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Tellipse cherchée (212), il viendra

EV=i«-*sin"i;(4x>*— D').

Posant Erz\wz sîn v et remettant la valeur de D, on trouvera jj5*=4j?y — (^^ — ^^^ — ^Mijr+mny ... (4) Dans cette équation ^ Xyjr et z sont variables ; et il s^agît de trouver le maximum de z , puisque z étant à son maximum , il en sera de même de Paire E de Pellipse demandée. Or , résolvant Téquation (4) par rapport à x et supposant qtie Tinconniie j" ait la valeur qui convient au maximum de 2, on verra que pour ce maximum , la quantité sous le radical est nulle et qa^îl en résulte m . . , - .

De même , résolvant Téquation (4) par rapport kjr^ on verra que le maximum de z donne

jr = £(m— a:)...(6)

Le maximum de z et conséquemment celui de E, fournit donc les équations (5) et (6). Ainsi , diaprés ces équations , les coordonnées du centre de la plus grande ellipse inscrit^. dans le triangle proposé , sont

xz^\m et j^m^n;

ce centre coïncide donc avec le centre de gravité du triangle.

Au moyen de ces valeurs , on trouve A=: , Bi=:

et C=:— — , puis a:, = |m, j^,=^, Xi=ini et jr^=z^.

De sorte que les points de contact sont les milieux des côtés du triangle proposé. Soit T Taire de ce triangle \ celle de Pellipsc maximum inscrite sera E = |irT^3.

Il résulte des calculs précédens , que la pltis grande eUipêê mêcrite dont un triangle dorme j touche Uê côtéê en leur» nuUeux et son centre coïncide avec le centre de gravité du triangle.

Ce théorème remarquable , auquel M. Bérard est parvenu , par le calcul difTércntiel , tome IV des Annales de Mathématiques , fournit le moyen de tracer la plus grande ellipse inscrîp-

( 116 ) Ublc , et montre comment il faut /y prendre pour couper, dan$ une puce de bois triangulaire, la plus grande table ovale qt^il se puisse.

En effet , Tiin des diamètres !ik' de cette ellipse est dirigé suivant la droite J, menée du milieu du côté m du triangle, aa sommet opposé : et puisque le centre est an tiers de cette droite, à partir du côté m, il s^ensuit que iL'ziz^d, Le conjugué aB' du diamètre 2A' est parallèle au côté m , tangent à Tellipse à Textrémité de 2 A' (80). De plus, la droite qui joint les points de contact avec les deux autres côtés du triangle, passe par leurs milieux ; elle est donc parallèle au troisième côté m , et en vaul la moitié. En outre , la moitié de cette droite^ étant Pordonnée de Pun des points de contact , vaut évidemment ^m ; et quant à Pabscisse du même point , il est facile de voir que sa valeur est d — jd — ^d ou ^. Ainsi , pour ce point de contact, Téquation de Tellipse maximum, rapportée à ses diamètres conjugués 2À' et 2B', devient

d^où à cause de A' =3<2, on tire B'* =: ^m*, valeur bien facile k construire.

G>nnaissant donc les deux diamètres conjugués aA' et 2B\ ainsi que Pangle qu^ils font entre eux , on en déduira la grandeur et la position des dieux axes 2A et iB (88)4 d^ou il sera aisé de tracer la' plus grande elUpse inscriptible demandée.

Voici encore deux théorèmes :

I. Le lieu de tous les sommets des triangles ayant une même base cft la même différence des angles adjaoens, est une hyperbole équilatére, dont le centre est au milieu de la base commune.

n. Si sur les 3 côtés d^un triangle, pris tour à tour conune diagonales^ on construit des parallélogrammes, dont les côtés soient parallèles à deux droites données, les trois autres diagonales se couperont en un même point, centre d^une hjrperbole équilatâre circonscrite an triangle propose. ( Voyex la démonstration, page iS4 du tome III de la Onrespondance Mathématique et Physique, de M. Quetelet. )