VI. Résoudre réquation

On trouTe : x=2à=\/ , ■->

YII. Résoudre Téquation :

On ramène la résolution à celle des équations :

YIII. Résoudre Téquation :

On trouve :

Y log a

soit X, Us le seront , en particulier , par â? =: 0 ; et par conséquent, on doit avoir P» = Q». En supprimant ces deux termes communs, les deux restes seront encore égaux; et leur diflerence devra être nulle, quel que soit x. Or cette diflérence, ordonnée par rapport aux puissances croissantes de â?, a pour premier terme (P.^ — Qi.-4}a?. Si ce terme n'était pas nul, on pourrait^ d'après le lemme , prendre x assez petit , pour qu'il donnât son signe à la différence ; celle-ci ne serait donc pas nulle pour cette valeur des. Donc P»-i=Q»^. En supprimant les deux termes égaux du premier degré , on verra de même, que la différence commencera par un terme du second degré {P«^f — 0»-n)a?S qui devra être nul à son tour. Et , en continuant, on concluera que les termes doivent être, dans les deux polynômes, les mêmes et en môme nombre.

9S. Théorème IL Deux polynômes entiers et rationnelSy qui renferment un nombre quelconque de lettres arbitraires , et indépendantes Us unes des autres, ne peuvent tire égaux y que ïils sont composés identiquemetU des mêmes termes.

Pour établir ce théorème, il suffit de montrer qne> si la proposition est vraie pour deux polynômes renfermant n lellrcs arbitraires, elle le sera aussi pour deux polynômes qui en contiendraient (n + 1). Considérons , pour cela, deux polynômes renfermant (n+1) lettres,», y, *, w, t),....p; ordonnons-les l'un et l'autre, par rapporta l'une de ces lettres, a? par exemple; ils prendront la forme :

Ao, Ai, Aj,....A«, Bo, Bi, Bi.....B», contenant les n variables^ y, s, u, t?,....p. Les polynômes [1] et [2] étant égaux, quel que soit a?, on doit avoir (94) :

[3] wi=n, A»=Bq, Ai = Bi, Afl=Br,....A»=Bn.

Or le théorème est admis pour le cas de n variables; donc les égalités [k] exigent que les polynômes Ao et B„ Ai et Bi,.... km et B» soient respectivement composés des mêmes termes ; et

par conséquent, les polynômes [1] el [2] soient îdeDliquet les mêmes.

g II. VérîBcsIioD de l'égalilè de detu eipressioDS algébriqaes.

t. Cas où toutes les quantités arbitraires sonr moÉPEii- 'ES tES UHEs DES AUTRES. D'après le théorème précédeni, 'vériQer une équation entre quantités arbitraires, il sufGl faire disparaître les radicaux el les dënominaleurs, el de tater que les deux membres sont composés identiquement némes termes.

cela n'a pas lien , on peut afllrmer que l'égalilé proposée ; pas exacte pour toutes les valeurs des lettres qu'elle renie.

r. Cas où les QUAMirrÉs arbitrairbs ne sont pas toutes ; PENDANTES. Lorsque l'égalité n'a lieu qu'en vertu de écris relations entre les lettres qui y sont contenues , il faut, ' la TëriQer, exprimer, au moyen de ces relations, un certain bre de lettres en fonction de celles que l'on peut considérer me arbitraires, et substituer ces valeurs dans l'équation losée. Après la substitution, l'équation rentrera dans le cas

S [II. AppIicaliOQ à quelques probl&mea. t. Problème I. Examiner rî les équations

itnenl la suivante .*

1 a ici deux relations [i]el [2] entre les six quantités e,ei,i^, , T, ; on doit donc en tirer les valeurs de deux de cet sii ililés eu fonction des quatre autres. On en tire de l'équa- [1]:

c.(Tt— c)

Oq tire de [2] :

ou, en remplaçant f par la valeur [4] :

Ti — ^

ou:

ro ggi

[5] Ti = — r—Tr'

Ta — ^

Si Ton substitue ces valeurs dans Fégalitê à vérifier [3], on a :

Yidri— c)

ce qui devient une identité, quand on supprime le facteur (ys — c}^! commun au numérateur et au dénominateur du second terme.