CHAPITRE IL connavAiMûis et fobiiule bu binoms

% I. Des combinaisons.

50. Définitions. On nomme combinaisons, n à n, de m objets distincts, les différents groupes que Ton peut former avec n de ces objets; il est utile d*en calculer le nombre.

La question peut être considérée sous deux points de vue, sui- Taot que l'on regarde ou non, comme distincts, les groupes^ qui, étant composés des mêmes objets, diffèrent seulement par Tordre dans lequel on les place.

Dans le premier cas, les combinaisons reçoivent le nom d*arrangements; et dans le second, celui de produits diffèi^ents.

51. NoMBBEDES ARRANGEMENTS. Calculons, d'abord, le nombre des arrangements distincts de m objets pris nkn. Désignons ce nombre par A»; et représentons par A«i celui des arrangements des mêmes objets, (n — 1) a (n — 1). Si tous les arrangements (n — 1) à (n — 1) étaient formés, en plaçant successivement, à la suite de chacun d'eux, les [m—{n^ 1)] objets qui n'y entrent pas, on formerait des arrangements nkn^ dont le nombre serait

A»i[m— (n— 1)], ou A,-, (m— n+1);

car chaque arrangement {n — IJ à (n — 1} fournit, de cette manière, [m^{n — 1)] arrangements n an. Jedis que A,-i[m— (n— 1)] est précisément le nombre des arrangements n à n ; et pour cela, il faut montrer qu'ils ont tous été formés, et que chacun d'eux ne l'a été qu'une seule fois.

1^ On a obtenu tous les arrangements nkn\ car on peut former totft arrangement de n objets, en plaçant le dernier d'entre eux à la suite de l'arrangement formé par l'ensemble des (n— 1}

autres.

2"* Un même arrangement n'a pu être formé qu'une fois; car, les arrangements (n— 1) à (n— 1) étant distincts, ainsi que les

(m — n+ 1) objets que l'on place à la suîle de chacun d'eux, les groupes que Ton forme diffèrent, soit par les (n — 1) premiers objets, s'ils proviennent de deux arrangements (n — 1) à (n— i; différents; soit par le dernier, s'ils proviennent du même arruDgement (n — 1) à (n — 1).

On a donc la relation :

A„=(m— n-|-l)An-i.

Cette relation étant démontrée pour une valeur quelconque den, on aura de même, en désignant par A»-i, An-i—- Ai, le nombre des arrangements (n— 2) à (n — 2),[(r> — 3) à (n — 3),... un à un :

An-t = (m — n + 3) A,»|, At =(m-— l)Ai.

Si Ton multiplie ces égalités membre à membre, les (acteurs An.f, A».t,-..* Al disparaissent; et il vient , en remarquant que le nombre A| des arrangements 1 à 1 est m :

Ainsi, le nombre des arrangements de m objets distincts n an est égal au produit de n facteurs entiers, corhsécutifSf décroissants^ à partir de m.

52. Nombre des permutations. La formule précédente, si on y suppose n= m, fera connaître le nombre des arrangements de m lettres m km. Ces arrangements, dans lesquels figurent toutes les lettres, se nomment des permutations. En désignant leui nombre par P», on a :

[2] P, = 1.2.3....wi,

puisque, pour m =n, (m — n+ 1) devient égal à Tunité.

Ainsi, le nombre des permutations de m objets distincts est igol au produit des m premiers nombres entiers.

SS. Nombre des produits différents. Les produits différents de m objets, nkn, sont les groupes distincts que l'on peut former,

COMPLÉUENT DES ÉLÉMENTS D'ALGËDRE. 29

avec ces m objets, en regardant comme identiques ceux qui ne diffèrent que par l'ordre des objets. On réserve souvent à ce3 produits le nom de combinaisons.

Représentons par G» le nombre de ces produits. Imaginons qu'on les considère tous ensemble, et que Ton forme les petinu^ talions des n objets contenus dans chacun d'eux ; les groupes, ainsi formés, seront des arrangements de m objets donnés nkn. Or, je dis qu'ils y seront tous, et chacun une seule fois.

1* Ils y seront tous ; car les objets qui forment un arrangement, étant considérés Indépendamment de leur ordre, composent l'un des produits différents ; et, lorsque Ton permutera de toutes les manières les objets qui composent ce produit, l'un des groupes ainsi formés sera l'arrangement considéré.

2* Chaque arrangement sera formé une seule fois; car les arrangements, qui proviennent d'un même produit , diffèrent par Tordre des objets ; et ceux qui proviennent de deux produits différents, ne sont pas composés des mêmes objets.

