L^ordpnnée du poiqt où un diamètre coupe la piirabole
étant r"=-, on en déduit az=~ Cette valeur de a est celle
qui convient à la tangente au point dont j^' est rordonQce( 167); ainsi âanê la parabole, la tangente à f origine d^un diamètre ett parallèle aux eordee que ce diamètre dixnte en deux parties ^alee»
178. On appelle axet conjugués de la parabole, tout système d'hases de coordonnées , pour lequel Téquatlon de la courbe est de même forme que par rapport à ses axes principaux.
Cherchons les axes conjugues; et prenons, à cet effet, les formules pour passer d^'un système d^axes rectangulaires , à up autre de différente origine , savoir :
formules dans lesquelles wi' = 1 + a', w" = i -J- a^ et ( A, k) la nouvelle origine.
Substituant ces valeurs de x ctàcjr dans Téquatîon^* — apx = o , qui est celle de la parabole rapportée à ses axes principaux; chassant les dénominateurs et ordonnant, il viendra
al^^^jJ* — j^mm^px' + am'm* ( a*k — p^jr* ^ a^m^*x^^ + ^aa'nmt^a^y 4" »*'»»'* (A' — iph ) =: o. Si Ton observe que les quantités m et m' ne peuvent jamais
( 89 ) devenir nulles ^ on verra que^ pour que Téquaiion précédente soit de même forme qne celle qui est relative aux axes, il faut qu'ion ait
et alors Péquation de la parabole se réduit h
afy*— 2myx' = o ... (i)
La condition V — ^ph zr: o ou A* = lïph^ fait voir que Icç coordonniies h ci h satisfont à Péquation j^ = ^px de la parabole , et qu^ainsi la pouvelle origine eti un pmni iê la eourèe.
La relation a!k=p^ donnant a'= fi montre que Ip nouvel axe
des ordonnées touche la parabole à la nouvelle orfginê (i6n). Enfin la condition 9 = o , nous apprend qi|e le nouvel axe aes abscisses est parallèle à Taxe de la parabole \ il est dope un diapiètre de cette courbe (176).
Substituant les valeurs précédentes de m'* et a" dans Téqualion (1), on trouvera^ z=: 2 (^ -J- a&) j:'. Supprimant les accens des variables y et x', en se rappelapt toutefois qu^elles se comptent sur des axes obliques \ posant d^ailleurs //=^-]- ^^« on aura, pour Téquation de la parabole, rapportée à ses axei conjugués , y -j ^^^^
Conmie dans cette équation Taxe des x est un diamètre, puisqu'ail divise ep Aea\ parties égales toutes les cordes parallèles à son conjugué ; la parabole est dite rapporiÀe à êon diamètre. Le coefficient 3|/ est le paramhtre relatif à ce diamètre. De plus, les coordonnées de la nouvelle origine pouvant avoir telles valeurs qu^on voudra, il s^ensuit que la parabole admet une infinité de eyoùmeê d^axe$ conjugués.
179. Soit r le rayon vecteur mené à la nouvelle origine (A, A ) ; on a vu (1 78) que r = 5^ -|- A. Mais // z=:p -J- 2A ; donc Qj/ = ^r. Donc dans la parabole, le paramhtre d^un dianùtre quelconque est quadruple de la distance du foyer à f origine de ce diamhtre. Celte propriété subsiste également pour Taxe.
180. Remarquons maintenant que tonale des coordonnées étant désigné par I, toute équation qui peut se ramener à la forme y* = ap'x,. représente une parabole. Soit en effet j^ z=z itpx une parabole, rappoitée à son axe, dans laquelle le paramètre ap et Tqp de ses points ( A 1 Ar ) soient tels , qu'ion ait p -}- 2kz=:p'
- ( 90 ) et que la tangente à ce point fasse avec Taxe des x un angle égal à ^ ; il est clair que si Ton désigne tang I par a', on aora à la fois
^z=:2ph^ alkzzip et |» -J- aA = ^; ... (a) ce qui donne , en posant i -f- a'* = m'*,
Ces valeurs étant nécessairement réelles, il en sera de même dé la parabole jr^ = ipx.
Gela posé, transformons les coordonnées de cette parabole, de manière que la nouvelle origine étant (A, A), Taxe des ordonnées soit la tangente en ce point, Pangle des coordonnées étant égal à Pangle donné I, et par conséquent le nouvel axe des X étant parallèle à Pancien. Dans ce cas, puisque les nouveaux axes des x et des j* font avec Fancien axe des abscisses, les angles o et é, il est clair qu'ion aura a z=: tang o rzz o, vCzz 1 4" «* = ï ou m zz: I , a' = tang é, nif^ rz: i -(- a'*, et que par suite, les formules (4^) pour passer d^un système de coordonnées rectangulaires à un autre, d^origînc diB^rente, deviendront
a: = A + a^ + ^ et r = A + î2^.
Substituant ces valeurs dans jr^ = apj;, réduisant diaprés les
équations (2) ou (3), il viendra , pour Péquation de la parabole,
rapportée aux nouveaux axes, ^' = ^ijfx^» Or, cette équaUon
coïncide avec la proposée j** 1= 2//x, car le coefficient 2// esl
le même , ainsi que Pangle i des coordonnées. Donc Tëquation
X^ = ^y^ représente une parabole ; et il en est de même de
toute équation réductible à cette forme, par la transformation
des coordonnées , telle , par exemple , que j-* + M^^ -f- Nx +
P =z o , qui en j posant
^=/ — iM et xzzzx* Jt—^^ devient y» = — No'.
