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Enfin , connaissant les deux diamètres conjugués CC' et BfM' ainsi que Tangle COM = CQA qu'ils font entre eux^ on construira Tellipse, soit comme il a été dit (89, a*), soit en déterminant d^abord les deux axes , de grandeur et de position (88).

Il suit de cette solution , qu'une ellipse est complètement déterminée , dès qu'elle doit passer par dnq poinU donnés. Maïs le problème serait impossible, si trois de ces poinU étaient eo

( ni )

ligne droite ; et si les cinq, points étaient les sommets d^nn pentagone régulier , Pellipse demandée serait une circonférence.

211. En général, une section conique pouvant être construite^ lorsqu'^on connait les cinq coefficiens de son équation^* 4~ <>^ + hx^ -{'ej''\rdx'\'ez=:o\ on voit que pour déterminer une courbe du êecond degré, il faut généralement cinq conditions ou cinq donnéeê, leequelleM se réduisent à quatre pour la parabole et f hyperbole équQathre, et à trois pour la circoT\flrenee ; car régalitc des deux axes , dans llijperbole équilatère , fait déjà une donnée ; et pour la parabole , on a toujours la condition a* — ^bz=.o (2o4)* Quant à la circonférence, elle est bien fournie par la seule égalité des deux axes de Pellipse ; mais cette ^alité faisant coïncider les deux fojers avec le centre , équivaut à deux conditions distinctes.

D^ailleurs , on a vu (197) que Pellipse et lliyperbole sont déterminées, dès qu^on a un foyer avec trois autres données, et que la parabole peut se construire, quand on a son fojer et deux de ses autres élémens. H s^ensuit donc que la connaissance d^un foyer équivaut à deux des conditions nécessaires à la construction de toute section conique.

212. Trouver taire de t ellipse représentée par t équation kj* -)- Bxy -}- Cx* -}- S = o , V angle des coordonnées étant désigné par y.

D^abord puisque Péquation précédente représente une ellipse, la quantité B' — 4^^ est négative (204). De plus, Porigine est au centre \ car si («, fi) est un point de la courbe, ( — «, — fi) en sera un autre ^ et il est fadle de voir que la droite joignant 6es deux points , passe par Porigine et se trouve divisée en deux parties égales , par cette origine, laquelle conséquemment est le centre de Pellipse.

Soh jr =:px Péqaation de Pun des diamètres de Pellipse proposée et (2 la demi-longueur de ce diamètre \d^ x tiy sont donc les côtés d'^un triangle dont Pangle entre x eijr vaut 180** — v, et il est clair (G. 38i ) qu^on aura iriira:*-f-^-|-aa^ cos v. De SOI te que pour Pextréouté {x^jr) de 1^, les valeurs des coordonnées X eijr sont respectivement les mêmes dans les trois équations ky + Bx^+Cx^ + S^o,

jrznpx et éPz=:x!^'\'y'\'^xjrco$v* Eliminant x eijr de ces équations, on trouvera

Dans cette équation ^detp sont variables ; et comme la plus grande et la plus petite valeur du diamètre ^d^ sont Pnne le grand et Tautre le petit axe de Pellîpse proposée (60 ) , il faut d'^abord trouver cette plus grande et cette plus petite vadeor. Or, résolvant Péqaation finale précédente par rapport k p^ pub observant que le maximum et le minimum de d doivent rendre nulle la quantité sous le radical (^Mélanges d^^ilghhre, P^^ ^)i on aura, pour déterminer ce maximum et ce mînimami Féquation , 4S(Bcosi;— A — C) - , 4S»sin*v