Voici quelques théorèmes et problèmes sur la parabole

I. Dans deux paraboles ayant le même sommet et le même axe, la tangentes en deux points homologues sont parallèles.

II. Si Ton divise en trois parties égales chacune des cordes perpendiculaires à Taxe de la parabole, les points de division seront sur une parabole , de même axe et de même sommet que la première , divisaBl en trois parties équivalentes, tout segment de cette premiéfe temiiiié psf yuj^e des cordes proposées.

m* Les aiilieiu des ordonnées de la parabole sont à une autre parabole, ayant même axe et même sommet que la première, et divisant en deux portions équivalentes, tout segment de celte première, terminé par Tare, Tabscisse et Tordonnée.

IV. Trouver les conditions nécessaires pour qu^une droite coupe k parabole en un seul point.

V. Une parabole étant tracée, déterminer, i® son axe; a* un système d^axes conjugués, faisant entre eux un angle donné; 3^ enfin, le paramètre à Taxe on à un diamètre quelconque donné.

yi. Si à^un point pris sur Taxe de la parabole, on mène deujk rayons à la courbe , on formera un secteur que Ton demande de partager en deux parties proportionnelles à deux nombres donnés, par une droite tirée du point proposé. (Cette droite rencontre la parabole au point où passe une hyperbole équilatère, dont une asymptote est dirigée suivant Taxe de la parabole proposée. )

De Véquation commune aux sections coniques et de quelques propriétés résultantes.

188. Les équations de Pellipse et de I^jperbole, rapportée» aux centres et aux diamètres conjugués 3 A et 2B (qui pourraient être les axes) , sont

Ay + BV=A'B* et A>»— BV= — A*B\

Si on transporte Taxe des ordonnées parallèlement à lui-même^

de manière que Torigine soit à rextréttiilc (— A , o) du diamètre

2A, suivant lequel est dirigé Taxe des x \ il est clair que le nouvel

axe des j* sera tangent à la courbe (89 et i3i),'que de plus Por-

donnée^ restera toujours la même, mais que Tabscisse x deviéiv- f

dra X — A) on aura donc alors , pour le» équations des deux

courbes •

• aB» B' , , aB» , B> ,

Ces deux équations et celle j**^=: '^px de la parabole , montrent que Taxe des x étant un diamètre et Paxe des^ tangent à Forigine, Péquation de toute seetiqn conique est de la forme

jr* = IfX 4- jrx',

équation dans laquelle on a , pour la parabole, 9=0; pour Tcl'-

lipse, |i=-j-etf:= — -r-;pour iiijrperbole,|i= — —et y =7—