DE— BF

Sous cette forme, elle représente, comme on Ta vu (i4^)i une hyperbole rapportée à ses asymptotes.

n résulte de la discussion précédente, qu^tme équation du gecond degré entre deus variablee x et y, ne peut repréeenter d^ outrée courbes que V ellipse (^ou la cireonférence^ , la parabole et r hyperbole, c^est-à-dire Vune des sections coniques; et nous avons vu plus haut (3o4) à quel caractère on reconnaît chaque espèce de courbe.

ao6. La marche que nous venons de suivre est analogue à celle qu^on trouve pag. 796 et suiv. de la &éomécrie analytique de M. Biot, 6*"* édition ; cette méthode est aussi très-propre à fournir la construction de la courbe proposée, conune on le verra dans le problème que voici :

Les côtés PQ et PR ^un angle tracé'étant donnés de longueurs ( fig. 29 ) , H on divise chacun de ces côtés en n parties égales, et que Von compte les points de division de P vers R, pour le côté PR, et de (^ vers P, pour le coté PQ^ les droites qui joindront les extrémités P et Q^, des deux côtés, aux deux points de division

( Ï06 ) dé mitMê rang, •• couf9roni Htr wm eourbf, qt^il «'o^ de cmêimirÊ,

Pour cet efifel, prenoiiB le sommet P de Pangle pour ongine des coordennées dbliqoes, PQ étant Taxe des x et PR Taxe des jr. Soient S et T les vièmes points de division des côtés PQ et PB. \ soient a et Mes longueurs de ces câtés ; on aura donc,

diaprés Pénoncé, QS = -a et PT = -&. Soit M le point où se

coupent les droites RS et QT« et soient x et j- les coordonnées PN et NM du point M. Il est clair, par les triangles semblables QMN et QTP, RSP et SMN, qu'on aura

a — xlallrl^h et a — -a — x • a— -a •• r * *.

Egalant entre elles les valeurs de -, tirées de ces proportions, puis chassant les dénominateurs et réduisant, il viendra ay+ ahx^-\- t*x*. — aa'4^ — 2ab*x + a*b* = o ... (i)

Celte équation étant indépendante des nombres it et t; , sera vraie quels que soient ces nombres ; elle représente donc le Heu de tous les points d^intersection M des droites menées conformément à renoncé. Or , ce lieu est une ellipse , puisque pour Téquation proposée, la quantité B* — 4^G est négative et se réduit à — 3a' A" (^o4).

Actuellement, pour trouver les moyens de décrire cette ellipse, résolvons Péquation (i) par rapport à^; nous aurons

r = ô dt — I/Aox -^ 3x*.

bx '

La droite jr.^-^zh rencontre l'axe des jr au point R cl

Taxe des x au point G tel , que PG = ia \ celte droite est donc RG. De plus, d'après les deux valeurs générales de j-^ il est clair que RG divise en deux parties égales toutes les cordes de Tellipse dierchée , parallèles à Taxe des ordonnées \ RG est donc un diamètre (89).

D'un autre côté, dans les points de l'ellipse, où les ordonnées sont tangentes, les deux valeurs de j* sont égales ; le radical est donc nul ; ces points appartiennent par conséquent à la droite RG. Effectivement, les coordonnées de ces deux points sont xzno et j- = * = PR, x = fa = PI et j- = ^i = IR'. De

sorte que les deux parallèles PK et IR touchent la courbe'ea R et R'.

Résolvant Tëquatîon (i) par rapport à x et raisonnant comme pour j^, on verra qu^en prenant PH=::a&=:iPR, la droite RQ sera un diamètre de Pellipse , et que les points où les parallèles à Taxe des abscisses sont tangentes , sont Q et Q^ sur HQ, les coordonnées du dernier point étant xz=z\a et^=|^=:PL. De sorte que les parallèles PQ et LK touchent la courbe en Q et Q^ LVIlipse est donc inscrite dans le parallélogramme PIKL. On sait d^ailleurs que si deux diamètres de Pellipse sont tels , que les tangentes aux extrémités de Pun soient parallèles à Pautre , ces deux diamètres sont conjugués (81) ; donc RR' et QQ' sont deux diamètres conjugués de la courbe : on connaît leurs longueurs et Pangie qu^ik font entre eux ; on peut donc en déduire les deux axes, de longueur et de position (88) « et conséquemr ment décrire Pellipse demandée.

Il est aisé de s^assurer que cette ellipse est inscrite dans le triangle PHG, et touche les côtés, chacun dans son milieu.

207. Si les points de division des cotés PR et PQ, se comptaient à partir du point commun Ç, les droites joignant les extrémités R et Q de ces côtés à deux de leurs points de division de même rang, se couperaient sur la diagonale du parallélogramme construit sur les côtés PR, PQ et Pangie compris RPQ, et dont RQ serait la seconde diagonale. Cest ce qu^on peut aisément vérifier.

!io8. Remarquons encore que H les poinig qui divùeni leê eôUê PQ et PR en n pariiee égalée chacun, se comptent de Q vere P pour Pun etdeV vere R pour Vautre, la droite joignant deux points de division de même rang et la droite joignant les deux pointe de dwieion éPun rang immédiatement supérieur , se couperont sur une parabole.