On peut donc obtenir toute la série des arrangements, en permutant les produits différents, de toutes les manières possibles. Or, chaque produit fournit ainsi 1 .2.3....n arrangements distincts; le nombre total des arrangements A» est donc égal au nombre des produits G», multiplié par 1 . 2 . 3....n; et l'on a, par conséquent :

d'où, en remplaçant A^ par sa valeur [1 ] :

Kmsi le nombre des produits différents de m objets y n à Dj est égal Qu produit de n nombres entiers, consécutifs ^décroissants à partir de m, divisé par le produit des n premiers nombres entiers.

54. Remarque I. La formule précédente peut se mettre sous une forme, que l'on trouve quelquefois plus commode. Si l'on multiplie, en effet, par 1.2.3.... {m—n) les deux termes de la fracUon qui représente G„, elle devient :

, , p 1.2.3.... (m — n)(rr? — n+l)0>^ — n-f 2)....m^

30 Lm«B 1.

en sorte qne , au namérateur se troirve le produit dés nomlirs entiers depuk 1 Jusqu'à m, et au dénominateur le prorduît des nombres entiers depuis l jusqu'à (m — n), et le produit des nombres entiers de 1 à n.

Remarque U. La formule [k] reste évidemment la» niëme, si Ton change n en (m — n) ^ cette substitution aura seidement pour effet de changery l'un dans l'autre i les facteurs K2.«.. n, et 1.2.... (m — n) du dénominateur.

Le nombre des produits différents de m objets n à n^ «ff » par conséquent, le mime que celui de m objets (m«- n) à (m — n)«

L'égalité de ces deux nombres est, d'ailleurs, évidente, dpriorL Si en effet, dans m objets, on prend un groupe de n, il restera un groupe de (m — n) : les groupes ou produits n à n et (m— n) à (m — n) se correspondent donc deux à deux, et sont, par conséquent, en môme nombre.

35. Remarque lit. Le nombre des produits différents de m ol^i^ ïiàn est égal à la somme des nombres de produUs^ différents ài (m — l) objets uàn^ et de {m — 1) 06/6(5 (n—i)à(n — 1). On peut, en effet, partager les produits différents de n^ objets n à n en deux groupes, l'un composé des produits qui ne contiennent pas un certain objet, et l'autre composé de ceux qui le renferment. Or les premiers sont évidemment tous les produits différents des (m — 1) autres objets n à n; et si, dans les autres, on supprime l'objet dont il s'agit, ils deviennent les produits des (m — 1) autres objets (n — 1) à (n — I).

On vérifie, d'ailleurs, directement ce théorème à 1 aide ae la formule [3].

36. Remarque IY. Le nombre G« est nécessairement entier : la formule [3] prouva donc que le produis de n nombres efKîers consécutifs est divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

S U* Formale da binôme de Newton.

37. Produits de n binômes qui diffèrent par le second TERME. Mous avons vu (I, 42), que le produit d'un nombre quelconque de polynômes est la somme de tous les produits queFon

GOHPLËUENT DES ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE. 3t

peut fonnerv en prenant pour facteur un terme^ de chacun

Appliquons celte règle à la' formation do prodmt de -m binômes, ayant même premier terme,

(x+a){af+b){x+c)....{x+l).

Si nous ordonnons ce produit suivant les. puissa nces décroissantes de Xf il est évident que le premier terme se r a rc*, produii formé en prenant, comme facteurs, les m premiers termes des binômes.

Le terme en af^ se comp osera des produits dans lesquels on prendra, comme facteurs, les premiers termes de (m— l) binômes, avec le dernier terme du binôme restant ; et le coefficient de x^^ sera, par conséquent,, la. somma dea seconda, tevmea de nos binômes.

Le terme en af^^ se composera des produits dans lesquels on prendra, comme facteurs, les premiers termes de (m — 2) binômes et les derniers termes des deux binômes restants. Le coefficient de xr-^ sera, par conséquent^ la somme des produits deux à deux des seconds termes. «

On verra de même que le coefficient de a^ est la somme des produits trois à trois des seconds termes ; et qu'en général, le coefficient de af^^ est la somme de leurs produits nhn.

On écrit souvent ce résultat de la manière suivante :

-{-«■•^2aic....j}-f-....ûic...Jf/;

en représentant par Sa, Zab, Zabc..,. la somme des seconds termes, la somme de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc.

38. Formule du binôme. Pour déduire de ce qui précède TexprcssioH de (a; -|-'a)") il suffit de supposer as=rfr=c=....=r|; le développement se simplifie alors notablement.

Le premier terme reste égal à x^.

Le coefficient de x"^^, égal à la somme* des seconds termes, devient égal à ma.

