II

ou enfin M 1(^-1).

On a donc identiquement, quel que soit n :

= /^l L^ + -J LUV-i ^\

\4n — 3 4n— 2~4n— 1 4n/~2\2u— 1 2nJ*

^ donc on donne successivement à n, dans cette identité^ les

20 LIVRE h

valeurs 1, S, 3, •.. n, et qu'on ajoute les résultats membre à membre, on aura, quel que soitn:

-2/^-i l-A—l: lUisl"— î JL^

■" \4n — 3 4n— 2~47i— l knj^% \2n — 1 2n/*

Si Ton suppose enfin que n croisse indéfiniment, la première somme a pour limite s\ et la seconde s. Quanta la dernière, elle

a aussi s pour limite, puisque ( — ^j est le n"* groupe

de la série [6], quand on y prend les termes par groupes de deux.

Donc: ^r^^-f-^,

d'où: ^=^2**

Ainsi la somme de la série [10] est les - de la somme de la

série [9]. II n'est donc pas permis de changer Tordre des termes d'une série, lorsqu'elle n'est pas convergente indépendamment des signes de ses termes.

On comprend, en effet, que, dans le cas de la série [9], la somme de ses termes positifs est infinie, ainsi que la somme de ses termes négatifs; de sorte que la somme de la série est la différence de deux infinis, quantité tout à fait indéterminée, dont la vraie valeur doit dépendre de la loi suivant laquelle on s'avance simultanément dans les deux séries.

S lY. Étude d'une série remarquable.

27. DÉFINITIONS DE c. Parmi les séries, dont on fait usage en analyse, une des plus remarquables est la bérie

Nous avons vu [1 1], que cette série est convergente, et que, si

COMPLÉMENT DES ÉLÉMENTS D*ALG£DHE. 21

Ton s'arrête, dans la sommation des termes, au terme -ps-ô '9

Terrear commise est moindre que -. ^^0 — ■' ^^ représente

par e la somme de la série.

La somme e est comprise entre Set 3. En effet, elle est plus grande que â ; et, pour prouver qu'elle est inférieure à 3, il suffit de montrer que Ton a :

JL+Î-L 1+ + L 4. <:,.

inégalité évidente, si Ton remarque que les termes du premier membre sont inférieurs aux termes de même rang de la progression décroissante,

dont la somme est 7-^, ou 1.

88. La série est mcoioiENsnRABLE. En effet, supposons, s'il est possible, que l'on ait :

p et 9 étant entiers. Si Ton multiplie les deux membres par le produit 1.2.3.m9, le premier membre et les (9+I) premiers termes du second deviennent des nombres entiers : et si Ton désigne par N la somme de ces derniers, il vient :

£2 UYRS U

D'ailtenrs la somme des termes qui suivent N est moindre que la somme des termes de la progression décroissante,

c'est-à-dire, moindre que -; elle est donc une fraction proprement dite. Un nombre entier serait donc égal à un nombre entier augmenté d'une fraction; ce qui est absurde. Donc la série

e ne peut être égale à une fraction -; elle est incommensurable.

29. Calcul de e avec 20 décimales. Le calcul de la valeur namérique de e en fraction décimale ne peut se faire qu'avec une certaine approximation (28). On commet une première erreur en s'arrëtant, dans la sommation de la série, à un terme d*un certain ordre, et en négligeant tous ceux qui le suivent. On en commet une seconde, en réduisant en fractions décimales les termes que l'on conserve : car aucun d'eux, à l'exception des trois premiers, ne se convertit exactement. Or, on calcnle qae l'oîi a :

donc la première erreur, commise en s'arrêtant au 22'«* terme, , est (27) moindre que — de j^^ ou que ygii' Si l'on calcule chacun des 19 termes qui suivent les trois premiers, avec 22 chiffres décimaux, la seconde erreur sera inférieure à 19 unités

du 22°»« ordre décimal, et par suite àr^rj-. t'erreur totale sera

donc moindre que r^, et, à plus forte raison, qu'une unité du

20°>« ordre dédmal. Voici les valeurs 4e ces 22 termes a?ec S2 chifTres décimaux.

COMPLÉMENT DES ÉLfiiEMTS D'ALGËBRE. ^3

'0,1B666 66666 66666 66666 66 0,04166 66666 66666 66666 66 0,00833 33333 33333 33333 33 0,00138 88888 88888 88888 88 0,00019 84126 98412 69841 26 0,00002 48015 87301 58730 15 0,00000 27557 31922 39858 90 0,00000 02755 73192 23985 89 0,00000 00250 52108 38544 17 0,00000 00020 87675 69878 68 €,00000 00001 60590 43836 82 0,00000 00000 11470 74559 77 0,00000 00000 00764 71637 31 0,00000 00000 0C047 79477 33 0,00000 00000 00002 81145 72 0,00000 OOOÛO 00000 15619 20 0,00000 00000 00000 00822 06 0,00000 00000 00000 00041 10 0,00000 00000 00000 00001 95

2,71828 18284 59045 23535 84 Ainsi e=2,71828 18284 59045 23536...

JIÉSUMÉ.

JU Ce que comprend le complément des éléments d'Algèbre. — S. Ce qu'on appelle série : terme général d'une série. — 5. Ce qu'on nomme série convergente ou divergente : somme d'une série conver-^ gente. -» 4. Une progression par quotient est convergente, quand la* raison est plus petite que l'unité, divergente dans le cas contraire» — K. Pour qu'une série soit convergente, il faut que ses termes décroissent indéfiniment ; mais la condition n'est pas suffisante. — 6. Garaclère général des séries convergentes. — 7. Procédé ordinaire pour dé* cider si une série est convergente. — 8. Une série, à termes positifs, est convergente, lorsque le rapport d'un terme au précédent est, à partir d'une certaine limite, moindre qu'un nombre fixe plus petit que 1. — 8. Gomment on applique le théorème, quand le rapport a une limite. —