Les logarithmes algébriques rentrent dans les sts

TÈMEs considérés EN ARITHMÉTIQUE. Si l'ou considèrc, en efTet,

des nombres en progression par quotient, commençant par

l'unité :

fr 1 : g : ç* : ^ : î*: g* : . . . .g* : g"**,

et que l'on nomme x le logarithme de g , les logarithmes des différents termes de cette progression seront (7&) :

0, », 2a?, 3rD, ...., nx^ (n-f-l)a?;

ainsi giiand des nombres sont en progression par qtiotient^ com- ^it^nçantpcsrVunUi^ leurs logarithmes {7 6) formant une progression arithmétique commençant par 0.

Si maintenant on insère on nombre k de moyens entre les

défiTii par deux progressions quelconques y satisfait toujours à lô définition donnée (76).

Soit, en effet, le système défini par les deux progressions :

Of ô, 2o, , • . • T20^..«»

Posons 9*= Pi n§=Y,

Y étant le logarithme de p ; on tire de la seconde de ces équations :

et, en remettant cette valeur dans la première,

/=P, ou (A =P

Y est donc l'exposant de la puissance, à laquelle il faut élever la

base fixe gS, pour reproduire le nombre P; y ^st donc le loga* rithme de p pris, d'après notre nouvelle définition, dans le

système dont la base est q^.

S y. Des divers systèmes de logarilbmes.

85. Comment on passe d*un système a un autre. Le nombre a, dont les puissances servent à former tous les nombres, se nomme la base du système de logarithmes que Ton considère. Si Ton change de base, tous les logarithmes changent; mais il est facile de voir qu'Us conservent des valeurs proportionnelles^ et se multiplient tous par un même facteur^ que Von nomme module du nouveau système par rapport au premier.

Soient a et a' deux bases quelconques, x et x' les logarithmes d'un même nombre b dans les deux systèmes, de sorte que l'on ait:

Alg. sp. b. 5

baron écossais. La base de son système est le nombre incommensuFable e, que nous avons défini (S7). Ces logarithmes se nomment logarithmes népériens^ et on les désigne par la lettre L. Calkt les a inscrits^ dans ses tables, sous le nom de logaritlwies hyperboliques. Ce sont eux qui se présentent le plus naturelle^ nient dans l'analyse mathématique.

Considérons les deux progressions :

Hi : i+a:(i+ot)': (!+«)»: :0+ar:

•f 0 . p . %p . 3 p mp .

a et p étant excessivement petits, afin que les termes croissent Irès-lentementy et que Ton puisse regarder tous les nombres comme faisant partie de la progression par quotient. On peut définir le système de logarithmes^ eu donnant la limite vers la*

quelle tend le rapport -» quand « et p tendent simultanément

vers zéro. Néper supposa cette limite égale à 1. Dans cette hypothèse, les deux progressions sont :

^0. a . 2a . 3a ma

Si la base est (1 + o^}*» son logarithme ma est égal à l'unité,

par suite a = —, et la base devient II A — ) .Si a tend vers zéro, ^ m \ ' mj

m croit sans limite, et l'expression (l -| — j converge (85) vers

le nombre e, base du système népérien.

87. Logarithmes vulgaires. Les logarithmes népériens ne se prêtent pas commodément aux calculs numériques, parce que la base est incommensurable. Aussi, quelques années après la publication de Néper, on construisit une nouvelle table de logarithmes, dits logarithmes vulgaires, dont la base est 10. Ce sont ces logarithmes, dont nous avons, dans la première partie, * expliqué les usages et développé les applications. On les désigne par le signe log.

I appelle xety les logarilhmes d'nn même nombre daiis ae népérien et dans le système vulgaire, on a :

;nant les logarithmes dans le premier système, on tire :

a!=î/L.10, on y=j^<x'-

pour obtenir les logarithmes des nombres dans le syslinu I on multiplie les hgarithmes népériens des mimes nombres yerse du logarithme népérien de la nouvelle base. C'est ce

—r7.i que l'on nomme spécialement moduU du système

. En le désignant par la lettre M, on a :

y—Ux.

1 avait pris les logarilhmes des deux nombres dans le vulgaire, ou eût eu :

a:Ioge= y.

M = log.e.

