Taiioiiàufi UI. Si Us termes d'vm striôf

voni 4fonmnmént m dimifiuant, à partir 4u premier^ mie Uriê sera convergente ou divergente, en mhm temps ftie la série,

tti+2w4+4ti8+8i*,+16Ujs+....

En effet, supposons d'abord la première série coxwergente. On a évidemment les relations :

4u, <2Uj4-2w,, 8t*7 <2u4 + 2us+2Ue + 2i/„ 16u,8 <2i/|+2t/,+ 2u,o-f .... +2i<«,

Si Ton ajoute, membre à membre, ces inégalités, on a : «t+2i*4+4tit-|-8uT+17Uf,4-..,.

<;ttt+2Ui+2i/j+2«j-{-2u»+.... + 2ui8-f-.. .;

donc la somme d'un certain nombre de termes de la seconde série est plus petite que le double de la somme des termes de la première, terminés au terme de même indice. Or, celles est conYergente, par bypothèiie; donc la seconde Test, à plus forte raison. Donc la convergence de la première entraîne celle de la seconde.

Supposons maintenant que la première série soit divergente. En groupant les termes d'une autre manière, on a évidemment :

Ue=Uo,

4tij>u,+ U4 + «,+««, 8w7>t*7+«i+«t+ + Wu,

d'où, en ajoutant membre à membre,

Wg -|- 2ti| -|- 4i/j -|- 8U7 4- . . • .

Ainsi la somme d'un certain nombre de termes de la seconde série est plus grande que la somme des termes de la première, terminés au terme dlndice double. Or celte-d croît indénniment,

par hypothèse : donc la seconde est divergente. Ainsi la divergence de la première entraine la divergence de la seconde. C'est ce qu'il fallait démontrer.

18. Applications. Prenons, pour la première série^ la sui «ante :

[6] 1+ â;+3.+4;+- • • • +iis+- •• • ;

la seconde sera :

Or cette dernière est une progression géométrique, dont la raison est 2^-*. Donc elle est convergente, si a est plus grand que Tunité; elle est divergente, si a est égal ou inrérieur à Funité. Donc la première série est convergente, si «> 1 ; et divergente^ si ««^1.

Nous avons déjà obtenu ces résultats pour la série [1] oùee=l, et pour la série [3] où a =2.

Prenons pour la première série, la suivante :

•^^^ ^"'"2(log2)«+ 3(iog3;*+4(log4)*"'"' * " * ■*"n(logn)«"'"* " *•

La seconde sera :

^"'"(î3g27"^(iog4)-+(log8)-'^' ••• "^(iogi^"*"""'

ou, en remarquant que (log 2*)*=n*(log2)%

Or la série, renfermée entre parenthèses, n'est autre que la série [6]. Donc elle est convergente, si « est plus grand que 1 ; et divergente, si a est égal ou inférieur à 1. Il en est donc de même de la série [7].

19. Remarque. Il n'est pas nécssaire, pour appliquer le théorème III, de commencer la seconde série par le premier

terme de la première : car la convergence d'une série ne dépend ^ que de ses termes éloignés. Ainsi Jaissant de côté lest premiers termes, on considérera les deux séries :

elles seront convergentes et divergentes ensemble.

20. Théorème IY. Une série^ à termes positifSy est convergente, loi'squej à partir Sun certain terme^ le rapport du logarithme de

— au logarithme de n est constamment plus grand quun nombre

fixe k, supérieur à Funité. Elle est divergente^ si le rapport est conitamment plus petit que Punité.

1* Si le rapport de log — à log n est constamment plus grand

que k, il en résulte que l'on a :

log— >^logn, ou log— >logn*; et, par suite.

l>n\ ou u.<l.

Les termes de la série proposée sont donc, à partir de u», plus petits que les termes correspondants de la série

+ (uH-l/+(n + l/ + -'--'

or celte dernière est convergente, puisque k est plus grand que 1 (17). Donc la série proposée est aussi convergente.

2"^ Si, au contraire, le rapport, à partir de u,», est constammea' inférieur à Tunité, on en conclut :

log;;-<logn, ou --<n, ou w«>-.

14 LIYRE L

Les termes de la série proposés sœt doac, à partir te t^» plus grands que ceux de la série

laquelle est divergente (5). La série proposée est donc divergente.

GoMUENT ON APnjQiTB LE TBMORfeMB. Sît coisiHe oela orive

le plus ordinairetoeat, le rapport de log— à log • eoMei^gevers

une limite l^ on prouvera, comme an n* 9, que la série est convergente, quand l est supérieur à Tunité ; qu'elle esl diittrgente, quand l est inférieur à 1 ; et qu'il y a incertitude dans le cas où 1=1. Cependant, si le rapport finissait par être constamment inférieur à sa limite 1, la série serait divergente.

21 . Remabqttes. Telles sont les règles les plus élémentaires, à l'aide desquelles on se prononce sur la conveiigence des séries à termes positifs. Il en existe d'autres, que nous n'avons pas à exposer ici. Nous ferons, toutefois, les deux remarques suivantes, qui trouvent fréquemment leur application.

l'' Si une série, dont tous les termes sont positifs, est convergente, elle k sera encore, quand on multipliera tous ses termes par un même nombre quelconque, ou mime par des nombres différents , poumk qu'ils soient finis.

