MéTHODK GÉNÉRALE. Soit le polynome
A,x' + AtOJ^* +Aj|X'^» + .... + A, ; désignons sa racine m^ par
Il faut, par définition, que l'on ait identiquement :
{B,af + Bia?*+« + B,a?»-«4- . . , . + B»)* = A,a'+ Aia'-' + Ajjf-> + .... + A,.
Pour que les deux membres soient de même degré, il fout que Ton ait :
Si donc p n'est pas un multiple de m » le problème est impossible. Si p est divisible par m , le degré de la racine sera
— : on connaîtra, par suite, le nombre (— +1 j de sescoefficients. On pourra élever cette racine à la puissance m"** ; on formera ainsi un polynôme du degré p. En égalant les (^ + 1) premiers termes aux termes correspondants du polynome donné, on obtiendra T^-fl j équations, pour déterminer les coefficients inconnus. Les équations, qui expriment l'égalité des termes suivants, devront être satisfaites d'elles-mêmes, si le problème est possible : ce sont des équations de condition.
106. Calcul des coefficients de la racine. Les (^ + 1 ) équations, qui déterminent la racine, ont uoe forme remarquable, qui rend leur résolution très-facile. En effet, dans le développement de
(B.aî*+Bia;^*+B,a?'^ + . ... +B»aj»-»+. .. . +B«)"',
oùn est égal à— ,1e lenne en :f ne contient que B,"; le terme
en Vf-' contient B, à la puissance (m— 1), et Bi au premier degré ; le terme en af~* contient B* , Bi et B^ , el cdte deraite« înconnae n'y entre qu'au premier degré. En général, Bt n'entre dans aucun terme dont le degré est supériear &.(p— &); et il entre au premier degré dans le coefficient du terme en af-*. Par conséquent, la première équation B," =^ A, fera connaître B, par nne extraction de racine : B, étant connu, la seconde équation fera connailre B, , qui n'y entre qu'an premier degré ; fi, et B, étant connus, la troi^me fera connaître B,, qui n'y entre qp.'an premier dfgré. Et, en général, la (fc+l)*" équation déterminera Bt , qui n'y entre qu'au premier degré; car, dansledéreloppemeol, il n'y a qu'un terme en af*, qui contienne B* ; c'est le terme mB»a:^»(B,a^)— '.
Il sera facile d'appliquer, en particulier, cette méthode h l'extraction de la racine carrée d'iin polynôme.
$ III. Application â quelques problèmes.
IW. Problème I. Ukermimr^ enïfep eH^^ la rtlatim néM' sain smtr 91» H trinôme
soit diviiiblepar le carré J un bitume convenablement choisi (x— «)*.
Si (*+ p) désigne le quotient de cette division, on aura :
-«)*Ci-l-p) = Ca;'-2aa!4:«>)(«+p)
tifiiBt'Ies-dens.ntcinhra i
ï , o* ■ — 2ap := p , a*p = ç.
eux dernières équations, p par sa valeur 8, il TÏflol':
COHPLfiHENT DES gLÉHEMTS D'ALGË&RE.
âimÎDant eoân <■ entre ces deux équations, on a :
ou 4p» + 275» = 0.
TellvMt la conAtlon cJMicMe'.
10& PaoBLÈHB IL DMtrraimr les tceffiaenu m ot n, manière que l'expression
|-3n)a;» + (m«+ 6mn)a;— 3m«n,
toit un eufo jur/bit.
Il faut, pour cela, identifier l'expression avec le cube i binoms' (ov-j-^)) o'œl-AHlire arcc
caqulfirarBÎt Im â^iatiom :.
m=rf, — (2mi'+3o)=3o'ùa m'-j-fimik^Soi*,, — 3m.V'V ]<es dcuxâecaiireïdoDawit:
m' + 6nm m.* -{-60
~ av^Sm'o* 3y'9mn'*
yjv
a et 6 étant ainsi déterminés, les deux équations res^' sont des équations de condition. Si l'on y substitue à a | leurs valeurs, ces équations deriennentr '
ni
3(m* + 6n)* v''3ffl^ (m'-|-6n)' .
g^'SlmV ~ sJ'àTn' it le dénominateur de cette dernière, et réduisant, mf— 6nm'+8n? = 0,
88 UTRE I.
Oatire de là. Dour valeur unique de n,
isUtuée dans l'équation [l], la rend identique, nandée se réduit donc à la relation [3]. Et le isé est alors, comme on s'en assure Eacilement,
les coefficients indëtemiinés s'applique anx questions 1 vent déterminer no polynôme, d'après certaines con- ApplicBtion de celte mélbode à la théorie de la division, dJTlsion se (ait eiactement. — 102. Cas oEi l'on a à nt et le reste. — 105. Toutes les équations que l'on it du premier degré à une inconnue. — 104. Appliesle. — les. Application de la méthode à la rccbercba d'un polynôme.— 106. Les équations, que l'on a à toutes du premier degré à une inconnue. — 107, i de Is méthode des coeffidents indétermlnéa & la soloproblèmes.
EXEnCICES.
Mata, pour que le poljnoijia
ynome eaUer par rappoil à «.
ondition, pour que lepolynome
Ay' + Bï« + C«'-(-Dv + E»+F ux eipressioDs du premier degré en « ely. (BD— 2AK)'=(B'— UC](D'-4Afî.
COXPLËHENT DES ÉLÉUENTS D'ALGÈBRE.
m. Décomposer, de celle DMaiÈrs, le potynoroe
2*"— aHï-llï'-*+34v-3. .
OolronTe : {!T+tf-3) (ï-Uy+l).
IV. Ueitre l'eipressiou 4[x'+*' + i'+x + l) sous la forme de la dilTjn des carrés de deux polynômes du second degré, enlicn par rapport i x.
On irooTe: (îi'+a+ !)'— 5x>.
