m=(m+l)«-m.m«+2^2z:il(m-.l

Bt(m— l)(m~^2), ,,^,

a, on eiprime, de daox muièies, ppementdo (s + a)".

indéfinimeot, trouTer la limite du 1 du dAieloppemeiit de

b+c]*, et las rapports limites des me, lorsque m augmente indéfini -

« IT ; el Ira exposants, dans ce

plus Kiand que 2z*, en valeur ab- ■sque I" + If" est dowift.

Tère pas de cella du binôme ; elle a

vëriScation directe, i polygone en triangles par les dia-

.... + PP,P^i + P,

décoQ^osition peut ae faire, pow

On cherche, pour la premièrOi de combien de décompositions fait partie chncun des triangles qui ont pour base un même côté du poiygore ; et, pour la seconde, dans combien de décompositions entre une même diagonale.

21. Si Ton considère une permutation de n nombres 1, 2, 3f...n, que Ton dise qu*il j a dérangement^ quand un nombre est suivi, immédiatement ou non, «i'un autre plus petit que lui ; prouver que le nombre total des dérangements,

contenue dans les permutations de ces n nombres, est égal à (1.2....n). ^7" ■

On prouve d'abord que D.4.t = (n + 1) D.+ - P., en désignant par D» le nombre de dérangements relatifs aux permutations des n nombres, et par P» lo nombre des permutations. On en conclut :

D,f|,= (11+ 1) (fi + 2) ....(n+i))D,+l [pn + 2^2^^] P.^^ ;

et de lÂ, en faisant n= 1^ et changeant ensuite p+ 1 en n, on tire la formule demandée.

XIL Trouver la somme des carrés des coefficients du binôme.

Cette somme est le coefficient de a"^x*, dans le développement de (x+a)*".

XIIL Cette somme peut être représentée par les deux formules :

2n.(2n--l)....(n-H) 2.6.10.14....4n— 2. 1.2.3. ...n ' 1.2....II •

prouver que ces formules sont équivalentes.

Application de la méthode du n" 65 ; ou vérification directe. XIV. Prouver que si, dans la somme des n fractions

„ l—x . (I— g)(a—g) . . (l--g)(o-a;)(o' — rr)....(a-''— g^

en fait ff=a"^ cette somme devient égale à n.

Application de la méthode du n* 65.

XY. Trouver la limite de [ 1 -f ^ ) , lorsque m croît indéfiniment. Celte limite est e". Former le série qui la représente. XVL Prouver que la série

dans laquelle ;t est un nombre entier, aînd que les exposants «i, «s,... ««,