I/4AC — B

Les équations (1) feront connaître les axes de Pellipse représentée par Péquation propose. ( On en déduirait aussi les axes de rhjperbole représentée par cette même équation , si B'— 4AG était positif.)

21 3. Déterminer fellipêe de la plus grande eitrface qv^ on peut inscrire dans un triangle donné.

Soient m et n deux côtés du triangle donné et v Tangle compris. Soit j^y ^ Bx^ + dr' + 1 = o ,

Péquation de Tellipse cherchée, rapportée à des axes obliques parallèles aux côtés ira et n , et comprenant entre eux , censéquemment, un angle égal à v. Portons Porigine ali point où se coupent les côtés m et n , en laissant toujours les axes parallèles à eux-mêmes ; soient x^jrles coordonnées du centre de Tellipse, par rapport aux nouveaux axes ^ x'^y les nouvelles coordonnées et x", y^ les anciennes ; on aura donc x'z=iX'\'X" t^ty—y +y, ou x"=x' — X ety'=y — j^. Substituant ces valeurs dans Ayf^+Bxfy + Cx"^ + 1=0, il viendra , pour l'équation de Fellipse , rapportée aux nouveaux axes ,

A f B , C, étant des coefiBciens qui , avec x et y y forment les inconnues du problème.

Il faut d^abord exprimer que Tellipse touche les côtés m et n^

qui sont ici les axes des oc^ et des^. Pour cela, faisons d^abord

jr' = o dans son équation , et exprimons que les valeurs qui en

résultent pour xf^ sont égales \ nous trouverons , pour Fabscisse

x, du point de contact avec le côté m, x^z:zx'{'-^y^ avec la condition (B'— 4AC)^»=4C ... (i)

Si dans Téquation de Tellipse on fait x'zro et qu^on exprime que les valeurs qui en résultent pour^ sont égales, on trouvera, pour Pordonnée j^, du point de contact avec le côté n^y^zny

-f' -T ^ 1 avec la condition

(B'^4AC)a^=i:4A...(a).

L^éqnation du troisième côté du triangle proposé est^=;— ^

— x'4-n, ou

m {^y — ^) + « («* — ^) + nxf -|- mj* — mn =? o.

Pour le point de contact de ce côté avec Pellipse, les équations

de ces deux lignes admettent les mêmes valeurs pour x^ et les

mêmes valeurs pour j^ : de plus, les deux valeurs qtii en résultent

pour x' se réduisent à une seule, de même que les deux valeurs

qui en résultent pour j^ : on a donc , pour les coordonnées x^

et j*} du point de contact avec le troisième côté,

(Bm— aAn)(iMP + my— iwi)

jri—y-V

a(An«— Bmn+Cm") (Bu — sCm) (/ix-|-my — mn)

2(An"— Bmii-1-Cm*) '

avec la condition ( B' — 4^C) (nx + mjr — mn y — 4^»* + 4Bmn— 4^*=0i laquelle 1 ri Ton en retranche les produits respectifi des équations (1) et (2) par m* et n*, se réduit à (B^

— l{kC)(^^xjr — ^nx — 2iii;^ + iitn) + 4^ = ® î ou bien, en posant D =z ixj- — anx — imjr + mn , cette condition prend

laforme (B'-^4AC)D = -.4B ... (3)

Retranchant du carré de cette équation , 4 ^^^^ le produit de» équations (t) et (a)« et réduisant , on obtiendra

(4AC-.B')(4xy~D')=:i6.

( »4 ) t^renant dans cette équation la valeur de 4AC — B* et substituant cette valeur dans Ez= , E désignant raîre de