des deux points M et N. En inscrivant à volonté une ligne brisëe dans Tare MN , il est facile de voir qu^on pourra toujours inscrire, dans Parc homologue M'N', une ligne brisée semblable ; de sorte que les arcs homologues MN et M'N' sont semblables (loo). Ainsi les deux hyperboles proposées renferment un même nombre d^arcs homologues semblables ^ donc elles sont semblables elles-mêmes.

i54* Puisque dans deux hyperboles semblables, les arcs semblables ne sont que des lignes brisées semblables, composées d^une infinité de droites homologues, infiniment petites, il s^ensuit, i* que les longueurs de ces arcs sont entre elles comme kurs cordes, et par conséquent comme les premiers axes ; a" que les segmens compris par deux arcs semblables et leurs cordes, sont eux-mêmes semblables et proportionnels aux carrés des premiers ou des seconds axes.

i55« Lorsque deux hyperboles semblables ont le même centre et les premiers axes suivant la même droite^ elles ont les mêmes asymptotes; et réciproquement. Car une asymptote de la première et une asjrmptote correspondante ou homologue de la seconde, font avec Taxe des s et dW même c^té, des angles égaux dirigés dans le même sens ; donc elles coïncident. La réciproque est évidente; car deux hyperboles qui ont les mêmes asymptotes, ont nécessairement leurs axes proportionnels.

1 56. Voici plusietin problèmes et théorèmes sur lliyperbole :

I. Trouver les conditions nécessaires pour quWe droite ne rencontre rhyperbole qu^en un seul point, ou pour qu^dle ne la rencontre pas*

II. Etant donnés, dans Phyperbole, la direction du premier axe, deux points et un foyer, décrire la courbe*

ni* Trouver la courbe passant par les points qui divisent chacune des cordes parallèles an premier axe de Thyperbole, en trois parties ^ales.

IV. Si par chaque point dWe tangente à un cercle donné, on élève sur cette tangente, une perpendiculaire égde à la partie extérieure de le sécante menée par oe point et par le centre, le lieu des extrémités de ces perpendiculaires sera une hyperbole.

y. Si d^un foyer de Thyperbole, on mène une perpendiculaire à une asymptote, les distances du pied de cette perpendiculaire an centre et au foyer proposé, vaudront respectivement le demi-premier axe et le demiseoond.

VI. Tracer lliyperbole, i* dès que Ton connaît un foyer, une asymptote et le premier axe ou le rapport des deux axes; a** lorsque Ton connaît un foyer et les directions du premier axe et d^une asymptote. (Les solutions d^pendcnl du théorème V. )

Vn. Si par un point quelconque de Thyperbole, on mène une parallèle à la droite il qui joint ks cstrémités de denx diamètres ooiijugiiés,

la di£Eeraice des carres des distances dn point proposé à ceux t>ù h parailâle coupe ces deux diamètres, sera <%ale an carré de la droite d.

VllI. Gommptit tracer les bords d^ime alltfe d^an parterre, pour qae cette allée paraisse avoir partout la même largeur à un ceil placé ircrtiealvment au-dessus de la droite qui divise en deux parties égales la méase allëc, dans le sens de sa longueur f On admet que deux droites ^^es, dés qu^elles sont vues sous des angles égaux.

ne. Le lien de tous les centres de gravite des triangles de même face et de même angle an sommet, est une hyperbole, dont les asymptotes sont les deux côtés dn sommet commun aux triangle»*

X. Le lien de tous les milieux des segmens qu^intereeptent deux axes rectangulaires, sur les droites tirées dW point donne dans le même plan, est une hyperbole équilatère, dont le centre est an milieu de la droite qui joint le point donne à Forigine des axes proposés. ( Ces de«x axes pourraient être obliques. )

De la Parabole.

