CHAPITRE m

COMPLEHENT DE UL THEOIUE DES LOGAUTHIKA.

g I. Des exposanti incommensurables.

M. EzPOSjjRs ilicoioammABLis.Kous avons expliqué, dans la première partie (3A0), comment on définit on nombre incommensurable, en disant quels sont les nombres oomraensulaUes pins |>etils, et q«els sont les nombres eommensurables plus grands que lui. Nous avons dit aussi (381 et suiv.) comment on doit entendre les opérations relatives à ces sortes de nombres.

Si Ton considère l'expression a*, dans laquelle x a une valeur commensurable, cette expression a été définie (I, 105), et ne

présente aucune obscurité ; car, en supposant x égala —y m et^

fi étant entiers, on a t

Nous supposerons toujo urs que a soit positif, et nous ne considérerons que les valeurs réelles et positives du radical ; il n'y a donc là ni difficulté ni ambiguïté. Si â? a une valeur négative ( — - ^)» A' est défini (I^ 88) par Téquation

n nous reste donc à définir a', torque x est un nombre in* commensurable, positif ou négatif. On doit, dans ce cas, adopter la définition suivante :

a' €st la limite vers laquelle tendent les puissances de a, dont r exposant commensurable s'approche déplus en plus de x.

Cette déOnition est Irès-simpie, mais die exige quelques développements. On pourrait, en effet, se demander si la limite est bien déterminée; et si, quelle que soit la série des exposants eommensurables qui s'approcbent indéfiniment de x, la limite

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des puissances de a est toujours la même. Pour le démontrer, il faut établir quelques propositions.

67. Théobéme L Toutes les puissances commeiisurabtes cTun nonibre positif sont positives. Celdi résulte de ce que, comme nous l'avons dit. nous ne considérons que les valeurs positives des radicaux.

68. Théorème II. Toutes les puissances positives d'un nombre plus grand que V unité sont elles-mêmes plus grandes que Vunité, et totUes les puissances négatives sont moindres que l'unUé.

Le contraire a lieu pour les puissances d'un nombre moindre que

funitè,

Soit» en effety a un nombre plus grand que Tunitét et soit a* une puissance positive de a; on a, par définition :

or, a étant plus grand que l'unité, il en est évidemment de

même de la puissance entière a*, et par suite de v < "*

Les puissances positives de a étant plus grandes i ue l'unitéi régalité

montre que les puissances négatives, qui sont leurs inverses, sont moindres que l'unité.

Enfin, si l'on suppose à a une valeur moindre que runité,

on peut le représenter n» a' étant plus grand que l'unité; on

aura alors :

et il est évident que les valeurs de a;, qui rendent a'" plus grand que l'unité, rendent a* plus petit, et réciproquement

69. Théorème IIL Si x reçoit des valeurs commensurables croissantes, Vexpression a' varie toujours dans le rnhne sens^ eUe aug*

mente, H a est plus grand que Vuniié; elle diminue, dans le cas contraire.

Soient, en effet, p et 9 deux yaleurs commensnrables, posi* tites ou négatives, attribuées successivement à a?; ou a (1, 81) :

Or (9 — p) est positif, puisque, par hypothèse, q est plus grand que p. Si donc a est plus grand que l'unité, il sera de même de a«-'; et, par suite, on aura a'f^aP. Si, au contraire, a est moindre que l'unité, il en sera de même de a"^^ ; et Ton aura a*<Ca'. Donc a* augmente, dans le premier cas, quand x passe de la valeur p à la valeur p ; et il diminue dans le second.

70. Théorème IV. On peut, dans l'expression a*, donner au nombre commensurable x un accroissement assez petit pour que a* varie aussi peu qu'on le voudra.

Soit m une valeur commensurable quelconque de x\ je dis que Ton peut augmenter m d'une quantité « assez petite pour que la différence (a**^*— a*") soit aussi petite qu'on le voudra.

On a: a'^'*'*=a'''Xa%

et, par suite, a'^+*—ar=.ar (a*— 1).

Or a* est un nombre indépendant de « ; il suffit donc de prouver que (a*— 1) peut être rendu aussi petit qu'on le voudra, pour des valeurs suffisamment petites de «.

Supposons d'abord a plus grand que l'unité. Quelle que soit la valeur positive de a, a" sera toujours (68) plus grand que l'unité. Pour montrer qu'il en approche autant qu'on veut, il suffit de faire voir qu'il peut devenir plus petit qu'un nombre quelconque (1 -)- e) supérieur à l'unité, et que, quelque soit t, on peut choisir a^ de manière que l'on ait,

Posons, en effet, «=79 les valeurs indéfiniment décroissantes

de a correspondant aux valeurs indéOniment croissantes de h; Tinégalité précédente devient :

ou, ce qui revient au môme :

Or, les puissances entières de (1 +«) forment une progression par quotient croissante, dont les termes (I, 361} {»euvent surpasser toute limite. La dernière înégaiité est donc toujours passible; et, par suite, la proposition est démontrée, dans le cas

dea>l.

