RéciproquemenI, iouU équation de la forme jr'zzspx

( 94 ) -)-qx*, représenie une section conique, dont faxe des x esitm diamhtre.

D^abord la courbe est une parabole, «» q =: o ; car alors soa équation devient j^ = 7,px ( 180 ). La courbe est une ellipte,

lorsque p est positif et q négatif; car en prenant p =z: -r-, 9^=~'

— et X = A + -2^1 réquatîoù proposée prend la forme Ay-|-

B*j:/*= A^B*, et représente une ellipse rapportée à sesdiamèlni conjugués 3 A et aB (87). Enfin, ia courbe est ufte hyperheU,

tt p e*/ négatif et q positif; car en faisant |i=: — ^— , ^z= — d

a: = A + :c', Téquation proposée devient A^ — B'j::^ = — A'B^ ; elle représente conscquemment une hyperbole-, rapportée à ses diamètres conjugués 2 A et 2B (i35).

Il est clair, dans -chacun de ces cas , que si Panglc des coordonnées est droit, la courbe sera rapportée à ses axes principaux.

190. Il est facile de démontrer que le trinôme j^' — apx — jx* est nul , positif ou négatif, suivant que le point (.r, j^) est sur la courbe, au- dehors ou au-dedans; et réciproquemeot.

191. Soient (x'^ J^) ^^ (^'1 J^") ^ points où une sécante/ = oa: -f ^ rencontre la section conique jr* zr apj:-^ qx* ^ od aura à la fois

y» = a^ix' + jTx^, ... (i)

y'' = 2px'f + qx"\...{2)

jr-y = a(x-x") et « = 5^; - (3).

Retranchant (2) de (1) et ayant égard à (3), il viendra

(jr'+j")az=Z2p + q{x' + x'').

Si Ton suppose que les deux points d^intersectîon (^jc'^j^) et (x'^y) se réunissent en un seul , la sécante^ — j^':=:za (x — or" ) sera alors tangente à la section conique au point (x^', V') : et comme dans ce casj*' =:y et x*-z=.xf\ il viendra

lay* =: 2JI + ^q^\ ou a =: ,^ — •

Avec cette valeur , Péquation de la tangente au point ( x?\ y ) , se réduit à

jry'=i^(x+a;'0+f^^' - (4)

Prenant dans cette équation , la valeur de j^, pour la substi-

taer dans le trinôme j^* — ^px — qx*^ puis réduisant au même dénominateur et ayant égard 1i Inéquation (a), on trouvera

Ainsi poar tout point de la droite (4)n ^^ trinôme j^* — iipx — qx* est positif; tons les points de cette droite sont donc hors de la conrbe proposée, à Texception du point (^x"^y'). De sorte que la droite (4) n^» que le seul point (x"^ y) de commun avec la section conique ; elle lui est par conséquent tangente en ce point. Et elle est la seule ; car la valeur de a , qui détermine sa direction est unique.

iga. 2>f cordei qui joignent lei poùtti de eontaei de chaque couple de tangentee menéee à une eeciion conique^ par îe$ pointe d^une droite quelconque, $e coupent toutee en un même point, eituS sur le eoiyuguà du diamètre parallèle à cette droite.

Soit j-^zn^px-^-qx^ la section conique, dans laquelle on suppose Taxe des j- parallèle à la droite proposée (D), ce qui est toujours possible \ Tcquation de cette droite sera donc xzzzn^ n étant la distance de Torigine au point où la droite coupe Taxe des X. Soit (n, m) un point quelconque de la droite (D) , (x'^ y) ei (^'%y) les contacts des deux tangentes menées par ce point à la section conique ; les équations de ces tangentes sont donc i«y=p(n + j^) + ^,

my'=p {n+x") + qnx".

L^équation de la corde qui joint les deux contacts , est

yi yll

Substituant dans cette équation, la valeur de yj ,p tirée des

deux précédentes) on trouvera, réductions faites,

mjr z=z p (ii-j-a?) -|- qnx.

Pour avoir le point P où la corde de contact rencontre Taxe des X , il suffit de poser ^ = o , dans son équation : il viendra alors , pour fabscisse de Tintersection P ,

-^pn

p+qn

Comme p, ç, n sont donnés invariables, et que la valeur pré^ cédente de x ne dépend pas de Tordonnée m du point de la

droite (D) , d^où Ton a mené les deax tangentes, il s^eiiscut qne pour les deux tangentes tirées d^un autre point de ( 1) ) , la cmde de dobtact passera par le même point P qUe la précédente. Donc puisque P est situé sur le conjugué du diainétre parallèle à (D), il en résulte le théorème énoncé d^abord.