1 $7 . La parabole est une coarbc plaoc tcNe, que le» distancés de Pun quelconque de ses points à un point fixe F et à une droite donnée DE, sont égales entre elles. Le point fixe F est dit le foyer de la parabole, la droite donnée DE en est la directrice^ et la distance du foyer à un point de la courbe est le rayait veeieur de' cette courbe.

i58. Diaprés cette définition, pour construire la parabole, le foyer F et la directrice DE étant donnés, on prend une éqnerre ABC (fig. 21 ) ; on attache en C et en F les extrémitét dHin fil; dont la longueur est égale au c6té AC de Pangle droit de Téquerre ; on applique Pautre côté AB contre la directrice , qui sera, si Pon veut, une règle tenue immobile \ puis on fait glisser Péquerre suivant la directrice, ayant soin de tenir le fil toujours tendu au moyen d'^un crayon ou style qui s^appuie constamment sur le côté AC. La trace de ce s^le sera la parabole demandée.

EfTectivement , à cause de la ligne GnF=CA, on aura toujours mF=fnk.

Le côté AC de Pcqucrrc étant parvenu sur la perpendiculaire FG, menée du foyer à la directrice, donnera le point O où cette perpendiculaire est coupée j)ar la courbe. Ce point O est appelé le eommet de la parabole et la perpendiculaire OFX, à la directrice , est Y axe de la couil>e.

Renversant Péquerre autour de Paxe GX et continuât le mon-

vemcnt suivant la directrice, on décrira la seconde portion OV de la parabole , égale à la première OV.

Par ce procédé on obtient une portion YO V de la courbe , et cette portion est d^autant plus grande, que le côté AC de Téguerre est plus grand lui-même.

iSg. On peut aussi décrire la parabole par points. .Soit toujours F le foyer et DE la directrice. Menons FG perpendiculaire à DE, et prenons le milieu O de la distance FG du foyer à la directrice \ ce milieu O sera évidemment le sommet de la parabole, t^our avoir d^autres points, prenons sur la perpendiculaire GFX , et à partir du point G , Une distance quelconque GP, plus grande que GO ; puis du foyer F comme centre et da rayon GP, décrivons un arc ; cet arc; coupera la perpendiculaire tirée de P sur GP, aux deux points M et M', qui seront à là pand>ole cherchée.

Blefiant en effet, HQ perpendiculaire à la directrice, on aura MQ = GP := FM ; le point M est donc à égales distances du, foyer F et de la directrice \ il appartient conséquemment à la parabole. 0 en est de toéme du poiùt M'« (hi voit que par cette construction , on trouvera autant de points qu^on voudra de la courbe à décrire ; et ces points seront deux à depz de part et d^autre et à égales distances de Pare OX.

160. Cherchons actuellement Péquation de la parabole. Désignons par p la distance FG du foyer F à la directrice DE, puis plaçons Porigine des coordonnées rectangulaires au Ihilieu O de oette distance et dirigeons Taxe des x suivant FG. Soit M un point quelconque de la courbe , x et ^ les coordonnées OP et OM de ce point, et r le rayon vecteur Flrf = MQ =z GP : ilest clair qu^on aura d^abord r = o: -f- ?/>•

Ensuite , le triangle rectangle FMP donne

Substituant la valeur précédente de r, développant' et réduisant, il vieûdra V*=I2«X.

Telle est Péqoation de la parabole rapportée à ses tutei prùi" eipaux OX et OY, bien que le premier OX soit seul un axe de la courbe : aussi le nomme-tH>n premier axe ou simplement Vaxé' de la paraboïe. Le coefficient ip est le paahamhtre : c^est la don^

ble distance du foyer h la directrice ^ ou encore la double ordonnée qui passe- par le foyer.

i6t . Uéquatîon précédente donne

^ = =±= ynpx.

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires, on voit que le premier axe de la parabole dùnte en deux parties éyales, toutes le» cordes de cette courbe qui sont perpendiculaires au même axe.

Posant x=2o^ pour avoir les points où la courbe coupe Taxe des ordonnées, on aura j-=^=±=o \ les deux points d'^intersectioD «e réunissent donc à Porigine O. Ainsi le second axe de la parabole lui est tangent au sommet \ et la, courbe ne s^étcnd pas k h gauche de cet axe , comme on le voit d^àilleurs , puisque x négatif donne ^ imaginaire. Et comme x positif donne kjràti valeurs téelles, d^autant plus grandes que x est plus grand luimême, il s^ensuit que la parabole sVtend indéfiniment à la droite de son second axe , symétriquement au-dessus et au-dessous du premier.

