DiRivÉB DE arc sin x» Posons

V=arcsinâ?;

et cherchons la dérivée de y par rapport à x, que nous désignerons par j/.

De l'équation y = arc sin x^

on déduit : a; = sin y ;

eu prenant la dérivée des deux membres par rapport à x, et appliquant, pour le second, la règle des fonctions de fonctions, on trouve :

l = cosyXy';

donc : y* =

cosy

Mais sin y étant égal à x, cos y est égal à =b v^ 1 — x'; et l'on a, par conséquent :

La dérivée de arc sin x est donc

154. Reiiarque. Il peut sembler extraordinaire que la dérivée cherchée ait un signe indéterminé. Mais on remarquera que le signe du dénominateur est celui de cos y; or, à un même sinus X correspondent des arcs en nombre mfini, dont les uns ont un cosinus positif, et les autres un cosinus négatif; ce sont ces divers arcs qui ont des dérivées différentes ; chacun d'eux, bien entendu, ne peut eu avoir qu'une seule. Lors donc que l'on prendra la dérivée de l'arc dont le sinus est x, on devra indi-

1 10 UVftE U.

qoer le quadrant, dans lequel se termiae l'arc dont il s'agil; et l'on prendra le signe -)-, si Turc se termine daas le preouer ou dans le quatrième quadrant, et le signe — , s'il se termine dans le second ou dans le troisiëine.

I5tt. SÂRiviE Dc arfi ces x. Si l'on pose : y = arc cos x, luit: x=cosy;

snant les dérivées des deux membres,

1 =— sinj/Xy*; déduit :

vée arc cos X M( donc

e cas, le dénominateur est la râleur de sin y, c'est-àinus de l'arc dont on cherche la dérivée. On devra donc e avec le si^ne +■ si l'arc se termine dans le premier le second quadrant; et avec le signe —, si l'arc se ter- LS le troisième ou dans le qualriënie.

)n peut remarquer que, d'après ce qui précède, les

ctions arc sîn x et arc cos x ont des dérivées égales, ou

de signes contraires; on s'explique facilement qu'il

Ire ainsi, en remarquant que, si y désigne un arc dont

ioit X, ^— y cl y — |auronta! pourcosimis. Onadonc, ^ — are sin s r= arc cos x,

arc sin 7 — - ^ arc cos x.

t, d'après cela, que, suivant la valeur adoptée pour l'art «sinus est x, sa dérivée sera égale à celle de ar&-«i^ et de signe contraire. ^^

THÉORIE DES OËRIVËES.