Exemple. Soit la série

/f% rfA /m4 /«S /»»fi /Mfn-4*1

2 ' 3 4 ' 5 2rt ' 2n+l

Le rapport d'un terme au précédent est , en valeur absolue,

n ■ . a;; et sa limite est x. Donc la série sera convergente (0 et

88), si la valeur absolue de x est inférieure à l'unité. Elle sers

divergente, si xest plus grand que 1. On verra plu9 lard, d'ail*

Alg. sp. B. 8

ta LJPfBR u

tmoA^Siarasi^ la 9érj»»e9(€(iiW0Pgeiil9(lM> ; carieUeëeTieiit r

el'M9 termes, aHérnaffrement positife et* né^ftifi, déeroîissenf iadéflniiiient. Si, aocoiitraire|'0iiffffta7:=r««-*iy oirretnnife- la série* harmoiHfo&v qui est dûrergeste.' Bniav lorsqve- ht série est cwiferytrte; Ferreur e comniise;

ens'arrêtant au ternie r, est moindre, en TalaoïL absolue.

que ^y et de même signe que ce terme*

29. Remarque. Quand une série, dont tous les termes ne sont pas positifs, est convergente indépendammen t dés signes de ses termes, on peut la considérer comme la différence des deux séries convergentes, dont l'une serait formée par les termes positifs» et l'autre par les termes négatiEs. En effet, désignons par S. la somme des n premiers termes de la série, et par S'«' et SV les sommes des termes positifs et des termes négatif compris dans cesn termes; on a évidemment :

Or» à mesure que n augmente, en même temps que nf et n', ces trois sommes, qui sont convergentes, tendent simultanément vers leurs limites S. S^ S'.

Mais il faut se bien garder d*étendre cette remarque aux séries qui deviendraient divergentes si tous leurs termes devenaient positifs. On serait ainsi conduit à des erreurs graves. En voici un exemple remarquable.

La série harmonique [1] est divergente. Hais la série

composée des mêmes termes, pris alternativement avec le signe -j- et avec le signe —, est convergente (22), puisque les teanes^ont en diminuant indéfiniment. Nowvernms plos tard; q«i!iA aiMUCsomme (ltf7) le loganttoD&Bépérfeirde i.

Oti sit en changeaat Tordre des termes on écrit :

il semble qu'on écrive la même chose, car les deux séries [9] et [10] onl les mêmes termes positifs, 1, ô» r> 71 ^ et les

mêmes termes négatifs -, -, ê' â" * * ^^P^^^^^ '^^^^ sommes

sont différentes. En effet, si sans changer Tordre des termes de la série [9] on les groupe quatre par quatre, le n*"* groupe sera

et Ton obtiendra la somme s de la série, en faisant la somme des valeurs que prend ce groupe, quand on y donne à n toutes les valeurs entières possibles. De même, si Ton groupe trois par trois les termes de la série [10], le n"»» groupe sera :

et Ton obtiendra la somme s* de la série, en faisant la somme des valeurs que prend ce groupe, quand on y donne à n toutes les valeurs entières possibles. Or Texcès du groupe [p] sur le groupe [a] est évidemment