LnlITB DE n H J 00 DE n ) , QtJANB m CROfr

iNDÉFiMunrr. On a évidemment :

ion des piles de bonleU.

je la plus simple repose sur la solasuivant :

€OMPLÉlfENT DES ÉLËMENTS D*ALGÈBRE. 45

Trouver la somme des puissances m"" des termes d'une progrès^ sion par différence. Soit la progression :

T a.OmC'a» • • • • mKf

dont la raison est r, et dont le nombre des termes est p. On Teut trouver

On a, l étant le terme qui suivrait k :

b=^a'\'rj c = fc + r, d = c-|-r,.... / = /p + r.

Élevons ces diverses égalités à la puissance (m -{- 1) ; nous aurons:

c-+«=(64-r)-*'=6«+'+(m+l)6-r+^^îi^6"-«r»+...+r-',

i^' = (ife 4-r)"+»=A-*»+(m+l)ft-r+ 52±l^ft»-«,-«+...4.r—'.

Ajoutons toutes ces égalités , il vient, en désignant généralement par S^ la somme a^ + 6»'+ .... + *•*;

dette équation fera connaître S*, si Ton connatl S«».ty S».,..., Siy Si. En y faisant donc successivement m = i, = 2^ = 3, etc., on obtiendra successivement Si, puis S^ puis Sa, etc.

60.ÂPPUCATI0N. Supposons, par exemple^quela progression proposée soit la suite des n premiers nombres entiers :

on a ici :

S^=l»'+2»^-t-3»^+... + n»';a=:l, /=n+l, r=l, p=ni

46 Lrvit£ 1.

et notre formule générale devient :

[16] (n + ir+i = l + (m+l)S.+^-îîîJ;^ "■ 1.2.3 •-«-!"•••"!■ i.2.,..f» '

Faisant d'abord Tn= 1, il vient ;

(n+l)« = l + 2S»+n; d'où Si^'^^'^^%

Tormule déjà connue* En faisant m = 2, il vient :

(n+l/=l+3S, + 3S,+n; d'où S ^-g(»+iy-8(n+l)-3«(n+J)

ou [1] s.= i»+2«+a»+...H-«'=îi^2±i^?2i!l

Telle est la formule qui va nous servir pour la sommatiou des piles de boulets.

Elle se déduit , comme on voit, d'une formule beaucoup plos générale, qui pourrait donner également la scmime des cubes, la somme des quatrièmes puissances. ••• des nombres naturels. Si Ton veut seulement arriver le plus simplement possible à ce résultat» qui est le seul dont on ait, actuellement, it faire usage, on peut procéder comme il suit.

6 1 . Recherche directe de xa somhe des carrés des n premiers NOMBRES entiers. Ou a évidemment :

ajoutant toutes ces égalités, il vient, après que Ton a soppriiné les termes cemmuns aux deux membres, et en désignant par Si

COMI'LÉHENT DBS ËLÊMENTS D'ALGÊBRE. 47

la somme des carrés des nombres naturels et par Si la somme des premières puissances :

{fi + !)•= 1 + 3S,+ 3St -f n,

équation identique à celle du paragraphe précédent, et dont on déduira la même valeur de St.

62. Piles thungulaibss. La base d'une pile triangulaire est formée par des boulets rangés en trian^ <équilatéral. La paremière rangée contenant 1 boulet , la seconde S^ la troisième 3, la n"* n, le nombre total des boulets employés est ici :

la tranche inraiédiatemeitt supérieure est formée par des boulets rangés également en triangle équilatéral, dont le côté contient un boulet de moins; le nombre des boulets de cette seconde tranche s'obtiendra donc en changeant, dans la formule précé-

dente, n en (n — 1); an aura ainsi i —t^ ^- ^ troi-

sième irandie contiendra de même ^ ^-^-^ ^ boulets; et

1*4-1 ainsi de suite jusqu'à la première, qui en contient —5—.

Le nombre total est, d'après cela :

^n'+n . (n-l)*+(n-l)Jn-2)«+(n-2) . , 1*+1.

ce que Ton peut écrire de la manière suivante :

ou, en vertu des formules écrites plus haut (60) :

ou [18] r,^n(n±ll(S±^

Telle est la formule qui exprime le nombre des boulets contenus dans une pile triangulaire.