Pour le Êmre voir, prenons les côtés PQ = a et PR = h pour axes des coordonnées, PQ étant celui des abscisses. Soient S et T les vièmes points de division des côtés PQ et PR ; on aura

donc QS =^a, PS =^a et PT z=z-h. Ainsi Péqualion de

la droite ST se réduit à

«(« — v)ajr -{-nvhxznvÇ^n — v^ah ... (1)

Changeant 1; en t; -|- 1 1 dans cette équation, on aura celle de

la droite qui joint les (y -f- i)ièmeB t>oinU de division , il viendra donc

n{n — v— i)a;^ + n(v+i)Jar=(v+i)(n— V — i)a&...(i)

Pour le point où les deux droites se coupent , les x et les jr sont respectivement les mêmes dans les deux équatioQS précédentes. Si donc on élimine v de ces équations, Péquation résultante renfermera les coordonnées de Tintersection de deur droites consécutives quelconques^ menées conformément à Ténoncé, et représentera le lieu de toutes les intersections. Or, pour âimîner v avec plus de facilité, retranchons (2) de (i) ; nous aurons

d^où nous pouvons déduire aisément les valeurs de 1/ et de 9^ V, Substituant ces valeurs dans Péquation ( 1 ) et réduisant, on trouvera, pour Téquation du lieu géométrique cherché,

(aj- — bx — aby — 4*5* jr j-=:o;

ce lien est par conséquent une parabole (3o4)«

Lorsque n est infini , on est conduit à ce théorème : Si une droite SX rencontrant continuellement deux côtés PQ et PR d^un triangle donné PRQ , se meut de manière à couper constamment ces deux côtés en parties donnant la proportion QS l SP * * PT l TR ; les intersections successives de chaque position de la droite mobile avec la position imn^édiatement suivante, décriront une parabole , à laquelle la droite mobile restera toujours tangente. De plus, cette parabole, tangente en Q et P aux deux côtés PQ et PR , aura deux diamètres dirigés suivant les prolongemcns de deux côtés opposés du parallélogramme dont PQ et PR sont les demi-diagonales.

a 09. Voici une propriété commune aux courbes du second ordre et de laquelle on a déduit le moyen de les construire :

Si une tection conique e$t coupée par deux droiies nan-parah leles AB ei CD ; que â^un point V de la première drûiie AB, en mène une sécante PN parallèle à la eeconde CD ei d'un point Q de la seconde, une sécante ST parallèle à la première; les deux ra/ipor^ PM X PN : PB X PA e/ QC X QD : QS.^QT wnwi/ égaux et invariables, quels que soient les points P et ^^^^. 3o).

Prenons les droites proposées 'AB et CD pour axes des x et desjr obliques, O étant Torigine^ Péquation de la section co-

nique étant nëcessaîrenicnt du second degré en x etj^ (ao4)> sera de la forme

7^» + ax^ + 5x* + i?j^ + Ac + tf=o, ... (i)

a, h^ e, d^ 9 étant des nombres donnés, posîtl& on négatifs. Cette équation est la même que celle-ci :

Dans les points A et B, où la courbe coupe Taxe des x, on a j^ = o ; ce qui donne , pour déterminer les abscisses OB et O A des points d^intersection ,

Désignant par x* et x" les racines de cette dernière équation , on

aurax' = OB, a^'^zr — OA, et le trinôme x*+ 70: + - pren-

dra la forme (x — x') (x— x"). Si donc x désigne Fabscisse OP, dans Féquation (a), les valeurs correpondantes de^ seront PM et PN, et le dernier terme de cette équation deviendra h X PBx PA. Or, le produit des valeurs de^, dans Péquation (a), est égal au dernier terme ; ainsi on a PM X PN = 6- PB X PA, ou PM X PN : PB X PA = b. On aurait de même, PTMl'x P'N' :FBxP'A.

Maintenant, si Ton remarque que Péquation (1) revient à

on verra, en raisonnant comme pour Péquation (a), que QS X QT = j.QCxQD,ouqueQCxQD:QSxQT=:*.Tous

les rapports PM X PN : PB XPA , P'M' X ^^' l P'B X P'A , QC X QD ; QS X QT , etc. , sont donc égaux au nombre constant h. Ce quMl fallait démontrer.

Il est clair que le théorème précédent aurait encore lieu , si les parallèles aux axes étaient tangentes à la courbe.

aïo. De ce théorème, on tire le moyen de faire passer une section conique par cinq points donnés, sommets d^nn pentagone. Proposons-nous f par exemple, da décrire felUpsê eireameriiê au peniagoM darmS AàJBB'G (fig. 3i).

Supposons le problème rés<dn , et soit I le point de rencontre des deux droites A'A et B'B ; par le point G, menons les droites

( 110 ) G&' et GG/, respectivement parallèles aux deux B'B et A'Act I rencontrant Pcllipse demandée en G" et G'. Pour dëtemuoer ces deux points , le théorème précédent donne

IA.IA.';IÇIB';:IUHA':HG.HG";:KG.KG':KB.KB';

d^où Ton tire