DÉFINITION DES LOGARITHMES. Lorsqu'oD R Id relaUoD
ar = b,
on dit que x est le logarithme du nombre fr, dans le système dont la base est a ; et on l'écrit ainsi :
x=logb.
Tout nombre positif a un logarithme, dans le système dont la base est a, et n'en a qu'un seul ; car on a tu (75) que» quand x crotl par degrés continus de — oo à -f^i a* passe par toutes les valeurs positives, et ne passe qu'une fois par chacune. Les nombres négatifis n'ont pas de logarithmes réels.
L'ensemble des logarithmes des différents nombres, correspondant à une même base a, forme ce que l'on nomme un système de logarithmes. Les logarithmes d'un même système jouissent de propriétés fort importantes que nous allons d'abord démontrer. Nous supposons toujours la base positive.
76. TBÉOKÈtŒ L Le logarithme du produit de deux nombres est é^al à la somme des logarithmes de ces nombres.
Soient, en effet, xeiy les logarithmes des nombres bel c; on a (75) :
et, en multipliant ces deux équations membre à membre ;
donc {x 4- y) est le logarithme de bc ; et l'on a :
log&c=log& + logc.
77. Théorème IL Le logarithme du quotient de deux nombres «i égal à la différence des logarWimes de ces nombres.
Soient, en effet, a; et y les logarithmes de deui nombres b et c,
ona(78):
-' -'ji dinsantccsdeaxéqualions membre èmeintee;
log- = Iog6— loge.
3, THÉORim lU. le ^qanihwx de la puiamnûe n"* d'un nowt- : ttt égal, quel gve soit a (entier ou fractimnaîre, ponlifou w- ) , ou prodvix de n par le logarilbme de ce twmdre.
it X le logarithme de & ; oa a :
, en élevant les deux membres & la [uiissance n : |
; tas est le logarithme de b' ; et l'on a :
logb'=n\ogb.
héorèrae comprend évidemment le théorènK IV {l,JSSii) il au logarithme d'une racine.
t. Théorème IV- Dans un système quelconque de logariAma, té a pour logarWime zéro, et la base du système a pour logale [unité.
1 a, en effet, quel que soit a,
I. Théorëue V. Lorsque la base d'un systëme est plus grarvU 'unité, les nombres plus grands que l'imité ont des logarilhTna Ifs, et les nombres moindrei que l'unité ont des logarithmes nis. Le contraire a lieu, lorsque la base est moindre que tvitili.
i a vu , en effet (68) , que les puissances positives d'un nom-
Tfi
COMPLÉBIENT DES ËLÉMBNTS D'ALGEBRE. 93
bre, plus grand que j'anité, sont plus grandes qne Funité, et ses poissanees négftthes sonl moindres que l'unité. Le contraire a lieu pour les puissances des nombres moindres que l'unité. Si donc a est plus grand que Tonité, I*équalîon
ar=b
isàge qne âP, c'esf-à-dire Iog&, soit positif si 6 est pins grand que rnmtèy et négatif, dans le cas contraire.
Si, au contraire, a est moindre que l'unité, Téquation
ar=b
exige que x, c'est-à-dire log &, soit négatif, si b est plus grand que l'unité , et positif, dans le cas contraire.
81. Remarque. Les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes; car les puissances, positives ou négatives, d'une base positive, sont toutes positives.
% IV. Identité des logarithmes algébriques et arithmétiques.
82. Remarque. Il est essentiel de démontrer que les logarithmes, tels que nous les avons définis, ne diffèrent pas de ceux que l'on considère en arithmétique , et qui naissent de la considération de deux progressions.