65. Pile a base carrai. La base d'une pareille pile càt formée par des boulets rangés en carré, dont le nombre total est n% n désignant le nombre de ceux qui sont contenus dans le cAté de ce carré. La seconde tranche contiendra (n — 1}^ boulets, la troisième (n— 2)*^ etc., et enfin la dernière n*en contient qu'an. Le nombre total est donc :

Q=n* + (n-l)*+(n-2)»+...+ l ou [19] o^n(n+lK2n+I)^

04. PQ.E A BASE RECTANGULAiRB. La basc d'uuc pareille pile est formée par des boulets rangés en rectangle. Si l'un des cétés de la base contient m boulets et l'autre côté n, le nombre total des boulets qui la composent sera mn. La tranche suivante est un rectangle, dont les côtés comprennent respeclivemeut (m — i] et (n— 1) boulets; elle en contient, par conséquent, un nombre égal à (m — 1} (n— 1); la troisième tranche en contient de même (m — 2) (n — 2) ; et ainsi de suite jusqu'à la dernière, qui est une file de (m — n 4* 1) boulets (si l'on suppose m>n).\jt nombre total que nous cherchons est donc :

R=mn+(m— l)(n— l)+(m— 2)(n--2)+...+(in— n+l}l.

Posons m — n=p : ou aura : m=n-l-/?, et la formule deviendra :

R=n(n+p)+(n-.l)(n-l+p)+(n-2)Cfi-.2+p)+...+l(l+p), c'est-à-dire :

R==[n*+(n-l)»+(n-2)»-|-...+ l«]+p[n-j-(n-.l).f....Hl]» ou, d'après les formules connues (00) :

!• r«AT n n(n-f OCâri + Sp + l)

ou enfin [20] R= ^ ^ ^^^ ^ ^^ ^

69. Moyen de vérifier des formulbs. Nous ferons connaître, à Toccasion des formules précédentes , un mode de raisonnement très-fréquemment employé, et qu'il suffira de développer sur un seul exemple.

Supposons que Ton donne, sans démonstration, la formule^

Gomment deyra-t-on s'y prendre pour en vérifier l'exactitude î On commencera par faire les hypothèses les plus simples :

Pourn = l, on a :-i — i — ^^ — i— ^==— — =1;

Pour n = 2, on a : — ^^ — ^—^ — -^—^ =— ^ =5 =l»+2*;

Pourn = 3, on a : ^ ^ ^.^ — -ï--^=— -— =14=l*+2*+3«.

La formule est donc exacte pour les valeurs 1 , 2, 3 du nombre n. Cela posé, pour prouver qu'elle est générale, il suffit de montrer, qu'en la supposant vraie pour une certaine valeur de n, elle l'est, par cela même, pour la valeur immédiatement supérieure. Admettons que l'on ait :

II faul.prouver que l'on aura, par suite :

Les premiers membres des équations [a] et [b] ont pour différence (n -}- !)*• Si donc il en est de même des seconds membres, la première égalité entrât ne nécessairement la seconde. Or on a :

Alg. sp. B. 4

Le théorime est donc vÊrifié.

Une marche aenUaUe s'api^iqaenùt aax di?erses formides, qiitrepréseQteat le aoBibre dès baidets dans les àiBéreaU en.

: ; ce qud l'on nomme airangemanU, pto- )ra des airangemeoU de m objeta, pris n lUtatioos de m objets. — SX. Nombre des Un An. — U. Forme plaa simple de produits ditrérants. Le nombre des pron à n est le même que celui de m leli. Le nombre des produits différents de m nombres de produits différents de (m — I) Ajela (b— 1) i fn— 1). — 36. Le produit itifs est divisible par le produit des n pre- . Forma tion du produit de m biuomes qo

- 3S. Puissance d'un bJDOme. — 39. Terme loyen de former un terme, conoaistant le lents à Agile distance itea exirtmes sont ts vos! en croisuDt joiqu'an mjKeo. — I dont le secood term» est négatif- — u binone. — 48. La umme des cocfS-, à celle des coerBcients de rang impair. — cientsdedeox paissantes socccessives de ccessives do i/ — 1, — 48. DéveloppemeDl diLions pour que le résultat soit réel. —

- Kl. Terme général du développemeat.

ppementde (a+b-i-c-\-d)'. — B5, Thée- 1- L'expression ( l-f- — J a. une limite,

- sa. Gett» limite est e, quaad t» est en. qaandffl est fraclionnaîre. — SI. Bleeit atit.— 88. La limite do (l + -)'*on

SomuM de» psisBBReea senblables de^ 60. Applicstion. — 61 . Somme des c^r- 62. Piles triangnlaires. — 63. Pileslbau aclangle. — 68. Moyen de véri6er l'eiac-

HMè de la foramle qui doime la somme des earréa des nomhies natoreb.

EXEBCTCES.

I. En désignant par [m] le produit m(m— l)....(fli^n+l), Térifier les fonnules :

1' [(a+&)J=fâ]+niW&

le second membre contenant les termes analogues à ceux que nous avons écrits, et correspondant à toutes les yaleursde a, p, y» pour lesquelles a 4- p + Y=m.

Oa regarde [a] comme égal à 1.

On considère chacun des termes comme représentant un nombre d*arrange-

ments.

II. Trouver le nombre a des termes du développement de (a -f b + e}« et le nombre y de ceux de (a + & + « + d)".

On trouve :