Si a est moindre que 1 , on le repréeente par —, , a' étant plus

grand que l'unité] o^ sera alors égal à -^i or, a*^ di£Gérani, dV

près ce qui précède, aussi peu que Ton voudra, de ronitë, il en sera évidemment de même de a\

71. DéFiNmoN TOGOXJKEusi DE (f. Lcs théorèmes qui précèdent sont indispensables pour donner de d^ une définition parfaitement rigoureuse, dans le cas où x est incommensurable. Chacun d'eux forme d'ailleurs une proposition qu'il serait indispensable de connaître , quand bien même on ne s'astreindrait pas, comme nous l'avons fait, à ne laisser subsister aucune difSculte sur ce point important.

Nous dirons : a* regréimX^^ pour une valeur incammenturûbU h, attribuée à x, ttn nombre compris entre les fxUeurs de a', qui correspondent à des exposants commensurabUs moindres qus h, et ceUes qui correspondent à des exposants commensurabks pkts grands que il. Celte définition» analogue à celle que nous donnons, en arithmétique, pour les racines carrées et cubiques, et, en algèbre élémentaire, pour les logarithmes, assigne à af une videur unique et déterminée.

Si l'on suppose, en effet, pour fixer les idées, que les valeurs de a* représentent des longueurs portées, sur une ligne droite, à partir d'une certaine origine, les extrémités de celles qui correspondent à des valeurs de x moindres que h occuperont une

cttlaine région de la droite; les extrémités décries qui correspondent aux valeurs de x plus grandes que h en oocaperont nae anlre; et U résulie, des théorèmes fi-écidentSj que ces régions sont entièrement séparées (W), et qiril ne peut exister entre elles ancun intervalle d'étendue unie (70), mais un simple point de démarcalkm. La distance, & laquelle ce point se troore de Torigine , mesure a'.

SU. L'expression a* peut prenire toutes les valears positives, lorsque a est un nombre positif, plus grand ou plus petit que l'unité.

72. Continuité de la fonction o*. Nous venons de voir (70), que^, le nombre n étant donné, rexposantx reçoit des accroissements suffisamment petits, Texpression oT peut varier aussi peu qu*on le voudra. On dit, d'après cela, que cette exprès-^ sion est une fonction continue de x; et le mot continue exprime qu'elle ne peut passer brusquement d*une valeur à une autre , sans être susceptible d'acquérir les valeurs intermédiaires.

75. L'expression a' peut prendre toittes les valeurs positives. Il résulte de la continuité de V expression a^, que, a étant positifs et X variant de — oo à -|- oo , cette expression peut prendre toutes les valeurs positives. Pour le démontrer, nous distinguerons deux cas»

1^ a est plus grand que Tunitè. Les puissances entières et positives de a forment une progression croissante; et, par suite (1, 581), il existe toujours un exposant assez grand pour que a* dépasse toute grandeur assignée d'avance. D'ailleurs, pour a?= 0, a* devient l'unité; et, par conséquent, la fonction considérée, pouvant être égale à l'unité et à un nombre aussi grand que l'on voudra, peut acquérir, en vertu de la continuité, toutes les valeurs intermédiaires. On voit donc que, a? variant de 0 à -{- oo^ a' varie de 1 à -|- oo, et prend toutes les valeurs plus grandes que l'unité.

Si Ton donne à x des valeurs négatives, en posant, par exemple, x=^—m^ on aura :

et, m variant de 0 à + co, le dénominateur du second membn prend toutes les valeurs possibles plus grandes que Tunité; et par suite, la fraction prendra toutes les valeurs moindres que 1 On voit donc que , x variant de — oo à 0, a' varie de G à 1 .

Il est clair, d'ailleurs, que a' ne peut pas prendre deux fois 1^ même valeur; car si l'on avait, par exemple :

on en conclurait :

or, la puissance zéro d*un nombre plus grand que 1 est évidem* ment la seule qui soit égale à l'unité; et Ton devrait avoir :

9^ Si est plus petit que l'umti. Posons a=-; a' sera plus grand que Tunité. On aura :

Or, diaprés ce qui précède, x variant de 0 à -f- a>, a'^ prendra toutes les valeurs possibles supérieures à Tunité; donc a* prendra évidemment toutes celles qui sont moindres. Puis, x variant de 0 à — 00, a" prendra toutes les valeurs moindres que l'unité ; et, par suite, a* prendra évidemment toutes celles qui sont plus grandes que l'unité. En sorte que, dans ce cas encore, o^ peut prendre toutes les valeurs positives.

$ m. Propriétés générales des logarithmes.

74. La déGnition, que nous avons adoptée (I, 572), pennel de démontrer les propriétés essentielles des logarithmes ; mais, pour leur étude plus approfondie, il est convenable de prendre un autre point de départ ; et nous adopterons* une définition nouvelle.