I.S....fn

-(tt+Û)-tCt.

Qr, dans le déTebppementde (a -|-b)"~<i le cocfSdent àattbr^— est égal k

î.2....(m-T) l.ï....a.I.2....(nï— -[ — a)*

Le terme demandé est donc :

' 1.2....m.l.2.-(ffl— y) ^ff^r-*c^.

l.i....y.i.i....{m-y) 1.2,...*.l.2....(nï— T— «)' '

00, en supprimant le (acteur commun L.S..., (m — i), etremplaîant(m — y— «J par ^, nol t.2....m

inalogues, l la somme

:édé touti Q"a pour

'espoadent ig^e&m.

il ce terme .ceplion, i 1.3... .«=1 ite.

S y. Limite de n -J — j , quand m crott iadéfinimenU

S3. Théorèmes sur les limites. 1* Lorsqu'une quantité variable A tend vers une limite I^ le produit pÂ. de cette quantité par un nombre fini p tend vers la limite pi. Car, pour rendre la différence (pA— p{) plus petite, ea valeur absolue» qu'une quantité donnée a, il suTGl de rendre la différence (À — l) plus petile

que-; c» qui est toujours possible, puisque (A — Q tend vers zéro.

2* Si plusieurs quantités variables^ Ai, Ai, .... A«, en nombre fini n, tendent simultanémefU vers des limites h, li, .... 1«, la limite de leur somme est égale à la somme de leurs limites. En. effet, si l'on pose :

on aura :

Ai+Ai-J-..-+A,= (l»+Ji+...+<iJ+(«i4"«i+*--+«0-

Or les quantités «i, ce,, . . . «„ tendent vers zéro, par hypothèse : donc leur somme («i+«t. ..+««), toujours inférieure, en valenr absolue, à n fois la plus grande d'entre elles, tend aussi vers zéro (l<>). Donc

lim(A.+A.+ ....+A.)=i*+/,....+^«.

Mais, si le nombre n des quantités variables augmentait indéfiniment, on ne pourrait plus affirmer la proposition. Considérons, par exemple, la somme des n quantités- H — | 1- ...•

-^ ". Si n croit indéfiniment, chacune de ces quantités tend vers

zéro ; et leur somme, au lieu d'avoir zéro pour limite, est évidemment toujours égale à «•

3* La limiu du produit des n quanlUét variables Ai, h.», A». ..An, est égale au produit de leurs limites. En efTet, on a :

A^....A,= (J.+ «,)ft+<.0--('-+''.)-

Et p« nmriiiît iii> « tstt^mtr» hinnnies renferme (1, 42) d'abord puis une suite de termes moinii une des quantités a,, i, produit d'une quantité fixe 0, tend aussi vers zéro (i*); ;ur somme apour limite zéro

=lxh....k.

lent suppose essentiellemeut blés reste fini.

& UNE UBOTE Q0AND m CROtT

— ) , dans le cas où m esl m/

;aux ^ ( 1 +^) : quand m

tcteurs a pour limite l'unilê;

[ue la limite du produit est

facteurs croit indéQmmenL

ste, développons { ' + r )

ombre des facteurs du numé-

rateur est égal au nombre des facteurs m qui entrent comme diviseurs, nous pouvons écrire :

(i\« ^ tn — 1 m m — 1 m — 2

w tn— -1 771— n-|-l

i^ fît wi 1^

Mais on a évidemment :

par suite :

-^,(-ji)(-i)

Cela posé, comparons ce développement à la série convergente dont la limite est e :

Chaque terme du développement est, à partir du troisième, inférieur au terme correspondant de la série, puisque son numérateur est moindre que l'unité, et que les dénominateurs sont les mêmes. D'ailleurs les termes du développement sont en nombre limité (m-{-l)> tandis que ceux de la série sont en

nombre infini. Il en résulte que l'expression f 1 -] — j est,

quelque grand que soit m, inférieure à e : cette expression, qui augmente avec m, a donc, lorsque m croit indéfiniment, une limite qui ne peut être qu'inférieure ou égale à e. Nous allons prouver que cette limite est égale à e.

42 UYU£ 1.

SS. Limite de n-| — ) , quand m CRofr iNDÉproiMEwr, m

RESTANT ENTIER. Puisque la Série e est convergente (11), on peut donner an une valeur assez grande , pour que l'erreur commise, en négligeant tous les termes qui suivent le (n-f- 1}^, «oit inférieure à une quantité donnée a, si petite qu*elle soit; de sorte qu'en désignant par e» la somme des (n -|- 1) premiers termes, on a :

D'un autre côté, si l'on considère les (n + 1) premiers termes du développement, on reconnaît qu'à mesure que m crott indéfiniment, n restant fixe, les différents numérateurs tendent vers une limite égale à l'unité (S3, 3*") ; par suite/chaque terme du développement a pour limite le terme correspondant de e, ; et leur somme, qui se compose d'un nombre fini des termes, a (85, 2^') pour limite e». On peut donc prendre m assez grand, pour qu'en désignant par A» la somme des (n -f- 1) premiers termes du développement, l'on ait :

De ces deux inégalités, on conclut :

e— A^<2oi.

Ainsi, après avoir choisi pour n une valeur fixe sultisamment grande, on peut toujours, en faisant croître m indéfimment, satisfaire à la dernière inégalité. D'ailleurs, si l'on donne ensuite h n des valeurs indéfiniment croissantes, le développement

A^ augmente, et tend vers sa limite lim n -1 — j ; 2a tend vers

zéro ; donc :

«•-lim(l+l)"=0, ou lim(l + i)=e. [12]

80. Cas où m prend des valeurs fractionnaires. Si, dans l'expression (l-] — j , on attribue à m des valeurs fractionnaires de plus en plus grandes^ la limite sera toujours la mâme

eLégale à e^ Pour le prouver, supposons que, n désignant on nombre entier trèsrgrand, on ail :

X étant moindre que Tunité ; Texpression ( 1 + ^ ) ^^^ évideounent comprise entre les expressions

('+r - ('+.-Tr)"-

Car, pour obtenir la première de ces expressions , il faut, dans (l-\ — ^ y remplacer le terme — et Texposant m respectivement par les nombres plus grands - et n + 1 ; pour obtenir la seconde» il a fallu remplacer les mêmes quantités par tes nomr bres plus petits et n. Or on a :

« (■+n-iT)=('+»-^)"-h

Gomme n est entier et très-grand, ( 1 + - ) et n -|- zrjrn

diSèrent très-peu de e 1 + - et \4 tt diffèrent très-peu de

J'unîté, et les deux expressions précédentes ont Tune et l'autre e pour limite. Il en est , par conséquent , de même de

( 1 H — j , qui est compris entre elles.

87, Limite de f I -| — j , quand m est négati?, et augmente EU TALBUR absolue. La limite de f 1 -] — j est encore fa

même, quand on attribue h m des valeurs négatives croissantes. Car, posons m=: — |t; |i élont négatif nous aurons :

(■+^)-=o+r=m"'=c-^)'=('+ir:b)' =(.+,4,r(.+,4,)

Or, quand |i croit indéfiniment, (l-\ — -^^^ tend verse (86), et (i + -zn) '*'''' ™" ^ ■ ^"""^ encore ici ; Um(l+X)"=«.