IV. Prouver que la série
est conTergente , et que sa limite est r-
Y. On a identiquement :
|=arctg 1 — arc tg - 4- arc tg ^— arc tg -+ arc tg r— arc tg- + . . .; en conclure :
j=arc tg -+ arc tg--f- arc tg jg + .... +arc tg— + ... . VI« Prouver que la série
21og2{loglog2)«^3log3aogiog3)*^ •'•• ^ nlogn (loglogn)» ^ "•• est convergente, quand oc est supérieur à 1, et divergentOi quand a^l .
On applique le théorème III (16).
TII. Prouver que les deux séries
sont convergentes et divergentes ensemble (Règle donnée par Cauchy).
Ce théorèroe est une génétalisation du théorème III (10), et se démontre par un raisonnement analogue.
Vlil. Prouver qu'une série
tia + Ui+tta+.... +u,+ ....
est convergente, lorsqu'à partir d'une certaine limite, le rapport de log-—-
au logarithme de log n tend vers une limite plus grande que 1, et qu'elle est divergente, quand le rapport tend vers une limite plus petite que 1.
IX. Si, dans une série, le rapport d'un terme au précédent est représenté par la formule
fal K«fi w> + An^< -f BiiF-g-f Cny-3-4-
• ii» ~ n' + *n^* + ft'*^* + cn''->+ ....*
dans laqn^ p est entier et positif, et A, B, G,.... a, 5^ e,.... sont des
S6 umvi I.
nombres constants donnés : l** les termes croissent sansliidUs, &!▲«-• a >0> et décroissent indéfiniment, siA— a<0.
On compare la série à une autre^ dont le terme général v«r= - — -y h étant un nombre positif convenablement choisi.
2* Si A — a=0| les termes croissent, sans dépasser une certaine limite, si B— 5>0; ils diminuent, sans atteindre zéro , si B— ^<J)..DaDSce.8a5, la convergence est impossible.
On compare la série à une autre, dont le terme général est r. = ('-^tî ) ^i
h dtant un nombre positif convenablement choisi : les termes de celle-ci sont plus grands que ceux de la première, et vont en diminuant, quand B^d >0.
3* Si A ~ a < 0, mais A ^a + 1^^ 0, la série est divergente.
On compare la série à une série divergente, dont le terme général est Vm=^Un {ii"h) , h étant convenablement choisi.
4" Si A— 0+ 1 >>0, la série est convergente.
On prouve que, dans ce cas, on a-^< ~" , h étant positif et convenablement choisi; que, par suite, Vm+i+ Vii-n+t^47+ •••• est plus petit que
i I . n— fe~l . (n-fe— 1) jn^h) , (n -/i~l) (n— h) fn~fe-f ^ . { '*"| "*" n ■*■ îî(ÎH=l) ^ n(n+l)(n + 2) "*"••-• I
On prouve enfin, que les (p -f- 2) premiers termes de la série, entre parenthèses» ont pour somme
n— 1 (n~fe— l)(n — h) .... (n-^h+p)^ h /in(n+l)....(nH-p) '
que cette série est convergente, et a pour limite -^--t quand p .erolt indéfini-
niment.
II résulte de là que, pour qu'une série soit convergente, lorsque le rapport
^^ peut se mettre sous la forme d'une fraction rationnelle (a), il faut et il
suffit que (A—a + 1} soit inférieur à zéro : il n'y a pas de cas douteux. Celte règle a été donnée par Gaw.
