Cas Ot LA DIVISION DOIT SE FAIRE EXACTEHEKT. Soil à
viser un polynôme, de degré m ,
A,x- + kiOT-' + A,a^-' + + A.,
ir un polynôme, de degré n, |
B.a!-+B,«--*+'Bia;"-' + -j-C..
faut que le quotient, multiplié par le diviseur, reproduise entiquemcnt le dividende. Or, si l'on désigne par « le degré [quotient, celui du produit sera (n + a) : on devra, parconquent , avoir :
m = n+") ou a=m — n.
innaissant ainsi le degré du quotient, et, par suite, le nombre ses coefûcienls égal h. {«-|-l), on pourra, en désignant acun d'eux par une lettre particulière, effectuer le produit du otient parle diviseur. Ce produit, étant du degré m , sera mposé de (m -|- 1) termes : en les égalant aux termes corresndants du dividende, on obtiendra (m -f- 1} équations du pre* ler degré entre les (m — n -|- 1) coefQcienls inconnus. H soi- .
COMPLÉMENT DXS ÉLÉMENTS D*ALGËBR£. 83
fina, fDur les détermnier, derésoadre (m — »4- ^) équations ; les n autres devront être satidsiites d'cièesrmêniesy et seront des éqsslîoi» de «audition.
102. Cas où la division laisse un reste.. Si l'on veut appliqaer la méthode des coefficients indéterminés à la recherche du quotient et du reste , dans le cas où la division n'est pas possîble, la question doit être posée de la manière suivante :
Trouver un polynomey quî^ mùftiplié par le diviseur, donne un produit j dont la différence avec le dividende soit de degré moindre que le diviseur.
On devra, dans ce cas, égaler seulement, aux termes corres* pondants du dividende» les termes de ce produit dont le degré n'est pas inférieur au degré n du diviseur : on obtiendra ainsi (m — n-fl) équations (les mêmes que si l'on cherchait un quotient exact), qui permettront de déterminer tous les coefficients du quotient. La différence, entre le dividetide et le produit du diviseur par le quotient , sera le reste.
103. Calcul des coefficients du quotient. Les (m — n4- 1) équations, qui déterminent le quotient, offrent une forme rcmarquable, qui rend leur résolution très-facile. Soit, en effet^
Cx— "+ C4a?"-»-*-f CjX"-" -•+ . . . . + C4a?*»-»"*+ . . . . + C,
le quotient inconnu. En multipliant ce quotient par le diviseur,, on a évidemment :
.B.Ç#D^+(BA4^BiC,)xr-* + (B,C,+B,C. + BoCOa?^'+ . - - + (B*Co + B»4Ci + . . • . BiCi-i + BoC»)a?— » + . . . .
Et, en égalant les coefficients de ce produit à ceux du dividende^ on a:
B«C«=Aa, BiCo + BoCi=A,, BaCo + B4Ci+BoC,=A,,
B»Co+'B».A + .... + BiC»^-fB|C*=^A*....
La première équation ne contient donc que Tineonnue Co; G» étant conmi, la seconde permettra de calculer Ci, qui n*y entre qu'au premier degré; C, et Ci étant connus, la troisième
S n. ExtracUon de la racine m"« d'un polynomn.