i6a. Remarquons d^ailleurs que dans la parabole ^=2px, le paramètre 2p peut varier depuis zéro jusqu^à Tinfîni. Lorsque ce paramètre est nul , ce qui donne ^ = o , quel que soit x, la parabole se réduit à son ax^. A mesure que le paramètre augmente, la parabole devient de plus en plus ouverte, s^appcoche de plus en plus de la tangente menée par le sonunet , pour laquelle j** = o , et se confond avec cette tangente , lorsque le paramètre ap devient infini ; car alors , quel que soit ^, on a

toujours or = î^ = o.

i63. Nous venons de voir que la parabole a pour équation jr* m OLpx, Réciproquement , les coordonnées étant rectangulaires, toute équation qui peut se ramènera la forme y* = !ipx, représente une parabole, ayaht le sommet à V origine et Vaxe dirigé suivant celui des abscisses (fig. 21).

Prenons en effet , sur Taxe des x et de part efd^autre de Torigine O, les dislances OF = OG = jjp, et par le point G, menons DE perpendiculaire à GF; si M ou (x,^) est un poitat de la courbe, on aura évidemment

¥W=jr' + {x^\py = :tpx + x\—px + ^^-', d'où FM =: x + î/i. Mais il est visible que la perpendiculaire

( 83 ) MQ=:PG = x + ^ji', donc MF=MQ. Ainsi la courbe représentée par Péqaation j^ = ot^x, et conséquemment par Téquation proposée, est telle, que les distances de chacun de ses points à un point fixe F et à une droite donnée DE , sont égales entre elles ; donc cette courbe est une parabole (167 ), dont F est le foyer, D£ la directrice, O le sonunet et 3p le paramètre.

D'^après cela , si on a Péquation *iy^ + 3^ — 8x + 9 = o , et qu'ion passe du système de coordonnées à un autre parallèle, en posant x = A-|-j:/ etj* = A + J^i ^^ verra qu'en prenant Â=igetA = — |, Téquation proposée se réduit à j^* = ^xf\ c^tte équation représente donc une parabole, facile à construire.

l64- Si Von coupe la surface convexe d^un cane droit par un plan paralïhle à une génératrice CH et perpendiculaire au plan conduit euivant cette génératrice et faxe CV du cône, la section résultante, sera une parabole ( fig. 11 ).

Soit M un point quelconque de Pîntersection FNMT. Prenons le point N pour origine et NK pour axe des x. Soient x^ij- les coordonnées rectangulaires NP et PM du point M. Puisque PM est aussi perpendiculaire au plan HCI^ en conduisant par la droite MP, un plan perpendiculaire à Taxe CY, ce plan coupera le cône suivant un cercle , ayant son intersection DS avec HCI pour diamètre. Or, M est un point de la circonférence de ce cercle et MP une perpendiculaire au diamètre DS \ donc j^ = DP X PS. Les triangles semblables KNI et PNS donnant KN : X : : ELI : PS , et ayant d'ailleurs PD = HK, il vient

,KLKH

Représentant le coefficient de x par ^p^ p sera donné , et on aura, pour tous les points de la courbe indéfinie FNMT,^'= ^px\ donc cette courbe est une parabole (i63), dont N est le sommet , NK l'axe et TLp le paramètre.

i65. On peut considérer la parabole comme une ellipse dont le grand axe est infini. Prenons en effet, une ellipse dont OI soit le demi-grand axe A ( fig. ai), l'origine des coordonnées rectangulaires étant au sommet O et les x positifs étant compté» suivant OX \ l'équation de cette courbe sera

jr' = g(aAx-x').

La distance du centre I de cette ellipse au foyer F est IFâtf

^A' — B'; en la retranchant du demi- grand axe A, il restera la distance OF du sommet au foyer le plus proche. Regardons cette distance comme une constante représentée par -p ^ nous

aurons j^ ^ j/irT^ . d^où B' = A;i — ip\

Subslituailt cette valeur de B* dans Téquation précédente de rcllîpse, elle devient, réductions faites,

Si dans cette équation , on donne successivement à A différentes valeurs, p restant toujours le même, on aura une suite d^ellipses dont les grands axes seront dilTérens, mais qui auroDt toutes le même foyer F et la même distance de ce foyer au sommet de la courbe. Enfin , si Tabscisse x conservant une valeur finie , on suppose A infiniment grand , les termes divisés par A et A' seront infiniment petits et devront être regardés comme nuls ; il viendra donc alors

^ = 2/ia:,

équation d\ine parabole. On passe donc de Pellipsê à la parabole, en supposant le grand axe infini. Ce qui peut conduire aux propriétés de la parabole , à Paide, de celles de Pcllipse.