DGABiTHHES NÉGATIFS. Ix)rsque, daos l'équation

re b est moindre que l'unité, a étant plus grand que 1, rithme x est négatif : car on a vu (75), que c'est en faiier a: de 0 à — co , que l'on fait prendre à a' les valeurs 3S entre 0 et l. Ainsi : les nombres moindres que l'unité •garilhmes négatifs. Ces logarilhmes jouissent de toutes Hélés démontrées plus haut (70, etc.); car on n'a fait

aucune hypothèse sur le signe des nombres considérés, rquera seulement que les logarilhmes négatifs ne sont :tement fournis par les labiés. .Mais leur détermination

pas pour cela plus de difficultés. Supposons, en efïet.

que le nombre b^ plus petit que Tunité; soit donné sous forme d'une fraction --,on aura :

log- = logm— !ogn=— (logn—logm);

et, par suite, le logarithme négatif s*obtiendra par une soustraction.

Mais les logarithmes négatifs ne sont d'aucun usage; et il est facile, lorsque l'on en rencontre, cle les préparer, de manière que leur caractéristique seule soit négative. On a, en effet, par exemple :

c'est-à-dire que Yon augmente (Tune unité la caractéristique, onla prend avec le signe — , et l'on remplace la partie décimale par son complémerû (1,411).

YI. Résolution des éqaations exponentielles.

80. DénrtrriON. On ù^^élle équation exponentielle une équation

de la forme

dans laquelle a et 6 sont deux nombres positifs donnés. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de x, pour laquelle elle est satisfaite.

©0. RÉSOLUTION DE l'équation «"=6. Pour trouver cette valeur de X, il suffit de prendre les logarithmes des deux membres de l'équation. On aura ainsi :

a? log a = log ft, log&

et, par suite, a;=

loza'

La base du système, dans lequel les logarithmes sont calculés, est arbitraire. Gela n'a, d'ailleurs, aucune influence sur le résul* iaX : car on a vu (86), au'en passant d'un système à un autre.

pendant - d*anBée, c'estrà-dire pendant une année entière, il

se moltipliera g fois par (1 +a?) ou par (1 4'^)*ï et, comme d'ailleurs îl doit devenir 1 +r, on a :

d'où Ton déduit : 1 +a?= (1 + r)«.

Et il ejt évident que 1 franc, placé pendant - année, se multipliera par il'\'xy, c'est-à-dire par (1 -[- fi«, et que, par suite, une somme quelconque A deviendra

ce qui est conforme au résultat énoncé.

2* Si n est négatif, nous envisagerons la question de la manière suivante :

Une somme vaut aujourd'hui A; eîk est placée depuis un temps indéterminé : comltien valait-elky ily an années?

Si l'on désigne par X la valeur inconnue, cette somme, placée pendant n années, est devenue A; par suite, d'après ce qui précède :

d'où Ton déduit : X = A {l+rT]

ce qui est encore conforme à la formule donuée plus haut.

BtiSUBIÉ.

66. Des exposants incommensurables. — 67, 68, 69, 70. Lemmes sur Tes puissances commensurables. — Définition rigoureuse de a*, quand X est incommensurable. — 72. La fonction a* est continue. — 73. Lorsque œ varie de — oo h -{-co^a étant positif , a* prend toutes les valeurs positives, et ne prend chacune qu*one seule fois. — 74, 7tf . Nouvelle déÛDÎtion des logarithmes. — 76. Logarithme d'un produit. — 77. Lo-

LIVAE I.

quotient. — 78. Logarithme ifaoe puissance. — K de 1, et logarilbme de la base. — 80. Nombres qui ont B posilirs, et nombres qui ont des logarithmes négatir^. mbres Dâgatih n'ont pas de logaritbmes. — 82. fte- >. Si des Dombreasonten progression par quotient, leurs Dt en prc^ression par différence. Cas où l'on io»èr« de es dans lea prt^ressions. — 84. Les logarithmes, définis tre partie, sonllea mêmes que ceux qui résultent de la elle. — 8tt. Comment on peut passer d'un système â on ..ogarilbmes népériens : leur base. — 87. Ix^arithm» module. — 88. Logarithmes négatifs. — 89. Définition iponeniielle. — 90. Résolution de l'équation a'^b. — deréqualioaa*':=c. — BS. Généralisation des formules [ueslions d'intérêt.

EXERCICES

iquailons :

équations ;

Vlogî/ ' " ^logq/

lualion :

4los6 + al°gll-logT Slog3 + 31066— logT+logll"

[ualion :

* log(& + a)