L^lnverse de ce théorème est également vraie.

Le point P est dit le fiU de la droite (D ) , et celle-ci est Is polaire du point P. Diaprés la valeur précédente de j: , il est facile de trouver le pôle , lorsque la polaire est donnée ; et rédproqueinent.

193. Si lei câlSè éPun angle droii mobile sont eonimuêUemmi hmgens à une eeetion conique, le gommet décrira une cireimfi' rence de même centre que la courhe propoeée.

Soit {x'^y)\e sommet de Tangle droit proposé ; Féquatton de Tun de ses côtés sera de la forme ^ — ^r=a(x — x')* Ce côté devant être tangent à la section conique^* =: ajix -^gz*, si Ton désigne pai* (x", y) le pbint de contact, on aura à la

fois y'—y=:a(x"^x'),

y'*=Z2px" + qx"\

Éliminant^' et résolvant Téquation finale, par rapport à j:'', les deux valeurs résultantes seront les abscisses des deux points où la droite j^' — j^ = a ( a;" — x') peut couper la section conique proposée ^ mais puisque cette droite est tangente, les deui points d^intei^ection coïncident en na seul ; les deux valeurs de Tabscisse x" sont donc égales ; la quantité sous le radical estcoih séquemment nulle ; ce qui donne

Chacun des côtés de Tangle droit proposé conduira évidemment à cette équation ; les deux valeurs a' et a" de a, dans cette même équation , appartiennent donc , Tune à un côté de Pangle droit et Pautre au second côfé : et puisque ces deux côtés soot perpendiculaires Tun à Tautre , il est clair quVn supposant les coordonnées rectangulaires^ on aura «V-f- 1 ru 0(18), ou «V = -^ 1 . De plus , le produit a'a^^ des racines de réquation (i) étant égal au terme indépendant de a, il vient, en chassant le dénominateur ,

^r" + qx''=— ^px'—p^ •••(*)

( 87 ) Cette équation entre les coordonnées x^^ y du sommet de Tangle droit mobile , représente évidemment une circonférence (3i) , de même centre que Pellipse ou Phyperbole proposée , et dont le rayon est l/( A*+B*), pour Pellipse, et l/(A* — B*), pour Phjperbole, aA et aB désignant les axes de ces deux courbes. Quant à la parabole, où ^ = o, le lieu géométrique du sommet de i^angle droit , se réduit à x^ zzi — ^ et représente la directrice de la courbe. Cette directrice peut être considérée comme une circonférence, dont le centre, situé à Tinfini , coïncide avec celui de la parabole.

ig4* Trouotr une courbe telle, que le$ distancei de chacun 4é êeê pointé à un point fixe F et à une droite donnée DE, aùnt le rapport connu m.

Soit placé Taxe des x suivant la perpendiculaire FH, menée de F sur DE, et Porîgine des coordonnées rectangulaires aa point O, divisant FH en deux parties FO et OH dont m soit le rapport FO * OH; on verra, qu^en désignant FO par d^ Téquation de la courbe cherchée sera

Suivant donc que le rapport m sera plus petit que Punité, plus grand ou égal , la courbe sera une elUpse , une hyperbole ou une parabole (189). Or, dans la parabole, où in= 1 , 4^ est • le paramètre ; donc F e^t le foyer et DE la directrice. Il est clair d^ailleurs que O est le sommet, dans chacune des trois courbes; et si a A. désigne le premier axe, 2B le second et e Texcentricité^ il est facile de voir qu^on aura, 1" pour Tellipse, où m ^ 1 ,

A= , Bz= 1/1 — m% c= i=:mA et rf=A— es

a* pour l'hyperbole , où m > i ,

A=— -, Bz=— l/m* — 1, <î = zzmA et tf=i?— A.