166. II est bien facile de s^assurer que, suivant que le point (x^y) est sur la parabole, au-dehors ou au-dedans, le bînome jr* — 'ipx est nul, positif ou négatif^ et réciproquement.

167. Pour trouver Féquation d^unc tangente à la parabole, il faut regarder cette droite conmie une sécante, dont les points d^'ntersection (x'^ y) et (x",^") avec la courbe se réunissent en un seul. Il est clair que Péquation de cette sécante est

jr—yf=:a(^x — x") et a=:^^^.

Les deux points (x', y) et (x**^ y) étant sur la parabole, on a

y^ = ipx^ et y^^ =z ipx'* ; d'où a ru Zî^—jf'

Pour la tangente, les deux points d'intci-scction (a/, j') et (a-", y-^)

coïncident et donnent y=y'^ x^= x" et a=^~ Par cette

valeur de a on voit qu'au sommet la tangente coïncide avec le second axe ; mais qu'elle ne peut devenir parallèle au premier

( 85 ) que quand j*" est infini. Substituant la valeur a = ^^ on aura , pour Téquation de la tangente à la' parabole, au pomt {xf\y^y

Retranchant le double de cette équation de^'= ^px"^ puis ajoutant de part et d^autre jr*^ on trouvera

Celte équation représente toujours la droite exprimée par Inéquation (i). Or pour tout point (jc*, y) situé sur la même droite, le binôme j** — ^px est positif; tous les points de la droite (i) sont donc hors de la parabole, à Texception du point (2/', j^'), qui est sur la courbe \ cette droite ( 1 ) est donc effectivement tangente à la parabole an point (x'', y)*

168. La valeur a = -^, qui détermine la direction de la tangente, étant unique, il s^ensuit que par un point (x'', y) donne snr la parabole, on ne peut mener qu'aune seule tangente à cette courbe.

(Test ce qu^on vérifie d^ailleurs en cherchant le point de contact (^x"^ jr") d^une tangente à la parabole, men^ par un point donné (j^', j^'). Dans ce cas, les équations de la parabole et de la tangente donnent

y =: ^px" et yy^z=ip(x' + x").

Eliminant j^' de ces équations , Téquation finale founut

Suivant donc que le point (x'^y) sera hors de la parabole^ sur cette courbe ou dans son intérieur , les deux valeurs de x^' seront réelles et inégales , réelles et égales ou imaginaires , et il y aura deux tangentes , une seule ou aucune.

Nous venons de résoudre analytiquement le problème de mener une tangente à la parabole : nous verrons bientôt les moyens de construire ce problème.

169. Pour avoir le point où la tangente rencontre Taxe des Xi il faut faire ^ = o dans Péquation jrj" z= /> ( x + o:^' ) ; ce qui donnera a:=— x". Ce point T sera donc toujours situé du côté des abscisses négatives, à la distance OT =r OP du sommet O (fig. 23). Par conséquent la soutangente PT = 20P = 2x"î

( 86 ) c^est-à-dirc que dans la parabole, la souUmgentê ê$i double de VabscUie du point de iangenee. Ceci fournit un moyen très-simple de mener une tangente à cette courbe, quand on connaît le point de contact M, ou seulement son abscisse OP. • i^o. Nous venons de voir que OT= OP5 mais OF= OG ( 1 60) ; donc TF = PG= MH = MF ; le triangle TFM est donc isocèle et donne Tangle FMT=FTM=:TMH=SMF'. Ainsi, danê la parabole, les droites menées du point de tangence au foyer et parallèlement à V axe, font avec la tangente des angles égaux; propriété qui devait naturellement résulter de ce que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini, et dont les foyers sont par conséquent infiniment éloignés Tun de Pautre. ^

1^1. De là résulte un moyen très-simple de mener une tangente à la parabole par un point extérieur K (fîg. ^3). De ce point comme centre et d^un rayon égal à KF, soit décrit un arc coupant la directrice aux points II et H' \ soient menées de ces points deux parallèles à Taxe \ ces parallèles couperont la parabole en M et M', qui seront les points de tangence, et KM, KM' les tangentes demandées.