Le coeCQcient de a:**-*, égal à la somme des produits deux à deux des seconds termes, deyient égal à a* multiplié parle nombre de ces produits, c'est-à-dire (53) à

Le coefficient de af^, égala la somme des produits trois à trois des seconds termes, devient égal à a* multiplié par le nombre de ces produits, c'est-à-dire à

mfm— l)(m — 2) ,

En général, le coefficient de a?"*-', qui est la somme des produits p à j7 des seconds termes, devient égal à aF multiplié parle nombre de ces produits, c'est-à-dire à

m(m — l)....(m — » + !) 1.2... .p On a donc, enfin :

[2] (a?+a)«=a?«+maa?'-» + ^?îi^î^^ , m(m— l)....(m— p + l)

C'est la formule du binôme de Newton.

59. Remarque I. On voit que, dans le dévclopement de (oî-f «)*, l'exposant de x va en diminuant d'une unité depuis m jusqu'à zéro, et celui de a va en augmentant d'une unité depuis 0 jusqu'à m ; de sorte que, dans chaque terme, la somme des deux exposants est constante et égale à m. Le nombre des termes du développement est (m+ 1).

On nomme Urme général, celui qui en a n avant lui ; en le désignant par Tn, on a :

rsi T ^U^^— i}(^i— 2).. ..(171—^4- 1) ^ ,^

40. Remarque II. Si Ton désigne par T»^ le terme qui précède T»| on trouve aisément :

Or {m—n-^' 1) est l'exposant de x dans T».i, et n est le nombre qui marque le rang de ce terme. Donc, pour passer du terme de rang n, au terme de rang (n -{- l)f on multiplie son coefficient par l'exposant de x dans ce terme^ et on le divise par le nombre qui marque son rangy puis on augmente d'une unité Fexposant de sl, et on diminue d^une unité ului de x.

41. Rebiarque III. Le coefficient de a'xf*-' est le nombre des produits différents de m lettres p à p ; et celui de a*-'a? est le nombre des produits différents de m lettres (m — p) à (m — p). Or ces nombres sont égaux (54). Donc, dans le développement de (x + a}*, les coefficients des termes^ situés à égale distance des extrèmes %ont égaux.

42. Remarque IV. Le rapport du coefficient de T. à celui de ^ est ; il commence par être plus grand que 1 , si

m est au moins égal à 2 : puis il diminue, à mesure que n aug-

mente, et il finit par être égal à —, quand n = m. Tant qu'il

reste plus grand que 1, les coefficients vont en croissant : s'il devient égal à 1 pour une certaine valeur de n, deux coefficients consécutifs sont égaux ; et lorsqu'il est inférieur à 1, les coefficients vont eu diminuant. Or la condition

équivaut à 7^ ^ n.

Donc, tarU que n est inférieur à la moitié du nombre (m -f- 1) (fe« termes f cest-àrdire tant qu'on n'a pas formé la moitié du nombre lotal dts termes^ les coefficients croissent : ils décroissent dans la seconde moitié du développement.

Alg. sp. B. 8

24 LIVRE h

4L3. Remarque V. On n'a fait aucune hypothèse sur.e ripe des nombres x et a; a peut donc avoir une valeur négative— (; et l'on a y par conséquent :

ou^ en remarquant que les puissances paires de {—b) sont égales à celles de 6, el que les puissances impaires sont égales et de signes contraires :

le signe du dernier terme étant -f-'Si m est pair« et — si m est ioh pair.

44. Remarque YI. Si, dans la formule [S], on fait âr= 1, as=l , on a :

**— 1 a-*^ , m(m— 1) , yn(m— l)(m— 2) , m , , .

Ainsi la somme des coefficwits du développement est égale à 2".

AS. Remarque VII. Si, dans la formule £5]^ on fait a? =1,6=]^ on a .:

Donc la somme des coefficients de rang pair est égale à la sonme des coefficients de rang impair.

46. Remarque YlII. Il existCi entre les coefficients des di* ▼erses puissances du binôme, des relations nombreuses; nous ferons connaître la plus simple , dont on fait un firéquenl usage.

' Soft'.

(a? 4- «)■•=«?■•+ A,(7a;"*-* -}-Aia*a"^*+.. ..+ A,iirjf^»-^....+tf*,

COMPLÉMENT DES £L£MEMTS O'ALGÊBRE. ^5

le développement delà puissance m"^ d*un binôme, dans lequel on a fait| pour abréger :

Multiplions les deux membres de l'égalité par (x-^-a) ; «ovs aurons, en effectuant la multiplication du second membre, d'après la règle ordinaire :

el Ton voit que <:ii,aoun du coefficients du déneioppcment Âc (x+aj"*** s'obtient m, ajoutant le coefficient de -mime rang et h fnrécédent d4ms le développement de(pL'{' af. On pourrait d'aÛteurs vérifier directement, que l'on a :

S m. Développement de (a+ôy^)"»