Et puisque d est la distance du sommet O au point F, on voit que dans les deux dernières courbes , comme dans la première , le point fixe F est un foyer.

ig5. La droite DE étant la directrice de la parabole précédente, sera aussi appelée, par analogie, la directrice des deux autres courbes. Ainsi la directrice d'une section conique est une perpendiculaire au premier axe principal telle, que les distances

du foyer el de cette perpendiculaire à un point quelconque de la courbe, son! dans un rapport constant (celui de P^alilê, pour la parabole, et celui de rexcentridté an denû-premier axe, pour Tellqise et lliyperbole). Il est clair en outre que lliyperbole et Pellipse ont chacone deux directrices.

ig6. Lm âroilê FR qui joint le foyer F éPvnê weeUon emdfm au point R oh une eéeante MN rencontre la éUreciriee voisine DE, diviàe en deux forUeà égalée le euppUment de t angle MFN eemprie par îee rayone vecteure, menée aux pomte éPmiereeeiien ù la sécante avec la courbe ( fig. ^5 ).

Menons en effet, NI parallèle à MF et MP, NQ, perpendiculaires à la directrice DE. Les triangles RMP et RNQ étant semblables, aussi bien que RMF et RNI, on aura deux prop(»tions qui , & cause du rapport commun RM * RN , donneront MP : NQ :: MF : ni, ou MP : MF :: NQ : ni. Mais d'apw» la définition de la directrice DE ( 195), on a MP ; MF : ; NQ ; NF; donc NQ : NI :; NQ : NF, et par suite NI = NF. Le triangle NIF étant donc isocèle, il s^ensuit que Pangle NFI= NIF = IFM'. Ce qu'il fallait démontrer.

197. Ce théorème fournit le moyen de tracer la eeeUon cemque dont on eonnt^t le foyer et troie points. Effectivement, il en résultera d'abord deux points de la directrice. Connaissant k directrice et le foyer, on aura la direction du premier axe, pois le rapport entre les distances de Pun des trois points au foyer et à la directrice voisine \ d'où Pon déduira Vespèce de courix demandée , puis son sommet et ses deux axes , lorsqu'elle sera une ellipse ou une hyperbole.

Si elle doit être une parabole, on n'aura besoin , pour la construire , que de connaître son foyer et deux d« ses points ; car il en résultera d'abord un point de la directrice ; et la tangente menée par ce point à la circonférence décrite de l'un des points donnés, comme centre, arec la distance de ce point au foyer pour rayon , sera la directrice elle-même.

198. La construction d'une section conique, d'après certaines conditions, est, en général, un problème assez facile à résoudre, au moyen des propriétés de la courbe. Par exemple, et fon veut écrire la section conique tangente à trois droites données et dstU un foyer soit un point donné; on mènera de ce point des perpendiculaires aux droites proposées : si les pieds de ces parpendico-

lairet sont en ligne droite, cette droite sera le second axe d^iine parabole (173), bien facile à tracer, poisqu^on aura sur-lecbamp sa directrice. Mais si les trois pieds forment an triangle, le centre et le rayon de la circonférence circonscrite à ce triangle, seront respectivement le centre et le demi-premier axe de Tellipse ou de llijrperbole à construire (78 et ia4) î et on en déduira les données nécessaires à cette construction.

199. Voici encore quelques théorèmes et problèmes à traiter :

I. Si un oâté de Tangle droit, dont le sommet est aa loyer d^une section coni<iae, passe par le point de tangence, Tautre côté coupera la tangente sur la directrice. (Ce théorème est déjà énoncé pour Pellipse, page 4a.)

n. Trouver le lieu de tous les sommets des triangles de même base cf, dans cbacnn desquels un des angles à la base est double de Pautre. ( Gs lieu est une branche d^hyperbole, ayant pour premier axe les deux tiers de <2 et pour centre Tun des points qui diyisent d en trcns parties <^les. Cette bnAche coupe Tare dont ci est la corde, en deux parties doubles Pone de Tautre, et résout le problème de la trisection de Tangle. )

jn. Les deux droites menées des extrémités dW diamètre d^une sec* lion conique aux extrémités de toute corde parallèle au conjugué de ce diamètre, se coupent sur une autre section conique; et suivant que la courbe proposée est une ellipse ou une hyperbole, la nouvelle courbe^ au contraire, est une hyperbole on une ellipse. Si la courbe donnée était une parabole', la seconde courbe serait une parabole égale, mais tournée en sens opposé ; d^où r^ulte un théorème, que nous laissons h énoncer*

IV. Dans tonte scciion conique y* r=: 7ps -)- ^«^, si par un point de Taxe des jr et à la dbtance ^p de Porigine, on m^e une parallèle à Taxe des ', la portion de cette parallèle, entre Taxe des ordonnées et le pro~ lougement de Tune des deux cordes supplémentaires menées des extrémités du diamètre placé sur Pa^euclp abscisses, sera égale à la distance de Forigine au point où Tautre coiïle prolongée coupe Taxe des jr. (Cette propriété donne le moyen de trouver autant de points qu^on voudra de la section conique proposa. )

V. Trouver sur le pbn d^une section conique, un point dont la distance à un point quelconque de k courbe, soit une fonction rationnelle de Tabscisse de ce dernier pcnnt. (Le point cherché est Ton des foyers.)