En effet, par construction KFrnKIT ; mais d^ûlleurs MFi=: Mil : donc les deux triangles KFM et KMH sont égaux. Par conséquent, Tangle TMF r= TMH = SMF'; ce qui exige que KM soit tangcnic au point M (170). On verra de même que KM' est tangente en M'.

Si le point de tangence devait être très-éloigné et qu^on eût besoin seulement de la direction de la tangente, il serait plus commode de mener KS perpendiculaire à FH \ KS serait la tangente demandée.

Si la tangente devait être parallèle à une droite donnée , on ferait, au foyer F, Pangle NFM double de Pangle que cette droite forme avec Taxe \ et le point M serait le point de contact de la tangente clierchée.

1 71-. Il est clair que la normale MN divise en deux parties égales Vaiigle ¥MF^ formé par les droites menées du point de tangence au foyer et parallèlement à Vaxe»

On trouve bien (iicilement que Péquation de cette normale est Si on y prend y nul , on aura , pour la sounormale PN, a: — • x"

== p ; de sorte que dans la parabole ^ la sounormale est eomàmie et égale à la moitii du paramètre. Ce qui donne le moyen de mener une normale , et par suite une tangente , à la parabole , par un point donne sur cette courbe.

173. La tangente TM est perpendiculaire au milieu I de FH (171). Mais le sommet O étant au milieu de FG, la droite OI <st parallèle à GH , et coïncide avec Taxe des j^. D'^où il suit que , dans la parabole, lei pieds des perpendiculaires menées du foyer à toutes les tangentes à cette courbe, appartiennent au second axe principal. Ce qui vient de ce que la parabole est une ellipse dont le centre est à une distance infinie du sommet O \ en sorte que la circonférence décrite de ce centre et d^un rayon égal à cette distance , coïncide avec Taxe des jr (73).

174* Voici quelques théorèmes à démontrer :

I. Si des extrémités d^une corde passant par le foyer de la parabole, •on mène deux tangentes à cette courbe , elles se cpuperont à angle droit sur la directrice.

n. Le foyer est le seul point du plan de la parabole, dont la distance à un point quelconque de la courbe, soit une fonction rationnelle de Tabscisse de ce point.

III. Si d^un point du second axe de la parabole , on mène une droite au ibyer et une tangente à la courbe , ces deux droites seront perpendiculaires entre elles.

IV. La plus courte droite menée de la parabole à un point donné sur l^axe , est la normale qui passe par ce point.

V. Dans la parabole, les carrés des distances du point d^intersection de deux tangentes à leurs points de contact, sont entre eux comme les rayons vecteurs mené» à ces deux points , et le produit de ces distances vaut le carré de la droite qui joint le foyer au point d^intersection dont il s^agit.

175. Dans la parabole, on appelle diamètre^ la droite qui passe par les milieux dVn système de cordes parallèles. Soit jr =r ox -f- & réquatioo de Tune quelconque de ces cordes. Pour les extrémités de cette corde , son équation et celle de la parabole y* = 3/ix, admettent les mêmes valeurs pour x et les mêmes valeurs pour jr. Eliminant x entre ces équations, «n aura pour déterminer j-, a„ a^i»

Les racines Se cette équation , sont les ordonnées des extrémités de la corde, et Tordonnée y du milieu de cette corde est

égale à la demi-somme des mêmes racines, c^esl-ihdire à -• Cette

valeur est la même pour le milieu de toute autre* corde parallèle à la première, pulsqu^alors p et a restent les mêmes ; donc la droite qui passe par les milieux de tputes les cordes proposées est parallèle & Taxe des x \ c^est-à-dîre que tous les êiameim dfi ûf. parabole ^ant parafUfUt à non aj;e. Ce qui vient 4^aillears de ce que le centre de cette courbe e%t situe sur Taxe, k une distance infinie.