En effet, si Ton peut prendres aases grand, pov que la

somme

soit, quelque soit p, aussi petite qu'on le veut, et tende vers zéro, quand n augmente indéûniment (6), il en sera de méma de la somme

puisqu'elle est inférieure à la somme

dans laquelle A est le plus grand des coefQclents introduits

i» Si Fon « une sMeconMrgitite,

U^-f Uii + Ui + ^l + •• • • +^» + ' • • • »

tt q^n$ mtên sàrief

soit Mej qv^à partir diê tenm dfun ixnain rang i^ on ait conMm^ mmt:

cette Mtofuto xtfris sit aussi cQ9wergente. Car ^ si l'on multiplie la

première par —, nombre fini , on obtient une nouvelle série

qui, d'après la première remarque, est encore convergente. Or, à partir do terme Vt^ les termes de celte nouvelle série,

sont plus grands que les termes correspondants de la seconde. Donc celte dernière est, à plus forte raison, convergente.

% ni. Des séries dont tous les termes ne sont pas positifs.

^2. TnéORiME I. Lorsqu'une série rCa pas tous ses termes de même signe, H suffit pour qu*elle soit convergente, qu^eUe le soit quand on donne le mime signe {-{-par exemple) à tous ses termes.

Sa effel, puisque la série à termes positifs est convergente, en peut prendre pour n une valeur i assez grande , pour qu*à partir du terme t«^la somme des p suivants soit aussi petite que Ton vaudra, et tende vers zéro, à mesure que » croit [6]. Il en sera donc Âe même, à plus forte raison, de la somme algébrique desp termes correspondants de la série proposée^ puisque, dans la ireBiîère tous les termes s'ajoutât, et que, dans la seconde, les uns s'ajoutent, ui les autres se retrancbient. Donc la série proposée [^] est convorgeate.

On pourra donc appliquer à ces nouvelles séries les règles de convergence données pour celles dont tous les termes sont positifs 9 et déterminer de même une limite de l'erreur que Ton commet en s*arrètaut à' un terme de rang quelconque. Mais il peut arriver qu'une série, dont les termes ne sont pas tous positifS) soit convergente, et qu'elle devienne divergente, quand on donne le même signe à tous ses termes. Il est donc utile de donner des règles spécialement applicables à ce cas : nous nous borne/ons à la suivante.

S5. Théorème IL Si dans une série^ les termes sont alternativement positifs et négatifs, et qu'Os décroissent indéfiniment^ la série est convergente.

Soit, en effet, la série :

dans laquelle les termes ti,, t^, i/,. . . vont toujours en diminuant, de telle sorte que chacun soit plus petit que le précédent, et que u^ puisse devenir aussi petit qu'on le voudra, si n est suffisamment grand.

Nommons S^, S|, Si,. . . • S», . . • . les diverses sommes qu'on obtient, en arrêtant la série successivement, au terme ti,, au terme tii, au terme t/a,. ... au terme u». Représentons ces sommes

O îîi S, Ss S, S S. Se S4 S, S, X

La première, S„ sera représentée par OSo. La seconde, Si^ étant égale a u, — Ui, est plus petite que S,; représentons-la par la longueur OSi. La troisième, Sj, étant égale à Si-ft/i, est plus grande que Si ; mais elle est plus petite que S,; car , pour la former, à Sq on a ajouté — Ui -f u,, quantité négative : elle sera donc représentée par 0S|. La quatrième, St, étant égaie à Ss — 1/|, est plus petite que S,; mais elle est plus grande que Si ; car, pour la former, à Si on a ajouté u« — U|, quantité positive : nous la représentons par 0S|. Et ainsi de suite. D'après cela, les sommes Si, S„ S»,. .. . formentiine série croissante, et les sommes. S,, S^, S4,. .. . forment une série décroissante. D'ailleurs les termes de la première série n'augmentent pas indéfiniment, car ils sont tous plus petits que les divers termes de la

seconde; cela résulte de la loi même de leur formation. Dès lors, 11 est évident que ces termes ont une limite, qui est précisément le plus petit des nombres qu'ils ne peuvent pas dépasser. De même, les termes de la série décroissante, S», Sj» St,. . • . ont une limite; car ils sont plus grands que chacun des termes de la série croissante ; et cette limite est le plus grand des nombres auxquels ils restent constamment supérieurs. Enfin , ces deux limites sont les mêmes ; car on a : Sj,» — Si».i = t^» ; et, par conséquent, la différence entre deux termes correspondants des deux séries à indices pairs et impairs, peut devenir aussi petite que l'on voudra. 11 y a donc, sur la droite OX, entre les extrémités des longueurs qui représentent Ss»-! et S,», une distance qui diminue indéGniment, quand n augmente indéfiniment; de sorte que ces extrémités se rapprochent indéfiniment d*un point S, qui est leur limite commune. La longueur OS représente îa iomvM de la série.

24. LnoTE DE l'erreur COMMISE. Verreur que Von commet^ hrsque Von s'arréu à un terme Ui.i, est moindre que le terme suivant et de même signe que lui. En effet, la somme S de la série es évidemment comprise entre S<-i et S<. Donc l'erreur commise, en prenant S# pour valeur approchée de S, est moindre que la différence entre S< et S^^i, laquelle est + %. Les valeurs approchées, que l'on obtient en considérant un nombre de termes di plus en plus grand , sont donc alternativement trop grandes et trop petites : mais Terreur est, en valeur absolue, moindre que le premier des termes que l'on néglige.