VL Trouver le lieu géométrique do tous les milicnx d^une série de cordes parallèles, dans une section conique. (Ce lieu est un diamètre de la courbe. )

VII. Une portion de aeotion conique étant tracée sur on pletf , trouver la nature de la courbe*

100. Dans une êêetion eoniquê, la eurds d^mn stymeni éiani f§rp9nèieulairê au pmnùr ose frhuipal, trouver la ntêêurê du

volume engendré par le demi-tegment auteur d^un axê extériewr GZ, danê le même plan etpartdlhle au premier axe OX (fig. 36 el 37).

Soit OMP = S le demi-segment proposé ; plaçons rorigine des coordonnées rectangulaires au sommet O de la courbe et Taxe des x suivant le premier axe prindpal OX. Soient hfik les coordonnées OP et PM du point M. Divisons Tabsdsse k en un nombre infini n de parties égales à c, de manière qu^on ait h:=nz et que t puisse être regardée comme infiniment petite : il est clair que les ordonnées dont les pieds tombent aux points de divbion de h^ partagent le demi-segment S en trapëses mîztilignes , tels que HILK , qui , à cause de la hauteur IL oa i infiniment petite , pourront être regardés comme des rectangles. Soit I le V ième point de division de A, à partir du sommet 0, et soit t^ le vième trapèze HILK; on aura donc OI=t;j:. Soit d la distance OC du sommet O à Taxe de rotation CZ et IH=:j. Le V ième trapèze t^ pouvant être regardé conmie on rectangle, il est visible que le volume décnt par le trapèze, autour deCZ, est la différence des cylindres décriu par EFHK et EFIL ; aimi on a, lorsque Parc du demi-segment S est concave vers Taxe CZ,

vol. ij, = w{d+jryt — wd*zz=zt^.'2wd+wyz^ et lorsque Parc du demi-segment est convexe vers le même axe,

vol. i^ziz^d^t — 7r{d — jryzzzzt^'iwd — wy^z\ ce qui donne , pour les deux cas ,

vol. i^z^t^' %frd =i= irjr^z.

L^éqnation commune aux trob'fections coniques est (188)

jr* r= 2px -|- qx*.

Pour le point H , où IH =^ et OI = a: = v« , il vient

jr* ZZZ ipVZ -}- yvV.

Substituant cette valeur de^* dans Pexpression précédente de vol. /^, on aura

vol. tyZHi^- 2frd =*=«•( 2pvz* + qv*z^ ).

Prenant successivement 1; = 1, a, 3, 4 1 •^•1 n^ on aura successivement les volumes décrits autour de CZ par les trapèies qui composent le demi-segment S ; la somme de ces volumes sera donc celui engendré par ce demi-segment : observant que

'i + 'a + ^ *4" •" *4" '» ^= ^ ^ 9"® n« = A el que n étant infini , on a I + a + 3 + 4 + •'• + ** = !'** (^' P^^® ^^) ^^ ** + a*+ 3* + 4* +••• + ***= 1**'^^" trouvera, réductions faites,

vol. SmS. awJ =*=«•**(;> + 5^)... (i)

Cette formule fera connaître la mesure du volume décrit par le demi-segment S de Tellipse , de lliyperbole ou de la parabole , en y substituant les valeurs de j9 et ^ qui appartiennent à fa courbe que Ton considère (i 88). Par exemple, pour la parabole, où ç == o et opA = V, on trouvera

vol. S=,S'%irâzti^jeh\

c^'est-à'dire que U volume dSeriiparun demirêegtMnt de parabole autour d^ un axe extérieur, dan$ le même flan et parallèle à Taxe de la courbe, lui-même perpendiculaire à la corde de ce êepnentj a pour meeure Taire du dend-êegment multipUie par la circonférence que décrit le êommet, plue ou moine U demi-cylindre dont la hauteur et le rayon de la baee eont reepectivement Tabecieee et T ordonnée qui terminent ce demi-eegment ; plus $i Tare du demieegment eet concave et moins i^il eet convexe père Taxe de rota^ tùm.