181 . Les valeurs (3) fournissent le moyen de décrire la parabole jr* =: 'iffx \ car menant par Porigine la perpendiculaire * sur Paxe des x et par Pextrémité de k une parallèle d à cet axe, puis prenant sur d un point à la distance h de Pextrémité dont il s'^agit, ce point sera le sommet et d Paxe de la parabole cher chée ; on tracera donc facilement cette parabole , puisque son paramètre ip est d^ailleurs connu.
i8i. L^éqaation y^ = a/^'x de la parabole, rapportée à ses axes conjugues, étant de même forme que par rapport à ^e& axes principaux, les propriétés indépendantes de Finclinaison des coordonnées seront communes à Fun et à Pautre système. Ainsi,
1* las carrée dei ordonnée» au âianûttre , sont entre eux comme Ut abecisseê correspondantes. Connaissant donc le paramètre d^un diamètre et Fangle des axes conjugués ^ il est bien facile de tracer la parabole , en décrivant d^abord une parabole sur ce diamètre , pris pour axe , avec le paramètre donné , puis en inclinant sous Pangle donné, les ordonnées de cette courbe, sans changer leurs longueurs.
2** Suivant que le point (x, ^) est sur la parabole, au-dehors ou au-dedans, le binôme j*' — 2p^x est nul, positif ou négatif; et réciproquement.
3* La tangente j*= (M? + ^, au point (x", j^'), a pour éc[aiL'^ don^^'=z//(x-j-x"), la valeur de a, qui détermine la direc-
lion de cette tangente , étant a =-^* On trouve aussi que Pé-
quation de la tangente jr zz: ax -{• b ^ se réduit à ^ab :^ j/.
4"* La soutangente est encore 2j:/', c^est~à-dire double de Pabscisse du point de contact. Ce qui fournit un moyen bien simple de mener une tangente à la parabole, rapportée à son diamètre, par un point (a^', jr") donné sur cette courbe.
i83. On appelle segment parabolique^ la surface comprise entre un arc de parabole et sa corde. Cherchons Paire du segment ABD ( fig. a4 )• l^our y parvenir , circonscrivons-lui le parallélogramme ADRV et par le point de contact B , menons le diamètre BX. Il est clair que BX et BY sont deux axes conjugués de la parabole (178) et qu^ainsi C est le milieu de AD.
Divisons Parc AOB en une infinité dVlcmens infiniment petits, tels que OM, et par chaque point de division , menons une ordonnée au diamètre BX ; nous partagerons la surface BCAO en une infinité de trapèzes mixtilignes, tels que MOQN. Puisque Parc MO est infiniment petit, on peut le considérer comme une droite; et si on mène BH parallèle à cette droite, le triangle BOM sera évidcnuncnt la moitié du parallclogranmie OMKu.. Soit I le milieu de OM ; soient menées Pordonnée IP et la tangente IT ; il est visible qu^on aura BT z= BP zz: ^TP : donc , à cause de la similitude des triangles TBE et TPI , on aura aussi
( »2 ) BE ou IF:=^IP. Le parallëlogranirae OMRv est donc la moiiié du trapèze MOQN; par conséquent, le triangle BOM est le quart du trapèze MOQN.
Ainsi dhaque triangle élémentaire , du segment BAO, eit le quart du trapèze correspondant, dans la surface BCAO ; donc le segment BAO est lui-même le quart de BCAO. liais le triangle BCA étant la moitié du parallélogramme CV, il est visible ^e QÇAO ^ iCV -|- jBCAO ; d'où Ton tire
BCAOsEfCV.
On démontrerait de même que BCDM'= |CR ; donc le segment ABD = |ADRV; c'est-à-dire que taire de ioui êêgwmt parabolique est les dêus tiers du parallélogramme çirpûnserU,
On voit en outre que le scgmemt BAO est le 6** de BCAV.
i84« Dans deux paraboles, rapportées à leurs axes, oa.appdle/roMlr homologues deux pointa de ces courbes, dont les abscisses, et par eoaséquent les ordonnées, sont entre eQes comme les paramétres. Les droèta homologttes sont terminées à des points homologues cbacoo à chacm*, pi il en est de même des arcs homologues»
i85* Toutes les fHwaholes sont des courbes semblables» Soient MN et M'N' deux arcs homologues de deux paraboles quelconques : en inscfi- ▼ant à volonté une ligne brisée dans le premier MN, il est Cunle de démontrer qn^on pourra toujours inscrire, dans le second M^', une ligne brisée semblable ; de sorte que les arcs homologues MN et M 'N' toat semblables (loo). Lies deux paraboles proposées renferment donc nu même nombre d^arcs homologues semblables ; elles sont par oonséquenl semblables elles-mêmes*
186. Puisque les arcs homologues de deux paraboles, ne sont quedei lignes brisées semblables, composées dVtne infinité de droites homologues, infiniment petites, et que par conséquent les segmens termina par ces arcs et leurs cordes, sont eux-mêmes semblables et homologua; il ex^ résulte que dans deux paraboles quelconques, 1® les arcs on la droites homologues , sont comme les paramètres \ ^** les s^mens homo- Ipgues sont comme les carrés des mêmes paramétres^