201. Supposons que le demi-segment dont Parc est concave et le demi-segment dont Parc est convexe vers Paxe GZ', aient le même sommet O et la même abscisse A ; la distance (7 sera la même, pour tous les deux ; et si Pon prend le signe -|-, puis le signe — , dans la formule (i), les valeurs résultantes exprime* ront les volumes décrits par le premier et le second demi-segment ; la somme de ces volumes sera par conséquent celui décrit par le segment entier aS \ ainsi on aura

vol. aS = aS • 2)rd.

D^où il suit que l» volume engendré par un eegment de eeotion conique, autour éTun axe extérieur, dane le même plan et perpendiculaire à la corde du eegment, elte-même perpendiculaire au premier axe principal, a pour meeure Taire de ce eegment multipliée par la circonférence que décrit le eommet de la courbe. Par exemple , si le segment deSrient Pellipse entière s-AB , le grand axe a A étant parallèle à Paxe de rotation , on aura , pour le volume de Vanneau applaU engendré , a«-'AB(7.

ao3. Pour VelUpeoide allongé que produit la demi-eUipsc S

autour de son grand axe 2A, on a d=:o, A=:iA, pr= -*---,

9= j;, et la formule (1) donne

vol. S = firAB\

D^où Ton voit que telUpsàide allongé a pour mesure les qluUn tien du cylindre dont la hauteur et le rayon de la haee, sont mpectivement le demi-grand et le demi-petit axe de PelUpee génératrice.

Raisonnant comme pour la formule (i), on verra que VelUpêolde applati^ engendré par la révolution d'aune demi-ellipse, autour de son petit axe aB, a pour mesure |«-A*B. De sorte qoe rellipsoïde applati est plus grand que Pellipsoïde allongé.

ao3. La fi^nmile (1) conduit aussi à la mesure du corps décrit par va secteur de section ocmique) ou par un segment à deux faëses. Enfin on a ce théorème, que nous laissons à démontrer :

La corde d^un segment de parabole étant perpendiculaire à son axe, l'anneau engendré par ce sèment; autour d'un axe extérieur, dans k même plan et parallèle à la corde, a pour volume l'aire de c:e segmcal multipliée par la circonférence que décrit le sommet, plus ou moins fci quatre cinquièmes du cjlindre produit autour de la tangtente an sonmiet, par le rectangle circonscrit au segment proposé ; plus si l'arc du segment est convexe et moins s'il est concave vers l'axe de rotation.

INous laissons aussi à résoudre ce problème : On veut construire oa vase cylindrique d'argent fin, à base elliptique, et surmonté d'un coavercle dont l'intérieur soit égal au demi-ellipsoïde allongé décrit par cette base. La capacité intérieure, tant du vase que du couvcrde, sera de 4 litres et l'épaisseur aura partout un millimètre. Comme on d^ire ménager autant qu'il se pourra la matière, on demande quelles deYix>nt être les dimensions du vase à construire, pour que la quantité d^ai^ent employé soit un minimum ?

Des courbes que peut représenter une équation du second degré, à deux variables , et de quelques problèmes qui en dépendent.

204. Les courbes dont les équations sont du second degré, s^appellent aussi courbée du $econd ordre. Pour trouver ces com^ bos , considérons Téquation la plus générale du second degré à deux variables x et j*, savoir

Ajr' + Bxjr + Cx' + Dr + Ejr + F = o, ...(,)

Tangle des coordonnées x ely étant quelconques. Supposons dV

bord que A ne soit pas nul , c^est-à-dire que Téquatioii rcrifcrme au moins le carré ^*. Dans ce cas , en résolvant Téquation par rapport à^ et posant, pour abréger,

il viendra

j =j; =t -îj J/(B'— 4AC)x*+ 2 (BD— 2AE):c+D"— 4AF.

Ainsi, pour la même abscisse x, Pordonnée jr aura deux valeurs et déterminera deux points de la ligne représentée par Téquation proposée , en supposant toutefois que cette équation ne soit pas impossible.

Pour trouver ces deux points, il faut d^abord construire la droite que représente Péqnation (2). Or, soient OX et OY les axes des x et des jr^ O étant Porigine (fig. a8), et supposons tous les nombres A , B , D , positiÊ ( les raisonnemens seraient les mêmes , si un ou plusieurs de ces nombres étaient négatifs ). Il est clair que la droite (2) coupe les axes des x et des ^ en des

points éloignés de Porigine O des distances — ^-^ et -» La

seconde n'^étant pas infinie , représentons-la par OG. Quant à la première , si elle était infinie , c^est-à-dire si B était nul , la droite (2) serait parallèle à Paxe des x et pourrait aisément se construire \ mais supposons que cette première distance ait une valeur finie et soit égale à OH \ la droite HGX' sera donc celle que représente Péquation (2).

Gela posé, soit OP une abscisse de la ligne (1); Pordonnée corre^ondante de la droite (2) sera — PP'. Et puisqu^à cette ordonnée, il faut ajouter et retrancher le terme irrationnel de^, pour avoir les valeurs de Pordonnée de la ligne (1) qui répondent à Pabscisse OP ; on voit que si Pon prend les droites P'M et VW égales chacune au terme contenant le radical , M et M' seront deux points de la ligne (1) cherchée.

Transformons actuellement les coordonnées , et prenons GX' et GY pour les nouveaux axes des x' et des ^, G étant la nouvelle origine. Les anciennes coordonnées étant OP = x et PM

= r, les nouvelles seront GP' = j/ et P'M= r'. Si donc on

observe que PP' = -x -: , et que les triangles GOH et

PHP' sont semblables, on trouvera

Substituant ces valeurs dans celle de y fournie par réquation (i), réduisant et élevant au carré, on verra que la ligne (i)est représentée par Téquation

4Ay=;:(B*-^4AC)2;V'-a(BD-aAE)i;x'+D'— 4AF...(3).

Si donc B' — 4^^ ^^^ ^^ i ^ ^' ^^^ qu^en passant à des coordonnées parallèles, Péquation (i) pourrait se ramener à k forme y^ = ajix, et représenterait une parabole (180). Il est facile de voir d^ailleurs que cette parabole se réduirait à deux droites parallèles à Taxe des j^, ou à cet axe lui-même , ou à deux droites imaginaires , si BD — 2AE étant nul , on avait en même temps D* — 4^^ positif, nul ou négatif.

Admettons que B* — 4^^ ^^ ^^î^ P^ ^^1 : dans ce cas, si nous transportons Torigine sur GX', de G en I , de manière qu^on ait

p- BD — aAE

le nouvel axe des abscisses étant toujours dirigé suivant GX' et le nouvel axe des ordonnées étant parallèle à GY^ il est visible que la nouvelle ordonnée sera toujours P'M ou j^^ et que si Foq désigne par oc?^ la nouvelle abscisse IP', on aura

BD-aAE ** (B»— 4AC)v^^

Substituant celte valeur dans Péquation (3) et réduisant, oa trouvera, pour représenter la ligne (1), Téquation

4Ay = (B' 4AC)i.v''- ^H=|^ + D'— 4At...(4)

Suivant donc que B* *^ 4^^ ^^^^ négatif ou positif, cette équation pourra évidemment prendre la forme Mt^-J-NxVtP ou Mj^' — Nj:" = P, M et N étant deux nombres positif ; ainsi Tétpiation (4) ^^ conséquemment Péquation ( 1 ), représentera une ellipse (87), ou une hyperbole (1 35), rapportée à des diamètres conjugués.

LVllipse se réduirait même à un point , ou bien serait impossible, si P était nul ou négatif, tandis que Phjperbole se réduirait à deux droites , si Pon avait P = o.

On voit que ïè^uatUm ( 1 ) reprégenie une parahohj une êUipu

OU une hyperboUj êuwani ^ptê la quantM B*-~ 4^C eêi nulle, négative ou positive. Et cela serait encore si Tune des quantités B, G, D, E, était nulle, ou s^il y en avait plusieurs égales à zéro. 2o5. Maintenant, pour connaître toutes les courbes représen* tées par Téquatîon (i), il ne nous reste plus qn^à examiner le cas où A et G sont nuls en même temps. Dans ce cas , B* — 4A.G étant positif, Péquation représentera sans doute une hjperbole. Or, c^est ce qui a lieu en effet ; car Péquation du second degré devenant alors Ba:jr+Dr+Er + F=o,

on peut la mettre sous la forme

Et si Ton passe à un système de coordonnées parallèles, en posant D , E

— g- et — g seront Pabscisse et Pordonnée de Porigine des nouvelles coordonnées x' et^; et Péquation proposée deviendra